RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.5

RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.5

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 12 अवकल समीकरण Ex 12.5

निम्नलिखित अवकलन समीकरण को हल कीजिए :

प्रश्न 1.

हल :
दी गई अवकल समीकरण

समीकरण (1) से

प्रश्न 2.

हल :

⇒ t – log (t + 1) = x + C₁
⇒ (x + y + 1) – log (x + y + 1 + 1) = x + C₁
⇒ y + 1 – log (x + y + 2) = C₁
⇒ log (x + y + 2) = (y + 1) + C₁
⇒ log (x + y + 2) = y + (C₁ + 1)
⇒ e^log(x+y+2) = e^y+(C₁+1)
⇒ x + y + 2 = e^y(e^(C₁+1))
⇒ x + y + 2 = e^y.C
जहाँ C = e^(C₁+1)
अत: अभीष्ट हल x + y + 2 = Ce^y है।

प्रश्न 3.
cos (x + y)dy = dx
हल :
माना x + y = v

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.

हल :
माना x + y = v

∴ समाकलन करने पर,
– e^{– v} – x = C₁
x + e^{– (x+y)} = C
(∵ v = x+y तथा C = – C₁)
यही अभीष्ट हुल हैं।

प्रश्न 5.
(x + y) (dx – dy) = dx + dy
हल :
⇒ (x + y) (dx – dy) = dx + dy
⇒ (x + y)dx – (x + y)dy = dx + dy
⇒ dy + (x + y)dy = (x + y) dx – dx
⇒ [(1 + (x + y)]dy = (x + y – 1) dx

⇒ x + y + log (x + y) = 2x + 2C₁
⇒ log (x + y) = 2x – x – y + 2C₁
⇒ log (x + y) = x – y + 2C₁
⇒ log (x + y) = x – y + C₁
जहाँ C = 2C₁ है।
अत: अभीष्ट हल x – y + C = log (x + y) है।

प्रश्न 6.

हल :
माना
x + y + 1 = v


यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.

हल :
दी गई अवकल समीकरण

समीकरण (1) से


∫sec² u du – ∫sec u tan u du = x + C₁
tan u – sec u = x + C₁ [u = x + y रखने पर]
tan (x + y) – sec (x + y) = x + C₁
या x = tan (x + y) – sec (x + y) + C
जहाँ C = – C₁

प्रश्न 8.

हल :

2x + (x – y)² + 2C₁ = 0
2x + (x – y)² = – 2C₁
अतः अभीष्ट हल 2x + (x – y)² = C है, जहाँ C = -2C₁ है।

प्रश्न 9.

हल :
इसी अभ्यास का प्रश्न 3 पर देखें।

प्रश्न 10.

हल :


⇒ 2v + log (v + 2) = x + C
⇒ 2(x – y) + log (x – y + 2) = x + C
यहीं अभीष्ट हल है।