UK Board 10th Class Math – Chapter 15 प्रायिकता
UK Board 10th Class Math – Chapter 15 प्रायिकता
UK Board Solutions for Class 10th Math – गणित – Chapter 15 प्रायिकता
प्रश्नावली 15.1
प्रश्न 1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए-
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘ E नहीं’ की प्रायिकता = ……….. है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ………… है। ऐसी घटना ………. कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है ………… है। ऐसी घटना ‘कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग …………. है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता ………… से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ………… से छोटी या उसके बराबर होती है।
हल: पूर्ण किए हुए कथन-
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = 1 है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती, शून्य है। ऐसी घटना असम्भव घटना कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है, 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग एक होता है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता शून्य से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा एक से छोटी या उसके बराबर होती है।
प्रश्न 2. निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं ? स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।
हल : (i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। अधिकांश सम्भावना कार चलना प्रारम्भ होने की है, कार चलना प्रारम्भ न होने की सम्भावना कम ही है। अतः यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। एक ही परिस्थिति में उसकी सफलता या असफलता की सम्भावना समान नहीं होती। अत: यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। अनुमान के सही होने की सम्भावना भी उतनी ही है जितनी की उसके गलत होने की है। अतः यह प्रयोग समप्रायिक है।
(iv) एक बच्चे का जन्म होने पर उसके लड़की या लड़का होने की सम्भावनाएँ समान हैं। अतः प्रयोग समप्रायिक है।
प्रश्न 3. फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?
हल : फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, एक सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि इसलिए माना जाता है क्योंकि सिक्का सममित होता है और उसकी उछाल (Tossing) निष्पक्ष (Unbiased) होती है।
प्रश्न 4. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(A) 2/3
(B) -1.5
(C) 15%
(D) 0.7
हल : ⋅.⋅ प्रयोग में किसी घटना के घटित होने या घटित न होने की सम्भावना शून्य भले ही हो परन्तु ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
अतः स्पष्ट है कि विकल्प (B) में दी गई ऋणात्मक संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती।
प्रश्न 5. यदि P(E) = 0.05 है तो ‘E- नहीं’ की प्रायिकता क्या है?
हल : ⋅.⋅ ‘E – नहीं’ की प्रायिकता = P (E’) = 1 – P(E)
= 1 – 0.05
= 0.95
अतः घटना ‘E- नहीं’ की प्रायिकता P(E’) = 0.95
प्रश्न 6. एक थैले में केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) सन्तरे की महक वाली है?
(ii) नीबू की महक वाली है?
हल: ⋅.⋅ थैले में केवल नीबू की महक वाली गोलियाँ ही हैं। यदि थैले में से यदृच्छया एक गोली निकाली जाती है तो
(i) निकाली गई गोली ‘सन्तरे की महक वाली’ होने की घटना की सम्भावना शून्य है क्योंकि सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं।
अतः निकाली गई गोली सन्तरे की महक वाली हो, इसकी प्रायिकता शून्य होगी।
(ii) सभी गोलियों में नीबू की महक है। इसलिए नीबू की महक वाली गोली निकलने की घटना एक निश्चित घटना है।
अतः इसकी प्रायिकता 1 होगी।
प्रश्न 7. यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ?
हल : यदि 3 विद्यार्थियों में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने और एक ही दिन न होने की घटनाएँ परस्पर पूरक घटनाएँ हैं।
2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता P(E)= 0.992
अतः दोनों विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता P(E’) = 1 – 0.992
= 0.008
प्रश्न 8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?
हल : थैले में गेंदों की कुल संख्या = 3 लाल + 5 काली = 8
थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकालने पर,
कुल सम्भावित परिणाम = 8
प्रश्न 9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा (i) लाल है? (ii) सफेद है ? (iii) हरा नहीं है?
हल : लाल कंचों की संख्या = 5
सफेद कंचों की संख्या = 8
हरे कंचों की संख्या = 4
∴ डिब्बे में कंचों की कुल संख्या = (5 + 4 + 4 = 17
जब डिब्बे में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है तो कुल सम्भावित परिणाम = 17
प्रश्न 10. एक पिग्गी बैंक (Piggy Bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के, 1 रु० के पचास सिक्के, 2 रु० के बीस सिक्के और 5 रु० के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का (i) 50 पैसे का होगा? (ii) 5 रु० का नहीं होगा?
हल : 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
1 रुपये के सिक्कों की संख्या = 50
2 रुपये के सिक्कों की संख्या = 20
5 रुपये के सिक्कों की संख्या = 10
पिग्गी बैंक को अच्छी तरह हिलाकर उल्टा करने पर 1 सिक्का गिरने की घटना के सभी परिणाम सम-सम्भावी हैं, तब
प्रश्न 11. गोपी अपने जल -जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यदृच्छया उसे देने के लिए निकालती है इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?
हल: दुकानदार की टंकी में मछलियों की कुल संख्या = 5 नर + 8 मादा = 13 मछली
टंकी में से 1 मछली यदृच्छया निकालने पर निकाली गई मछली नर होने के अनुकूल परिणाम = 5
और कुल सम्भव परिणाम = 13
प्रश्न 12. संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है । ( आकृति देखिए ) यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा ?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा ?
हल : संयोग के खेल में जब तीर को घुमाया जाता है तो तीर के विश्राम आने पर इंगित कुल
परिणाम = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ) = 8
अतः 9 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = 1
प्रश्न 13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए : (i) एक अभाज्य संख्या (ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या (iii) एक विषम संख्या
हल : एक पासे को यदृच्छया फेंके जाने पर प्राप्त होने वाले सभी सम्भव परिणामों की संख्या = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6
यहाँ अभाज्य संख्याएँ = ( 2, 3, 5 ) = 3
2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ = (3, 4, 5 ) = 3
विषम संख्याएँ = (1, 3, 5 ) = 3
अतः प्रत्येक घटना के अनुकूल परिणाम = 3
प्रश्न 14. 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट की बेगम
हल : ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं। गड्डी को अच्छी तरह फेंटकर गड्डी में से एक पत्ता निकालने पर पत्ता क्या है, इसके कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 52
प्रश्न 15. ताश के पाँच पत्तों – ईंट का दहला, गुलाम, बादशाह और इक्का, को पलटकर के अच्छी प्रकार फेंटा जाता है। फिर इनमें यदृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है।
(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल : ताश के 5 पत्तों— ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह, इक्का को पलटकर के फेंटा गया और फिर इसमें से एक पत्ता निकाला जाता है।
निकाले गए पत्ते क्या हैं? इसके कुल सम्भव परिणाम = 5
प्रश्न 16. किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यदृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 17. (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल: समूह में बल्बों की कुल संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
यदि एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है तो
प्रश्न 18. एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी : (i) दो अंकों की एक संख्या (ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या (iii) 5 से विभाज्य एक संख्या ।
हल : डिस्कों की कुल संख्या = 90
यदि एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो
कुल सम्भव परिणाम = ( 1, 2, 3, 4, …….. , 90) = 90
इन परिणामों में दो अंकों वाली संख्याएँ = (10, 11, 12, …….. , 90)=81 90) = 18
पूर्ण वर्ग संख्याएँ = (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ) = 09
5 से विभाज्य संख्याएँ = ( 5, 10, 15, 20, …….. , 90) = 18
प्रश्न 19. एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं-
इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) A प्राप्त हो ? (ii) D प्राप्त हो ?
प्रश्न 20. मान लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यदृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 मीटर व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?
हल : आयताकार क्षेत्र का
जब एक पासा यदृच्छया फेंका जाता है तो उसके गिरने का व्यापक क्षेत्र आयताकार क्षेत्र होगा।
प्रश्न 21. 144 बॉल-पेनों के समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यदृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?
हल: समूह में कुल बॉल-पेनों की संख्या = 144
खराब बॉल-पेनों की संख्या = 20
∴ ठीक बॉल-पेनों की संख्या = 144 – 20 = 124
पेनों के समूह में से दुकानदार यदृच्छया एक पेन निकालता है
बॉल-पेन के अच्छा-बुरा होने सम्बन्धी कुल सम्भव परिणाम = 144
बॉल-पेन के ठीक होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 124
बॉल-पेन खराब होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 20
प्रश्न 22. एक सलेटी और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है। दोनों पासों पर प्राप्त होने वाले परिणाम अंकित कीजिए।
(i) निम्न सारणी को पूरा कीजिए :
(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः ‘प्रत्येक की प्रायिकता 1/11 है।’ क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
हल : एक सलेटी और एक नीले रंग के पासे को जब यदृच्छया एकसाथ फेंका जाता है तो जब
(ii) विद्यार्थी का तर्क त्रुटिपूर्ण है क्योंकि सभी 11 घटनाएँ प्रारम्भिक घटनाएँ नहीं हैं। प्रत्येक घटना से सम्बन्धित परिणामों की आवृत्तियाँ भिन्न-भिन्न हैं। अतः विद्यार्थी का तर्क असंगत है।
प्रश्न 23. एक खेल में एक रुपये के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।
हल: एक खेल में एक रुपया यदृच्छया तीन बार उछाला जाता है। परिणाम चित को H तथा पट को T से इंगित करें और परिणाम अंकित करें तो सभी सम्भावित परिणाम निम्नवत् होंगे-
प्रश्न 24. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा?
(ii) 5 कम-से-कम एक बार आएगा?
हल : जब एक पासे को दो बार यदृच्छया फेंका जाता है तो फलकों पर प्राप्त अंक निम्नवत् होंगे-
प्रश्न 25. निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है तो इसके तीन सम्भावित परिणाम – दो चिंत, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/3 है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है तो इसके दो सम्भावित परिणाम – एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता 1/2 है ।
हल: (i) जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है तो चित को H तथा पट को T से व्यक्त करने पर सम्भव परिणाम चार होते हैं, (तीन नहीं) जो इस प्रकार हैं-
प्रश्नावली 15.2 (ऐच्छिक)
प्रश्न 1. दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं ( मंगलवार से शनिवार तक )। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर (i) एक ही दिन जाएँगे? (ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे? (iii) भिन्न -भिन्न दिनों में जाएँगे?
हल : दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में (मंगलवार से शनिवार तक ) जा रहे हैं। प्रत्येक ग्राहक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। सम्भव परिणाम निम्नवत् होंगे-
प्रश्न 2. एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1, 2, 2, 3, 3 और 6 लिखी हुई हैं। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं। दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ सम्भावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं, इस सारणी को पूरा कीजिए।
प्रश्न 3. एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदें हैं यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगनी है तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : माना थैले में नीली गेंदों की संख्या x है।
∴ कुल गेंदों की संख्या = 5 लाल + x नीली = (5 + x)
थैले में से यदृच्छया 1 गेंद निकालने पर,
कुल सम्भव परिणाम = (5 + x)
लाल गेंद निकलने के अनुकूल परिणाम = 5
∴ नीली गेंद निकलने की प्रायिकता लाल गेंद निकलने की प्रायिकता की दूनी है।
अतः थैले में नीली गेंदों की संख्या = 10
प्रश्न 4. एक पेटी में 12 गेंदें हैं, जिनमें से x गेंद काली हैं। यदि इसमें से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है।
यदि इस पेटी में 6 काली गेंद और डाल दी जाएँ, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगुनी हो जाती है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल: पेटी में गेंदों की कुल संख्या = 12
काली गेंदों की संख्या = x
यदि पेटी में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है तो गेंद निकाले जाने के
कुल सम्भव परिणाम = 12
निकाली गई गेंद काली होने के अनुकूल परिणाम = x
अतः निकाली गई गेंद काली होने की प्रायिकता = x/12
यदि पेटी में 6 काली गेंद और मिला दी जाएँ तो काली गेंद निकलने के अनुकूल परिणाम = x + 6
तथा कुल सम्भव परिणाम = 12 + 6 = 18
अतः x का मान = 3
प्रश्न 5. एक जार में 24 कंचे हैं जिनमें कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि इस जार में से यदृच्छया एक कंचा निकाला जाता है तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता 2/3 है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : माना जार में हरे कंचों की संख्या x है।
कंचों की कुल संख्या = 24
जब जार में से 1 तो कंचा यदृच्छया निकाला जाता है
∴ जार में हरे कंचों की संख्या = 16
तब जार में नीले कंचों की संख्या = 24 – 16 = 8
अतः जार में नीले कंचों की संख्या = 8