UK Board 10th Class Math – Chapter 4 द्विघात समीकरण
UK Board 10th Class Math – Chapter 4 द्विघात समीकरण
UK Board Solutions for Class 10th Math – गणित – Chapter 4 द्विघात समीकरण
प्रश्नावली 4.1
प्रश्न 1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :
(i) (x + 1)2 = 2 (x – 3)
(ii) x2 – 2 x = (– 2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2 x + 1) = x (x + 5)
(v) (2 x – 1) (x – 3 ) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x2 + 3 x + 1 = (x – 2)2
(vii) (x + 2)3 = 2 x (x2 – 1)
(viii) x3 – 4 x2 – x + 1 = (x – 2)3
हल : • (i) दिया गया समीकरण :
(x + 1)2 = 2 (x – 3)
∴ x2 + 2 x + 1 = 2 (x – 3) [सूत्र (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 से]
∴ x2 + 2 x + 1 = 2 x – 6 [दाएँ पक्ष को सरल करने पर]
∴ x2 + 2 x + 1 – 2 x + 6 = 0 [ पक्षान्तरण से ]
∴ x² + 7 = 0
⋅.⋅ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।
• (ii) दिया गया समीकरण :
x2 – 2 x = (– 2) (3 – x)
∴ x2 – 2 x = – 6 + 2 x [ सरल करने पर ]
∴ x2 – 2 x – 2 x + 6 = 0 [ पक्षान्तरण से ]
∴ x2 – 4 x + 6 = 0
⋅.⋅ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।
• (iii) दिया गया समीकरण :
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
∴ x (x + 1) – 2 (x + 1) = x (x + 3 ) – 1 (x + 3) [ सरल करने पर ]
∴ x2 + x – 2 x – 2 = x2 + 3 x – 1 x – 3 [ सरल करने पर ]
∴ x2 – x – 2 = x2 + 2 x – 3 [ सरल करने पर ]
∴ x2 – x – 2 – x2 – 2 x + 3 = 0 [ पक्षान्तरण से ]
∴ – 3 x + 1 = 0 [ सरल करने पर ]
⋅.⋅ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।
• (iv) दिया गया समीकरण :
(x – 3) (2 x + 1) = x (x + 5)
∴ x (2 x + 1) – 3 (2 x + 1) = x (x + 5) [ सरल करने पर ]
∴ 2 x2 + x – 6 x – 3 = x2 + 5 x [ सरल करने पर ]
∴ 2 x2 + x – 6 x – 3 – x2 – 5 x = 0 [ पक्षान्तरण से ]
∴ x2 – 10 x − 3 = 0 [ सरल करने पर ]
⋅.⋅ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।
• (v) दिया गया समीकरण :
(2 x – 1) (x – 3 ) = (x + 5) (x – 1)
∴ 2 x (x – 3 ) – 1 (x – 3 ) = x (x – 1 ) + 5 (x – 1) [ सरल करने पर ]
∴ 2 x2 – 6 x − 1 x + 3 = x2 – 1 x + 5 x – 5 [ सरल करने पर ]
∴ 2 x2 – 7 x + 3 = x2 + 4 x- 5 [ संक्षेपीकरण से ]
∴ 2 x2 – 7 x + 3 – x2 – 4 x + 5 = 0 [ पक्षान्तरण से ]
∴ x2 – 11 x + 8 = 0 [ सरल करने पर ]
⋅.⋅ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।
• (vi) दिया गया समीकरण :
x2 + 3 x + 1 = (x – 2)2
∴ x2 + 3 x + 1 = x2 – 4 x + 4
[ सूत्र : (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 से ]
∴ x2 + 3 x + 1 – x2 + 4 x – 4 = 0 [ पक्षान्तरण से ]
∴ 3 x + 1 + 4 x – 4 = 0 [ सरल करने पर ]
∴ 7 x – 3 = 0
⋅.⋅ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।
• (vii) दिया गया समीकरण :
(x + 2)3 = 2 x (x2 – 1)
∴ x3 + (2)3 + 3 . x . 2 (x + 2 ) = 2 x (x2 – 1)
[ सूत्र : (a + b)3 = a3 + b3 + 3 a b (a + b) से ]
∴ x3 + 8 + 6 x2 + 12 x = 2 x3 – 2 x [ सरल करने पर ]
∴ x3 + 8 + 6 x2 + 12 x – 2 x3 + 2 x = 0 [ पक्षान्तरण से ]
∴ — x3 + 6 x2 + 14 x + 8 = 0 [ सरल करने पर ]
⋅.⋅ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।
• (viii) दिया गया समीकरण :
x3 – 4 x2 – x + 1 = (x – 2)3
∴ x3 – 4 x2 – x + 1 = x3 – (2)3 – 3 . x . 2 (x – 2)
[ सूत्र : (a – b)3 = a3 – b3 – 3 a b (a – b) से ]
∴ 3 – 4 x2 – x + 1 = x3 – 8 – 6 x (x – 2) [ सरल करने पर ]
∴ x3 – 4 x2 – x + 1 = x3 – 8 – 6 x2 + 12 x [ सरल करने पर ]
∴ x3 – 4 x2 – x + 1 – x3 + 8 + 6 x2 – 12 x = 0 [ सरल करने पर ]
∴ 2 x2 – 13 x + 9 = 0 [ संक्षेपीकरण से ]
⋅.⋅ उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।
प्रश्न 2. अग्रलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए-
(i) एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 मीटर है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में ) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षो में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 किमी की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 किमी/ घण्टा कम होती तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल : • (i) माना भूखण्ड की चौड़ाई x मीटर है।
⋅.⋅ भूखण्ड की लम्बाई, उसकी चौड़ाई के दुगुने से 1 मीटर अधिक है।
∴ भूखण्ड की लम्बाई = (2 × चौड़ाई ) + 1
= (2 × x) + 1
= (2 x + 1) मीटर
⋅.⋅ आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
∴ भूखण्ड का क्षेत्रफल = (2 x + 1) × (x) वर्ग मीटर
= 2 x2 + वर्ग मीटर
परन्तु प्रश्नानुसार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 वर्ग मीटर है।
∴ 2 x² + x = 528
∴ 2 x2 + x – 528 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण : 2 x2 + x – 528 = 0
• (ii) माना पहला धन पूर्णांक x है
∴ दूसरा क्रमागत धन पूर्णांक = (x + 1)
∴ पूर्णांकों का गुणनफल = x (x + 1) = x2 + x
परन्तु प्रश्नानुसार पूर्णांकों का गुणनफल 306 है।
∴ x2 + x = 306
∴ x2 + x – 306 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण: x2 + x – 306 = 0
• (iii) माना रोहन की वर्तमान आयु वर्ष है।
⋅.⋅ उसकी माँ रोहन से 26 वर्ष बड़ी है।
∴ रोहन की माँ की वर्तमान आयु = (x + 26) वर्ष
तीन वर्ष बाद रोहन की आयु (x + 3) वर्ष तथा उसकी माँ की आयु (x + 26 + 3) या (x + 29) वर्ष हो जाएगी।
∴ रोहन और उसकी माँ की आयु का गुणनफल
= (x + 3) (x + 29) वर्ष
= x (x + 29) + 3 (x + 29 ) वर्ष
= x2 + 29 x + 3 x + 87 वर्ष
= x2 + 32 x + 87 वर्ष
परन्तु प्रश्नानुसार आयु का गुणनफल 360 है।
∴ x2 + 32 x + 87 = 360
∴ x² + 32 x + 87 – 360 = 0
∴ x2 + 32 x – 273 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण: x2 + 32 x – 273 = 0
• (iv) माना रेलगाड़ी की चाल x किमी प्रति घण्टा है।
निर्धारित दूरी = 480 किमी
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण: x2 – 8 x – 1280 = 0
प्रश्नावली 4.2
प्रश्न 1. गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 2. (i) जॉन और जीवन्ती के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं। अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। प्रारम्भ में उनके पास कितने कंचे थे?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (रु० ), 55 में से उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। उस दिन कुल निर्माण लागत 750 रु० थी। उस दिन निर्माण के लिए खिलौनों की संख्या ज्ञात करनी है।
हल : • (i) माना प्रारम्भ में जॉन के पास x कंचे थे।
दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे थे
∴ जीवन्ती के पास प्रारम्भ में कंचों की संख्या = (45 – x)
जब जॉन 5 कंचे खो देता है तो उसके पास शेष बचे कंचों की संख्या = (x – 5)
इसी प्रकार,
जब जीवन्ती 5 कंचे खो देती है तो उसके पास शेष बचे कंचों की संख्या
यदि x – 36 = 0 तो x = 36 और यदि x – 9 = 0 तो x =9
अतः जॉन के पास कंचों की संख्या = 36 अथवा 9
तब स्पष्ट है कि
यदि जॉन के पास 36 कंचे हैं तो जीवन्ती के पास 9 कंचे होंगे।
और यदि जॉन के पास 9 कंचे हैं तो जीवन्ती के पास 36 कंचे होंगे
अतः उनके पास कंचों की संख्या (9, 36 ) अथवा ( 36, 9)
• (ii) माना उस विशेष दिन x खिलौने निर्मित किए गए।
∴ प्रत्येक खिलौने का मूल्य = (55 – x) रु०
∴ उस दिन निर्मित सभी खिलौनों की लागत = x (55 – x) रु०
= (55 x – x2 ) रु०
प्रश्न 3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 होऔर गुणनफल 182 हो ।
हल: माना एक संख्या x है।
दोनों संख्याओं का योग 27 है।
∴ दूसरी संख्या = (27 – x) होगी ।
तब संख्याओं का गुणनफल = x (27 – x ) = 27 x – x2
परन्तु प्रश्नानुसार गुणनफल 182 है।
यदि पहली संख्या 14 तो दूसरी 13 होगी; और पहली संख्या 13 तो दूसरी 14 होगी।
अतः अभीष्ट संख्याएँ = ( 14, 13 ) अथवा ( 13, 14)
प्रश्न 4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो ।
हल : माना पहला धन पूर्णांक x है।
∴ अगला क्रमागत धन पूर्णांक (x + 1) होगा।
⋅.⋅ पूर्णांकों के वर्गों का योग 365 है
अत: पहला पूर्णांक : = – 14 अथवा 13
परन्तु x एक धन पूर्णांक है। इसलिए x का मान -14 स्वीकार्य नहीं है, तब x = 13
अत: पहला पूर्णांक = 13 और अगला धन पूर्णांक = 14
प्रश्न 5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी का हो तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल : माना समकोण त्रिभुज की आधार भुजा x सेमी है
⋅.⋅ समकोण त्रिभुज की ऊँचाई आधार से 7 सेमी कम है।
∴ समकोण त्रिभुज की ऊँचाई या लम्ब भुजा = (x – 7 ) सेमी तब पाइथागोरस प्रमेय से,
परन्तु भुजा x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं हो सकता जिससे x = 12
तब ऊँचाई या लम्ब भुजा = x – 7 = 12 – 7 = 5 सेमी
अतः त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ = 5 सेमी व 12 सेमी ।
प्रश्न 6. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रुपयों में ) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रु० थी तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल : माना उस विशेष दिन में निर्मित बर्तनों की संख्या x थी ।
⋅.⋅ प्रत्येक नग की लागत निर्मित बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी।
∴ प्रत्येक नग की लागत = (2 x + 3 ) रु०
⋅.⋅ बर्तनों की संख्या x ऋणात्मक नहीं हो सकती जिससे x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं है।
अतः x = 6 अर्थात् निर्मित बर्तनों की संख्या = 6
तब प्रत्येक नग की लागत = (2 x + 3) रु०
= (2 × 6) + 30 रु०
= (12 + 3) रु०
= 15 रु०
अतः निर्मित बर्तनों की संख्या 6 तथा प्रत्येक नग की लागत 15 रु० है ।
प्रश्नावली 4.3
प्रश्न 1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए ।
प्रश्न 2. उपर्युक्त प्रश्न (1) में दिए गए द्विघात समीकरणों के द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए ।
अतः दिए गए समीकरण के मूलों का अस्तित्व नहीं है।
प्रश्न 3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 4. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग 1/3 है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण a x2 + b x + c = 0 से करने पर,
परन्तु आयु ऋणात्मक नहीं होती; अतः x का मान − 3 अस्वीकार्य है
∴ x = 7
अतः रहमान की वर्तमान आयु = 7 वर्ष है।
प्रश्न 5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
हल : माना शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए।
⋅.⋅ अंग्रेजी और गणित दोनों के प्राप्तांकों का योग 30 है।
∴ अंग्रेजी में प्राप्तांक = (30 – x) अंक
यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक मिलते अर्थात् गणित में (x + 2), अंक मिलते; और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिलते अर्थात् अंग्रेजी में (30 – x – 3 ) या (27 – x) अंक मिलते तो अंकों का गुणनफल (x + 2) (27 – x) होता अर्थात्
तब शेफाली ने गणित में या तो 12 अंक प्राप्त किए या फिर 13 अंक प्राप्त किए।
यदि उसने गणित में 12 अंक प्राप्त किए तो अंग्रेजी में (30 – 12 ) = 18 अंक प्राप्त किए और यदि उसने गणित में 13 अंक प्राप्त किए तो अंग्रेजी में (30 – 13 ) = 17 अंक प्राप्त किए। –
अतः शेफाली ने गणित व अंग्रेजी में क्रमशः 12 व 18 अंक अथवा 13 व 17 अंक प्राप्त किए।
प्रश्न 6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लम्बा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मीटर अधिक हो तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए ।
हल : माना आयताकार खेत की छोटी भुजा x मीटर है।
⋅.⋅ बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मीटर अधिक है।
∴ बड़ी भुजा = (x + 30 ) मीटर तब खेत की लम्बाई
= (x + 30 ) तथा चौड़ाई = x मीटर
⋅.⋅ प्रश्नानुसार आयताकार खेत का विकर्ण, छोटी भुजा (चौड़ाई) से 60 मीटर अधिक है।
∴ आयताकार खेत का विकर्ण = (x + 60)
परन्तु आयत के लिए,
⋅.⋅ (x – 90) (x + 30 ) = 0 ⇒ या तो x – 90 = 0 या फिर x + 30 = 0
यदि x – 90 = 0 हो तो x = 90 और यदि x + 30 = 0 हो तो x = – 30
परन्तु भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती; अत: x का मान – 30 स्वीकार्य नहीं है।
तब x = 90
दूसरी भुजा = (x + 30 ) मीटर = (90 + 30) = 120 मीटर
अतः आयताकार खेत की भुजाएँ 90 मीटर व 120 मीटर हैं।
प्रश्न 7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।
हल : माना छोटी संख्या x है
प्रश्न 8. एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 किमी/घण्टा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए ।
हल : माना रेलगाड़ी की चाल x किमी प्रति घण्टा है।
⋅.⋅ रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती जिससे x का मान – 45 स्वीकार्य नहीं है, तब x = 40
अतः रेलगाड़ी की चाल = 40 किमी प्रति घण्टा ।
प्रश्न 9. दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9 3/8 घण्टों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल : माना कम व्यास वाला नल पानी के हौज को x घण्टे में भरता है।
⋅.⋅ बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में 10 घण्टे कम समय है।
∴ बड़े व्यास वाला नल हौज को (x – 10) घण्टे में भरेगा।
अत: छोटा नल उसे 25 घण्टे में भरता है, तब बड़ा नल उसे 25 – 10 = 15 घण्टे में भर सकता है।
अतः कम व्यास वाला नल हौज को 25 घण्टे में और अधिक व्यास वाला नल उसे 15 घण्टे में भर सकता है।
प्रश्न 10. मैसूर और बंगलौर के बीच के 132 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी सवारीगाड़ी से 1 घण्टा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारीगाड़ी की औसत चाल से 11 किमी/घण्टा अधिक हो तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल : माना सवारीगाड़ी की औसत चाल x किमी प्रति घण्टा है।
⋅.⋅ एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल सवारीगाड़ी की अपेक्षा 11 किमी प्रति घण्टा अधिक है।
∴ एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल = (x + 11 ) किमी प्रति घण्टा
प्रश्न 11. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 वर्ग मीटर है। यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 मीटर हो तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल : माना एक वर्ग की भुजा x मीटर है।
तब उस वर्ग की परिमाप = 4 x मीटर
प्रश्नावली 4.4
प्रश्न 1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।
अतः समीकरण के बराबर होने के लिए k = 6 होना चाहिए क्योंकि k = 0 प्रतिबन्धित होता है।
प्रश्न 3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 मीटर’ हो ? यदि है तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल : माना आम की बगिया की चौड़ाई x मीटर है
अतः दी हुई बगिया सम्भव है और उसकी लम्बाई 40 मीटर व चौड़ाई 20 मीटर होगी।
प्रश्न 4. क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए :
दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षो में) का गुणनफल 48 था।
हल : माना एक मित्र की आयु x वर्ष है।
उक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण a x2 + b x + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 20 तथा c = 112
तब विविक्तकर D = b2 – 4 a c
= (- 20)2 – 4 × 1 × 112
= 400 – 448
= – 48
⋅.⋅ विविक्तकर D ऋणात्मक है।
∴ समीकरण के मूल अधिकल्पित हैं।
अतः ऐसी स्थिति सम्भव नहीं है।
प्रश्न 5. क्या परिमाप 80 मीटर तथा क्षेत्रफल 400 मीटर के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल : माना पार्क की लम्बाई x मीटर है
∴ प्रत्येक मूल 20 है।
अतः ऐसा पार्क सम्भव है और उसकी लम्बाई व चौड़ाई में से प्रत्येक 20 मीटर होगी।