UK Board 10th Class Math – Chapter 2 बहुपद
UK Board 10th Class Math – Chapter 2 बहुपद
UK Board Solutions for Class 10th Math – गणित – Chapter 2 बहुपद
प्रश्नावली 2.1
प्रश्न 1. किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ ट्ठगले पेज पर आकृति में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : दिया हुआ बहुपद = p(x)
• (i) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या शून्य है क्योंकि बहुपद के ज्यामितीय आलेख को X- अक्ष प्रतिच्छेदित नहीं करता।
• (ii) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 1 है क्योंकि बहुपद के ज्यामितीय आलेख को X- अक्ष केवल एक स्थान पर काटता है।
• (iii) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 3 है क्योंकि बहुपद के ज्यामितीय आलेख को X- अक्ष तीन बिन्दुओं पर काटता है।
• (iv) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 2 है क्योंकि बहुपद के ज्यामितीय आलेख को X- अक्ष दो बिन्दुओं पर कता है।
• (v) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 4 है क्योंकि बहुपद के ज्यामितीय आलेख को X- अक्ष 4 बिन्दुओं पर काटता है।
• (vi) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 3 है क्योंकि बहुपद के ज्यामितीय आलेख को X- अक्ष 3 बिन्दुओं पर काटता है।
प्रश्नावली 2. 2
प्रश्न 1. निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए
प्रश्न 2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं :
प्रश्नावली 2.3
प्रश्न 1. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 2. पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है :
∴ शेषफल r (x) = 29 x − 9 ≠ 0
अतः x3 – 3 x + 1, x5 – 4 x3 + x2 + 3 x + 1 का गुणनखण्ड नहीं है।
प्रश्न 3. 3 x4 + 6 x3 − 2 x2 – 10 x − 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक 
प्रश्न 4. यदि x3 − 3 x2 + x + 2 को एक बहुपद g (x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x − 2 और − 2 x + 4 हैं तो g (x) ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 5. बहुपदों p(x), g (x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p (x) = घात q (x) (ii) घात q (x) = घात r (x) (iii) घात r (x) = 0
प्रश्नावली 2.4 (ऐच्छिक)
प्रश्न 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :
अतः बहुपद के शून्यकों का उनके गुणांकों से उक्त सम्बन्ध सत्य हैं।
प्रश्न 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एकसाथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, – 7, – 14 हों।
प्रश्न 3. यदि बहुपद x3 – 3x2 + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों तो a और b ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. यदि बहुपद x4 – 6x3 – 26x2 + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए ।
हल : ⋅.⋅ बहुपद 4 घात का है; अतः इसमें अधिकतम चार शून्यक सम्भव हैं जिनमें दो शून्यक 2 + √3 व 2 – √3 ज्ञात हैं।
तथा β = – 5
अतः दिए गए बहुपद के दो अन्य मूल = 7, – 5 हैं।
प्रश्न 5. यदि बहुपद x4 – 6 x3 + 16 x2 – 25 x + 10 को एक अन्य बहुपद x2 – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल : माना भाज्य बहुपद p(x) = x4 – 6x3 + 16x2 – 25 x + 10;
भाज्य बहुपद g (x) = x2 – 2 x + k तथा शेषफल r (x) = x + a है।
पुनः माना भागफल बहुपद q(x) है।
तब, यूक्लिड की विभाजन प्रमेय से,
