UK Board 10th Class Math – Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म
UK Board 10th Class Math – Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म
UK Board Solutions for Class 10th Math – गणित – Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म
प्रश्नावली 3.1
प्रश्न 1. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।’ ( क्या यह मनोरंजक है? ) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल : माना आफ़ताब की वर्तमान आयु x वर्ष है और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु y वर्ष है।
7 वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु = (x – 7)
7 वर्ष पूर्व उसकी पुत्री की आयु = (y – 7) वर्ष
⋅.⋅ आफ़ताब पुत्री से कहता है कि 7 वर्ष पूर्व वह पुत्री की आयु का 7 गुना था।
∴ (x – 7 ) = 7 (y – 7 )
∴ x – 7 = 7 y – 49 या x – 7 y – 7 + 49 = 0
या x – 7 y + 42 = 0
अब से 3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु = (x + 3) वर्ष
अब से 3 वर्ष बाद उसकी पुत्री की आयु = ( y + 3) वर्ष
⋅.⋅ आफ़ताब पुनः पुत्री से कहता है कि अब से 3 वर्ष बाद वह पुत्री की आयु का तिगुना होगा ।
∴ (x + 3) = 3 (y + 3)
∴ x + 3 = 3 y + 9 या x – 3 y = + 9 – 3
या x – 3 y = 6
∴ कथनों का बीजगणितीय रूप समीकरण युग्म
x – 7 y + 42 = 0 …….(1)
x – 3 y = 6 …….(2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया – विधि : (1) दिए हुए समीकरण-युग्म का पहला समीकरण : x – 7 y + 42 = 0
(2) माना x = 0, तब x का मान समीकरण x – 7 y + 42 = 0 में प्रतिस्थापित करने पर,
0 – 7 y + 42 = 0 या 7 y = 42 ⇒ y = 6
(3) तब समीकरण x – 7 y + 42 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A = (0, 6) है।
(4) पुनः माना x = 7, तब x का मान समीकरण x – 7 y + 42 = 0 में प्रतिस्थापित करने पर,
7 – 7 y + 42 = 0 या 7 y = 49 या y = 7
(5) तब समीकरण x – 7 y + 42 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B = (7, 7) है।
(6) ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A ≡ ( 0, 6 ) तथा B ≡ (7, 7) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए ।
(7) दिए हुए समीकरण-युग्म का अन्य (दूसरा) समीकरण : x – 3 y = 6
(8) मानी x = 0, तब x का मान समीकरण x – 3 y = 6 में प्रतिस्थापित करने पर :
0 – 3 y = 6 या y = – 2

(9) तब समीकरण x – 3 y = 6 के आलेख पर एक बिन्दु C ≡ (0, – 2) है।
(10) पुनः माना x = 6, तब x का मान समीकरण x – 3 y = 6 में प्रतिस्थापित करने पर,
6 – 3 y = 6 या – 3 y = 0 या y = 0
(11) तब समीकरण x – 3 y = 6 के आलेख पर एक बिन्दु D ≡ (6, 0) है।
(12) ग्राफ पेपर पर बिन्दु C ≡ (0, – 2) तथा D ≡ (6, 0) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए ।
(13) ऋजु रेखाएँ AB तथा CD दिए गए कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय निरूपण है।
प्रश्न 2. क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रु० में 3 बल्ले तथा 6 गेंदें खरीदीं। बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदें 1300 रु० में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए ।
हल: माना एक बल्ले का मूल्य x रु० तथा एक गेंद का मूल्य y रु० है ।
⋅.⋅ 3 बल्ले और 6 गेंद खरीदी गई = 3900 रु० में
∴ 3 बल्लों का मूल्य + 6 गेंदों का मूल्य = 3900 रु०
या 3 x रु० + 6 y रु० = 3900 रु
3 x + 6 y = 3900
इसी प्रकार, एक बल्ले का मूल्य + 2 गेंद का मूल्य = 1300 रु०
∴ x रु० + 2 y रु० = 1300 रु०
∴ x + 2 y = 1300
अतः दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप :
समीकरण युग्म 3 x + 6 y = 3900 ……..(1)
x + 2 y = 1300 ……..(2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया – विधि : (1) दिए हुए समीकरण-युग्म का पहला समीकरण: 3 x + 6 y = 3900
(2) माना x = 100, तब x का मान समीकरण 3 x + 6 y = 3900 में प्रतिस्थापित करने पर,
( 3 x 100 ) + 6 y = 3900 या 300 + 6 y = 3900
या 6 y = 3600 या y = 600
(3) तब समीकरण 3 x + 6 y = 3900 के आलेख पर एक बिन्दु A ≡ (100, 600) है।
(4) पुनः माना x = 300, तब x का मान समीकरण 3 x + 6 y = 3900 में प्रतिस्थापित करने पर,
( 3 × 300 ) + 6 y = 3900 या 900 + 6 y = 3900
या 6 y – 3900 – 900 या 6 y = 3000 या y = 500
(5) तब समीकरण 3 x + 6 y = 3900 के आलेख पर एक बिन्दु B ≡ (300, 500) है।
(6) ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A ≡ (100, 600 ) तथा B ≡ (300, 500) को आलेखित (plotting ) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए ।
(7) दिए हुए समीकरण-युग्म के दूसरे समीकरण : x + 2 y = 1300

(8) माना x= 500, तब x का मान समीकरण x – 2 y = 1300 में प्रतिस्थापित करने पर :
500 + 2 y = 1300 या 2 y = 1300 – 500
या 2 y = 800 या y = 400
(9) तब समीकरण x + 2 y = 1300 के आलेख पर एक बिन्दु C ≡ (500, 400 ) है।
(10) पुनः माना x = – 100, तब x का मान समीकरण x + 2 y = 1300 में प्रतिस्थापित करने पर,
– 100 + 2 y = 1300 या 2 y = 1300 + 100
या 2 y = 1400 या y = 700
(11) तब समीकरण x + 2 y = 1300 के आलेख पर एक बिन्दु D ≡ (- 100, 700) है।
(12) ग्राफ पेपर पर बिन्दु C ≡ (500, 400 ) तथा D ≡ (- 100, 700) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए ।
(13) ऋजु रेखाओं AB तथा CD जो कि सम्पाती हैं, दिए गए कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय रूप हैं।
चित्र से स्पष्ट है कि दोनों कथनों के आलेख ऋजु रेखाएँ AB ही रेखा है। अतः रेखा AB एवं CD सम्पाती हैं।
प्रश्न 3. 2 किग्रा सेब और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रु० था। एक महीने बाद 4 किग्रा सेब और दो किग्रा अंगूर का मूल्य 300 रु० हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल : माना एक दिन 1 किग्रा सेब का मूल्य x रु० तथा 1 किग्रा अंगूर का मूल्य y रु० है ।
तब 2 किग्रा सेब का मूल्य +2 किग्रा अंगूर का मूल्य = 160 रु०
∴ 2 x + y = 160
1 महीने बाद, 4 किग्रा सेब का मूल्य + 2 किग्रा अंगूर का मूल्य = 800 रु०
∴ 4 x + 2 y = 300
∴ दिए गए कथनों का बीजगणितीय रूप :
2 x + y = 160 ……(1)
4 x + 2 y = 300 ……(2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया – विधि : ( 1 ) दिए हुए समीकरण-युग्म का पहला समीकरण : 2 x + y = 160
(2) माना x = 50, तब x का मान समीकरण 2 x + y = 160 में प्रतिस्थापित करने पर,
2 × 50 + y = 160 या 100 + y = 160
या y = 160 – 100 या y = 60
(3) तब समीकरण 2 x + y = 160 के आलेख पर एक बिन्दु A ≡ (50, 60 ) है।
(4) पुनः माना x = 0, तब x का मान समीकरण 2 x + y = 160 में प्रतिस्थापित करने पर,
2 × 0 + y = 160 या 0 + y = 160 या y = 160
(5) तब समीकरण 2 x + y = 160 के आलेख पर एक बिन्दु B ≡ (0, 160) है।
(6) ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A ≡ (50, 60 ) तथा B ≡ (0, 160) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए ।
(7) दिए हुए समीकरण-युग्म का दूसरा समीकरण : 4 x + 2 y = 300
(8) माना x = 75, तब x का मान समीकरण 4 x + 2 y = 300 में प्रतिस्थापित करने पर :
4 × 75 + 2 y = 300 या 300 + 2 y = 300
या 2 y = 300 – 300 = 0 या y = 0
(9) तब समीकरण 4 x + 2 y = 300 के आलेख पर एक बिन्दु C ≡ (75, 0) है।

(10) पुनः माना x = 0, तब x का मान समीकरण 4 x + 2 y = 300 में प्रतिस्थापित करने पर,
4 × 0 + 2 y = 300 या 0 + 2 y = 300
या 2 y = 300 या y = 150
(11) तब समीकरण 4 x + 2 y = 300 के आलेख पर एक बेन्दु D ≡ (0, 150) है।
(12) ग्राफ पेपर पर बिन्दु C ≡ (75, 0) तथा D ≡ (0, 150) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए ।
ऋजु रेखाएँ AB तथा CD दिए गए कथनों का अभीष्ट ज्यामितीय रूप हैं।
प्रश्नावली 3.2
प्रश्न 1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए ।
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेन्सिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रु० है, जबकि 7 पेन्सिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रु० है। एक पेन्सिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल : • (i) माना लड़कियों की संख्या तथा लड़कों की संख्या y है।
∴ कुल संख्या = (x + y)
परन्तु प्रश्नानुसार कुल विद्यार्थियों की संख्या 10 है।
∴ x + y = 10
⋅.⋅ लड़कियों की संख्या x, लड़कों की संख्या y से 4 अधिक है।
∴ x – y = 4
रैखिक समीकरण युग्म :
x + y = 10 ……(1)
x – y = 4 ……(2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया – विधि : (1) दिए हुए समीकरण-युग्म का पहला समीकरण x + y = 10
(2) माना x = 3, तब x का मान समीकरण x + y = 10 में प्रतिस्थापित करने पर,

(3) तब समीकरण x + y = 10 के आलेख पर एक बिन्दु A ≡ (3, 7) है।
(4) पुनः माना x = 8, तब x का मान समीकरण x + y = 10 में प्रतिस्थापित करने पर,
8 + y = 10 या y = 10 – 8 या y = 2
(5) तब समीकरण x + y = 10 के आलेख पर एक बिन्दु B ≡ (8, 2) है।
(6) ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A ( 3, 7) तथा B ( 8, 2) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए ।
(7) दिए हुए समीकरण-युग्म का दूसरा समीकरण : x – y = 4
(8) माना x = 2, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में प्रतिस्थापित करने पर :
2 – y = 4 या – y = 4 – 2 या y = – 2
(9) तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु C ≡ (2, – 2) है।
(10) पुनः माना x = 4, तब x का मान समीकरण x – y = 4 में प्रतिस्थापित करने पर,
4 – y = 4 या – y = 4 – 4
या – y = 0 या y = 0
(11) तब समीकरण x – y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु D ≡ (4, 0) है।
(12) ग्राफ पेपर पर बिन्दु C ≡ (2, – 2 ) तथा D ≡ (4, 0) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए ।
(13) ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक आलेख से ज्ञात कीजिए | P (7, 3)
(14) दिए हुए समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 7, y = 3 है।
अतः लड़कियों की संख्या = 7
तथा लड़कों की संख्या = 3
• (ii) मान लिया कि एक पेन्सिल का मूल्य x रु० है तथा 1 कलम का मूल्य y रु० है ।
⋅.⋅ 5 पेन्सिल और 7 कलमों का मूल्य = 50 रु० है
∴ 5 x + 7 y = 50
इसी प्रकार 7 पेन्सिल और 5 कलम का मूल्य = 46 रु० है
∴ 7 x + 5 y = 46
अतः रैखिक समीकरण युग्म :
5 x + 7 y = 50 ……..(1)
7 x + 5 y = 46 ……..(2)
ज्यामितीय निरूपण :
क्रिया – विधि : (1) दिए हुए समीकरण-युग्म का पहला समीकरण : 5 x + 7 y = 50
(2) माना x = 10, तब x का मान समीकरण 5 x + 7 y = 50 में प्रतिस्थापित करने पर,
5 x 10 + 7 y = 50 या 50 + 7 y = 50 या 7 y = 50 – 50
या 7 y = 0 या y = 0
(3) तब समीकरण 5 x + 7 y = 50 के आलेख पर एक बिन्दु A ≡ (10, 0) है।
(4) पुनः माना x = – 4, तब x का मान समीकरण 5 x + 7 y = 50 में प्रतिस्थापित करने पर,
(5 x – 4 ) + 7 y = 50 या – 20 + 7 y = 50
या 7 y = 50 + 20
या 7 y = 70 या y = 10
(5) तब समीकरण 5 x + 7 y = 50 के आलेख पर एक बिन्दु B ≡ ( – 4, 10) है।
(6) ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A ≡ (10, 0) तथा B ≡ ( – 4, 10) को आलेखित (plotting ) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए ।
(7) दिए हुए समीकरण-युग्म का दूसरा समीकरण : 7 x + 5 y = 46
(8) माना x = 8, तब x का मान समीकरण 7 x + 5 y = 46 में प्रतिस्थापित करने पर :

(9) तब समीकरण 7 x + 5 y = 46 के आलेख पर एक बिन्दु C ≡ (8, – 2 ) है।
(10) पुनः माना x = – 2, तब x का मान समीकरण 7 x + 5 y = 46 में प्रतिस्थापित करने पर,
(7 x – 2 ) + 5y = 46 या – 14 + 5 y = 46
या 5 y = 46 + 14
या 5 y = 60 या y = 12
(11) तब समीकरण 7 x + 5 y = 46 के आलेख पर एक बिन्दु D ≡ (– 2, 12) है।

(12) ग्राफ पेपर पर बिन्दु C ≡ (8, – 2) तथा D ≡ ( – 2, 12) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए ।
(13) ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए। बिन्दु P के निर्देशांक आलेख से ज्ञात कीजिए | P (3, 5)
(14) दिए हुए समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 3, y = 5 है।
अतः एक पेन्सिल का मूल्य 3 रु० और एक कलम का मूल्य 5 रू० है।



प्रश्न 4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन-से युग्म संगत / असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।



प्रश्न 5. एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौडाई से 4 मीटर अधिक है, का अर्द्धपरिमाप 36 मीटर है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए ।
हल : माना आयताकार बाग की लम्बाई x मीटर तथा चौड़ाई y मीटर है।

(9) तब समीकरण x + y = 36 के आलेख पर एक बिन्दु C ≡ (10, 26) है।
(10) पुनः माना x = 30, तब x का मान समीकरण x + y = 36 में प्रतिस्थापित करने पर,
30 + y = 36 या y = 36 – 30 या y = 6
(11) तब समीकरण x + y = 36 के आलेख पर एक बिन्दु D ≡ (30, 6) है।
(12) ग्राफ पेपर पर विन्दु C ≡ ( 10, 26) तथा D ≡ (30, 6) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए ।
(13) ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए । विन्दु P के निर्देशांक आलेख से ज्ञात कीजिए । P (20, 16)
(14) दिए हुए समीकरण-युग्म का एक अद्वितीय सार्व हल x = 20, y = 16 है।
अतः आयताकार बाग की लम्बाई 20 मीटर तथा चौड़ाई 16 मीटर है।
प्रश्न 6. एक रैखिक समीकरण 2 x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि :
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों। (ii) समान्तर रेखाएँ हों। (iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल: दिया गया रैखिक समीकरण 2 x + 3 y – 8 = 0
माना अभीष्ट रैखिक समीकरण a2 x + b2 + c2 = 0 है
तब a1 = 2, b1 = 3, c1 = – 8

अतः अभीष्ट समीकरण : 2 k x + 3 k y – 8 k = 0
जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।
प्रश्न 7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3 x + 2 y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। X- अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षो के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल : दिए हुए समीकरण : x – y + 1 = 0 ….. (1)
3 x + 2 y – 12 = 0 ….. (2)
समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख के लिए :
(1) माना x = 0, तब x का मान समीकरण x – y + 1 = 0 में प्रतिस्थापित करने पर,
0 – y + 1 = 0 या y = 1
(2) तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु A ≡ (0, 1) है।

(3) पुनः माना x = 4, तब x का मान समीकरण x – y + 1 = 0 में प्रतिस्थापित करने पर,
4 – y + 1 = 0 या 5 – y = 0 या y = 5
(4) तब समीकरण x – y + 1 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु B ≡ (4, 5) है।
(5) ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (0, 1) तथा B (4, 5) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए ।
समीकरण 3 x + 2 y – 12 = 0 के आलेख के लिए :
(1) माना x = 0, तब x का मान समीकरण 3 x + 2 y – 12 = 0 में प्रतिस्थापित करने पर :
3 × 0 + 2 y – 12 = 0 या 0 + 2 y – 12 = 0
या 2 y – 12 = 0
या 2 y = 6 या y = 6
(2) तब समीकरण 3 x + 23 – 12 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु C ≡ (0, 6) है।
(3) पुनः माना x = 6, तब x का मान समीकरण 3 x + 2 y – 12 = 0 में प्रतिस्थापित करने पर,
3 × 6 + 2 y – 12 = 0 या 18 + 2 y – 12 = 0
या 6 + 2 y = 0
या 2 y = – 6 या y = – 3
(4) तब समीकरण 3 x + 2 y – 12 = 0 के आलेख पर एक बिन्दु D ≡ (6, – 3) है।
(5) ग्राफ पेपर पर बिन्दु C ≡ (0, 6) तथा D ≡ (6, – 3) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए ।
ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए | बिन्दु P के निर्देशांक आलेख से ज्ञात कीजिए | P (2, 3)

दी गई रेखाओं के समीकरणों और X- अक्ष के प्रतिच्छेदन से Δ PQR बनता है।
तब P = (2, 3), Q ≡ ( – 1, 0) तथा R = (4,0)
प्रश्नावली 3.3
प्रश्न 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:

समीकरण (3) से 8 का यह मान समीकरण (2) में प्रातस्थापित करने पर,



अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल : x = 2 तथा y = 3
प्रश्न 2. 2 x + 3 y = 11 और 2 x – 4 y = – 24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = m x + 3 हो।

प्रश्न 3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए ।
(ii) दो सम्पूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें 3800 रु० में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रु० में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 किमी दूरी के लिए भाड़ा 105 रु० है तथा 15 किमी के लिए भाड़ा 155 रु० है। नियत भाड़ा तथा प्रति किमी भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 किमी यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या हैं?
हल : • (i) माना एक संख्या x तथा दूसरी संख्या y है।
⋅.⋅ एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है।
∴ एक संख्या = 3 × दूसरी संख्या
∴ x = 3 y …….(1)
यहाँ x, y से बड़ा है
∴ संख्याओं का अन्तर 26 है।
∴ x – y = 26 …….(2)
समीकरण (2) में x = 3 y प्रतिस्थापित करने पर,
3 y – y = 26 या 2 y = 26 ⇒ y = 13
समीकरण (1) में y = 13 रखने पर,
x = 3 × 13 = 39 ⇒ x = 39
∴ रैखिक समीकरण युग्म : x = 3 y तथा x – y = 26 का हल
x = 39, y = 13
अतः अभीष्ट संख्याएँ = 39 व 13




प्रश्नावली 3.4
प्रश्न 1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?




अतः रैखिक समीकरण युग्म का हल : x = 2 तथा y = – 3
नोट- यह निर्णय विद्यार्थी स्वयं कर लें कि कब कौन-सी विधि उनके लिए उपयुक्त होगी।
प्रश्न 2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो ) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें तो यह हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है।
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए ।
(iv) मीना 2000 रु० निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से 50 रु० तथा 100 रु० के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने 50 रु० और 100 रु० के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रु० अदा किए, जबकि सूसी ने एक पाँच दिनों तक रखने के 21 रु० अदा किए। नियत किराया पुस्तक तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।




अतः पुस्तकालय की किसी पुस्तक का प्रथम 3 दिन तक का नियत किराया 15 रु० है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया 3 रु० है ।
प्रश्नावली 3.5
प्रश्न 1 निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्रगुणन विधि से ज्ञात कीजिए ।



प्रश्न 2. (i) a और b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2 x + 3 y = 7
( a – b) x + (a + b) y = 3 a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3 x + y = 1
(2 k – 1 ) x + (k – 1) y = 2 k + 1


प्रश्न 3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्रगुणन विधियों से हल कीजिए। किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं?


अतः समीकरणों के युग्म का हल : x = – 2 तथा y = 5
प्रश्न 4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो ) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रु० छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रु० अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए ।
(ii) एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जबकि उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B 100 किमी की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं तो वे 5 घण्टे पश्चात् मिलती हैं। जब वे विपरीत दिशाओं में चलना प्रारम्भ करती हैं तो वे 1 घण्टे पश्चात् मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए ।
(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लम्बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लम्बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए ।
हल : • (i) माना छात्रावास के भोजनकर्त्ता छात्र के लिए नियत व्यय x रु० तथा प्रतिदिन के भोजन का मूल्य y रु० है ।
20 दिन के भोजन के लिए दिया भुगतान
= नियत व्यय + 20 दिन के भोजन का मूल्य
= x रु० + (20 × y) रु०
= (x + 20 y) रु०
परन्तु विद्यार्थी A को 20 दिन के लिए 1000 रु० देना पड़ता है।
∴ x + 20 y = 1000
इसी प्रकार,
26 दिन के भोजन के लिए दिया गया भुगतान
= नियत व्यय + 26 दिन के भोजन का मूल्य
= x रु० + (26 × y) रु०
= (x + 26y) रु०
परन्तु विद्यार्थी B को 26 दिन के लिए 1180 रु० देना पड़ता है।
∴ x + 26 y = 1180
तब समीकरण युग्म: x + 20 y = 1000 ……(1)
x + 26 y = 1180 …….(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(x + 26 y) – (x + 20 y) = 1180 – 1000
या 6 y = 180 ⇒ y = 30
तब समीकरण (1) में y = 30 रखने पर, x + 20 (30) = 1000
या x + 600 = 1000
या x = 1000 – 600 = 400
तब समीकरण युग्म का हल x = 400; y = 30
अत: छात्रावास का नियत व्यय 400 रुपये तथा प्रतिदिन भोजन का व्यय 30 रुपये है।
• (ii) माना भिन्न का अंश x तथा हर y है


• (iii) माना यश ने टेस्ट पेपर में दिए प्रश्नों में से x प्रश्न सही हल किए तथा y प्रश्न अशुद्ध हल किए।
∴ प्रश्नों की कुल संख्या = (x + y)
सही उत्तरों पर प्राप्त कुल अंक = 3 x और अशुद्ध उत्तरों पर काटे गए कुल अंक = 1 y
∴ परिणामी प्राप्तांक = 3 x – y परन्तु दिया है कि उसने केवल 40 अंक पाए
∴ 3 x – y = 40
यदि सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तो प्राप्त अंक 4 x और अशुद्ध उत्तरों पर 2 अंक काटे जाते तो काटे जाने वाले अंक = 2 y
∴ परिणामी अंक = 4 x – 2 y = 2 (2 x – y)
परन्तु दिया है कि परिणामी प्राप्तांक 50 होते ।
∴ 2 (2 x – y) = 50 ⇒ 2 x – y = 25
समीकरण युग्म : 3 x – y = 40 …..(1)
2 x – y = 25 …..(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
( 3 x – y) – (2 x – y) = 40 – 25
⇒ x = 15
समीकरण (2) से, 2 x – y = 25
या y = 2 x – 25
(x = 15 रखने पर )
या y = (2 × 15 ) – 25 = 30 – 25
या y = 5
अतः यश ने 15 प्रश्न सही तथा 5 प्रश्न अशुद्ध हल किए। कुल मिलाकर 20 प्रश्न हल किए।
• (iv) माना स्थान À से चलने वाली कार की चाल x किमी प्रति घण्टा और स्थान B से चलने वाली कार की चाल किमी प्रति घण्टा है।
स्थान A तथा स्थान B के बीच की दूरी = 100 किमी
जब कारें एक ही दिशा में A तथा B से चलती हैं तो 5 घण्टे बाद मिलती हैं अर्थात्
5 घण्टे में स्थान A से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी स्थान B से चलने वाली कार द्वारा चली गई दूरी की अपेक्षा 100 किमी अधिक होगी।
∴ 5 घण्टे में स्थान A से चली गई दूरी – 5 घण्टे में स्थान B से चली गई दूरी = 100 किमी
∴ 5 x – 5 y = 100
या x – y = 20
जब कारें विपरीत दिशाओं में स्थान A तथा B से चलकर मिलेंगी तो उन्हें 1 घण्टे में स्थानों के बीच की दूरी के बराबर अर्थात् 100 किमी चलना होगा।
तब स्थान A से चली कार द्वारा 1 घण्टे में चली दूरी + स्थान B से चली कार द्वारा
1 घण्टे में चली दूरी = 100 किमी
∴ x किमी + y किमी = 100 किमी
∴ x + y = 100
तब समीकरण युग्म : x – y = 20 …….(1)
x + y = 100 …….(1)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर,
2 x = 120 या x = 60
समीकरण (2) व समीकरण (1) को घटाने पर,
2 y = 80 या y = 40
अतः कारों की चाल क्रमशः 60 किमी प्रति घण्टा व 40 किमी प्रति घण्टा ।
• (v) माना कि आयत की लम्बाई x मात्रक तथा चौड़ाई y मात्रक है।
∴ आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= x × y = x y मात्रक
लम्बाई को 5 मात्रक घटाने पर यह (x – 5) मात्रक रह जाएगी
और चौड़ाई को 3 मात्रक बढ़ाने पर यह (y + 3) मात्रक हो जाएगी
तब नए आयत का क्षेत्रफल = (x – 5 ) × (y + 3)
= (xy + 3x – 5 y – 15 ) मात्रक
मूल आयत का क्षेत्रफल = x y मात्रक
∴ नए आयत के क्षेत्रफल में कमी
= x y – (x y + 3 y – 5 y – 15 )
= – 3 x + 5 y + 15 मात्रक
तब प्रश्नानुसार,
– 3 x + 5 y + 15 = 9
या – 3 x + 5 y = 9 – 15 = 1 +
या 3 x – 5 y = 6
पुन: लम्बाई को 3 मात्रक बढ़ाने पर यह (x + 3) मात्रक हो जाएगी।
और चौड़ाई को 2 मात्रक बढ़ाने पर यह ( y + 2) मात्रक हो जाएगी।
तब नए आयत का क्षेत्रफल: = (x + 3) (y + 2)
= (x y + 2 x + 3 y + 6) मात्रक
और मूल आयत का क्षेत्रफल = x y मात्रक
∴ आयत का बढ़ा हुआ क्षेत्रफल
= (x y + 2 x + 3 y + 6) – x y मात्रक
= 2 x + 3 y + 6 मात्रक
परन्तु प्रश्नानुसार क्षेत्रफल 67 वर्ग मात्रक बढ़ जाता है।
∴ 2 x + 3 y + 6 = 67 ⇒ 2 x + 3 y = 61
तब समीकरण युग्म :
3 x – 5 y = 6 ……(1)
2 x + 3 y = 61 ……(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
6 x – 10 y = 12 ……(3)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करने पर,
6 x + 9 y = 183 …..(4)
समीकरण (4) में से समीकरण (3) को घटाने पर,
(6 x + 9 y) – (6 x – 10 y) = 183 – 12
या 19 y = 171
या y = 9
समीकरण (2) में y = 9 रखने पर, 2 x + 3 (9) = 61
या 2 x + 27 = 61
या 2 x = 61 – 27 = 34
या x = 34/2 = 17
∴ रैखिक समीकरण युग्म का हल : x = 17 तथा y = 9
अतः आयत की लम्बाई = 17 मात्रक तथा चौड़ाई = 9 मात्रक ।
प्रश्नावली 3.6
प्रश्न 1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए :







प्रश्न 2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घण्टे में 20 किमी तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घण्टे में 4 किमी तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी । पुन: इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा।
(iii) रूही 300 किमी दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 किमी रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घण्टे लगते हैं। यदि वह 100 किमी रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए ।
हल : (i) माना रितु के तैरने की चाल x किमी प्रति घण्टा है तथा धारा की चाल y किमी प्रति घण्टा है।
जब वह धारा के अनुरूप तैरेगी तो उसकी परिणामी चाल (x + y) किमी प्रति घण्टा हो जाएगी
और जब वह धारा के प्रतिकूल तैरेगी तो उसकी परिणामी चाल (x – y) किमी प्रति घण्टा रह जाएगी।



प्रश्नावली 3.7 (ऐच्छिक)
प्रश्न 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है । अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है। कैथी और धरम की आयु का अन्तर 30 वर्ष है । अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए ।

प्रश्न 2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा।’ दूसरा उत्तर देता है ‘यदि आप मुझे दस दे दें तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा ।’ बताइए कि उनकी क्रमशः क्या सम्पत्तियाँ हैं?
हल : माना एक मित्र A की सम्पत्ति x रु० है और दूसरे मित्र B की सम्पत्ति y रु० है।
मित्र A मित्र B से कहता है कि यदि B, A को 100 रु० दे दे तो A, B से दो गुना धनी हो जाएगा।
जब B, A को 100 रु० दे देगा तो A के पास (x + 100) रु० हो जाएँगे और B के पास ( y – 100) रु० रह जाएँगे।
A का धन = 2 × (B का धन )
x + 100 = 2 × (y – 100)
या x + 100 = 2 y – 200
या x – 2 y = – 100 – 200
या x – 2 y = – 300 …….(1)
अब B, A से कहता है कि यदि A, B को 10 रु० दे दे तो वह B, A से 6 गुना धनी होगा।
जब A, B को 10 रु० दे देगा तो A के पास (x – 10 ) रु० रह जाएँगे और B के पास ( y + 10 ) रु० हो जाएँगे।
तब प्रश्नानुसार,
B का धन = 6 × (A का धन )
(y + 10) = 6 x (x – 10)
या 6 x – 60 = y + 10
या 6 x – y = 60 + 10
या 6 x – y = 70 ……..(2)

अतः एक मित्र के पास 40 रु० तथा दूसरे मित्र के पास 170 रु० हैं ।
प्रश्न 3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 किमी प्रति घण्टा अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घण्टे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 किमी प्रति घण्टा धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घण्टे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल : मान लिया रेलगाड़ी द्वारा तय की जाने वाली दूरी x किमी है तथा रेलगाड़ी की एकसमान चाल y किमी प्रति घण्टा है।


समीकरण (5) में से समीकरण (7) को घटाने पर,
(x – 10 y) – (x – 15 y) = 100 – (- 150)
या x – 10 y – x + 15 y = 100 + 150
या 5 y = 250
या y = 50
अब y का मान समीकरण (5) में रखने पर,
x – 10 × 50 = 100
या x – 500 = 1.00 ⇒ x = 600
अतः रेलगाड़ी द्वारा तय की जाने वाली दूरी = 600 किमी |
प्रश्न 4. एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते तो 1 पंक्ति कम होती । यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल : मान लिया x पंक्तियाँ हैं और प्रत्येक पंक्ति में y विद्यार्थी हैं।
∴ विद्यार्थियों की संख्या = x y …..(1)
जब प्रत्येक पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते अर्थात् ( y + 3) विद्यार्थी होते और पंक्तियों की संख्या 1 कम होती अर्थात् (x – 1) होती!
तब विद्यार्थियों की संख्या = (x – 1) (y + 3)
= x y + 3 x – y – 3 …… (2)
समीकरण (1) व (2) से,
x y + 3 x – y – 3 = x y
⇒ 3 x – y = 3 …… (3)
जब प्रत्येक पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते अर्थात् (y – 3 ) होते
और पंक्तियों की संख्या 2 अधिक होती अर्थात् (x + 2) होती
तब विद्यार्थियों की संख्या = (x + 2) (y – 3)
= x y – 3 x + 2 y – 6 ….. (4)
समीकरण (1) व (4) से,
x y – 3 x + 2 y – 6 = x y
⇒ 3 x – 2 y = – 6 ….. (5)
समीकरण (3) में से समीकरण (5) को घटाने पर,
(3 x – y) – (3 x – 2 y) = 3 – (- 6)
या 3 x – y – 3 x + 2 y = 9 ⇒ y = 9
अब समीकरण (3) में y = 9 रखने पर,
3 x – 9 = 3
या 3 x = 12 ⇒ x = 4
तब x y = 4 × 9 = 36
अत: कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या = 36
प्रश्न 5. एक Δ ABC में, ∠ C = 3 ∠ B = 2 (∠ A + ∠ B) है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
हल : माना त्रिभुज के कोण A, B तथा C हैं।


प्रश्न 6. समीकरणों 5 x – y = 5 और 3 x – y = 3 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और Y – अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षो के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए ।
हल: (1) दिए हुए समीकरण-युग्म का पहला समीकरण : 5 x – y = 5
(2) माना x = 0, तब x का मान समीकरण 5 x – y = 5 में प्रतिस्थापित करने पर,

(3) तब समीकरण 5 x – y = 5 के आलेख पर एक बिन्दु A ≡ (0, – 5) है।
(4) पुनः माना x = 2, तब x का मान समीकरण 5 x – y = 5 में प्रतिस्थापित करने पर,
5 × 2 – y = 5
या 10 – y = 5
या y = 10 – 5 या y = 5
(5) तब समीकरण 5 x – y = 5 के आलेख पर एक बिन्दु B ≡ (2, 5) है।
(6) ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं A (0, 5) तथा B (2, 5) को आलेखित (plotting) कीजिए और दिए गए समीकरण का आलेख AB खींचिए।
(7) दिए हुए समीकरण-युग्म के समीकरण : 3 x – y = 3
(8) माना x = 0, तब x का मान समीकरण 3 x – y = 3 में प्रतिस्थापित करने पर :
3 × 0 – y = 3
या 0 – y = 3 या y = – 3
(9) तब समीकरण 3 x – y = 3 के आलेख पर एक बिन्दु C ≡ (0, – 3) है।
(10) पुनः माना x = 1, तब x का मान समीकरण 3 x – y = 3 में प्रतिस्थापित करने पर,
3 × 1 – y = 3 या 3 – y = 3
या – y = 3 – 3 = 0
या y = 0
(11) तब समीकरण 3 x – y = 3 के आलेख पर एक बिन्दु D ≡ (1, 0) है।
(12) ग्राफ पेपर पर बिन्दु C ≡ (0, – 3 ) तथा D ≡ (1, 0) को आलेखित कर दिए हुए समीकरण का आलेख CD खींचिए ।
(13) ऋजु रेखाओं AB तथा CD का प्रतिच्छेद बिन्दु P (h, k) ज्ञात कीजिए । बिन्दु P के निर्देशांक आलेख से ज्ञात कीजिए। P ≡ (1, 0)
तब त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक A (0, – 5), C (0, – 3) तथा P या D (1, 0)
रेखाओं तथा y- अक्ष के बीच Δ ACD बनता है।

⋅.⋅ क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता, अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल 1 वर्ग मात्रक होगा।
प्रश्न 7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :

उपर्युक्त समीकरण-युग्म को निम्न प्रकार भी व्यवस्थित किया जा सकता है :

इस समीकरण-युग्म को निम्न प्रकार भी व्यवस्थित किया जा सकता है :



….(2)
और
या (a 2 62 ) + (a + b) y = a 2 – 2ab – 62
2 ab
या या जब LB+2D= 180° या या – 4 x + 4 y = 180 – 20 = 160 X – y = – 40 तो 3y – 5 + (- 7 x) + 5 = 180 – 7 x + 3 y = 180 समीकरण (1) से, 7 x – 3 y = – 180 y = x + 40; अत: समीकरण (2) में y = x + 40 रखने पर, या या 7 x – 3 (x + 40 ) = – 180 7 x – 3x – 120 = – 180 4x 180 +120=-60
a
y = b
α
X = a
( a — b) x + (a + b) y = a 2 – 2 a b – 62
(a + b) (x + y) = a2 + 62
(d + b)x + (a + b)y
2 b* = 2 db + 262
या x = (a + b) (दोनों पक्षों में (2 b) का भाग देने पर ) x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
2 b x = 2 b (a + b)
(a b) (a + b) + (a + b) y = a 2 – 2ab – 62
या
या
अतः
a+b
x = (a + b) तथा
y=
(v) दिया गया समीकरण युग्म : 152 x – 378 y = – 74 – 378 x + 152 y = – 604 समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर, या या – 226 x – 226 y = – 678 226 (x + y ) = – 678 x + y = -678 = 3 – 226 …….
x + y = 3
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(12 x 378 y)-(-378 x + 152 y) = -74-(-604) या 152x – 378 y +378x – 152 y = – 74+604
प्रश्न 8. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

हल : ⋅.⋅ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠A + ∠C= 180°
तथा ∠B + ∠D = 180°
जब ∠A + ∠C= 180°
तो 4 y + 20 + (– 4 x) = 180
या – 4 x + 4 y = 180 – 20 = 160
या x – y = – 40 ……(1)
जब ∠B + ∠D = 180°
तो 3 y – 5 + (- 7 x) + 5 = 180
या – 7 x + 3 y = 180 ……..(2)
समीकरण (1) से, y = x + 40;
अतः समीकरण (2) में y = x + 40 रखने पर,
7 x – 3 (x + 40) = – 180
या 7 x – 3 x – 120 = – 180
या 4 x = – 180 + 120 = – 60
या x = – 15
तब ⋅.⋅ y = x + 4
∴ y = – 15 + 40 = 25
तब ∠A = 4 y + 20 = (4 × 25) + 20 = 120°
∠B = 3 y – 5 = (3 × 25) – 5 = 70°
∠C = – 4 x = – 4 × – 15) = 60°
∠D = – 7 x + 5 = (- 7 × – 15) + 5 = 110°