UK Board 10th Class Math – Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
UK Board 10th Class Math – Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
UK Board Solutions for Class 10th Math – गणित – Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
प्रश्नावली 9.1
प्रश्न 1. सर्कस का एक कलाकार एक 20 मीटर लम्बी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे. खम्भे के शिखर से बँधी हुई है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल : चित्र में AB एक खम्भा है जिसका सिरा B भूमि पर गड़ा है। खम्भे के शिखर A से एक तनी हुई डोरी AC भूमि पर एक स्थान (बिन्दु) C से बँधी है। डोरी AC की लम्बाई 20 मीटर है। डोरी भूमि स्तर BC के साथ बिन्दु C पर ∠ACB = 30° बनाती है।
हमें खम्भे की ऊँचाई AB ज्ञात करनी है और डोरी की लम्बाई AC = 20 मीटर ज्ञात है।
तब समकोण Δ ABC में,
अतः खम्भे की ऊँचाई = 10 मीटर । उत्तर
प्रश्न 2. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिन्दु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल : माना PQ एक वृक्ष है जो बिन्दु R से टूटकर भूमि पर गिर गया है। वृक्ष के ऊपरी भाग RP का ऊपरी सिरा P भूमि पर बिन्दु S को छू रहा है। बिन्दु S की पेड़ से दूरी SQ = 8 मीटर है। वृक्ष का टूटा हुआ भाग PR, भूमि पर बिन्दु S से ∠QSR = 30° बनाता है।
तब, समकोण त्रिभुज QSR में,
प्रश्न 3. एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 मीटर की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 मीटर की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई क्या होनी चाहिए?
हल: जब ठेकेदार 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी लगाता है तो उसकी ऊँचाई AB = 1.5 मीटर तथा फिसलनपट्टी का भूमि के साथ कोण ACB = 30° है।
जब ठेकेदार 5 वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी लगाता है तो उसकी ऊँचाई A’B’ = 3 मीटर होती है और फिसलनपट्टी भूमि के साथ कोण ∠ A’C’B’ = 60° बनाती है।
अतः 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लम्बाई = 3 मीटर तथा इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलपट्टी की लम्बाई = 2√3 मीटर |
प्रश्न 4. भूमि के एक बिन्दु से जो मीनार के पाद- बिन्दु से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए । (√3 = 1.73).
हल : मान लिया, भूमि तल पर एक मीनार AB है जिसकी चोटी A तथा आधार (नींव) B है। मीनार के आधार B से 30 मीटर दूर भूमि पर स्थित कोई बिन्दु C है। C से मीनार की चोटी A का उन्नयन कोण ∠ACB = 30° है।
प्रश्न 5. भूमि से 60 मीटर की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बाँध दिया गया और भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल : मान लिया AX एक क्षैतिज रेखा है जिस पर स्थित एक बिन्दु C से BC = 60 मीटर ऊँचाई पर एक पतंग B उड़ रही है । यह पतंग B, क्षैतिज भूमि पर स्थित एक बिन्दु A से तनी हुई डोरी AB द्वारा संयोजित है। डोरी AB का भूमि के साथ कोण (झुकाव ) 60° है।
चित्र में ACB एक समकोण त्रिभुज है,
प्रश्न 6. 1.5 मीटर लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है । बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
प्रश्न 7. भूमि के एक बिन्दु से एक 20 मीटर ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल : मान लिया क्षैतिज भूमितल पर स्थित BQ एक भवन है जिसकी ऊँचाई BQ = 20 मीटर है। भवन की चोटी के ऊपर एक संचार मीनार BH स्थित है। भवन के आधार Q से किसी दूरी PQ पर एक बिन्दु P है। बिन्दु P से संचार मीनार के तल का उन्नयन कोण ∠ BPQ = 45° तथा शिखर H का उन्नयन कोण ∠ HPQ = 60° है।
प्रश्न 8. एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिन्दु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिन्दु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल : माना PQ एक x मीटर ऊँची पेडस्टल है जिसकी चोटी P पर एक मूर्ति PS लगी है। मूर्ति की ऊँचाई PS = 1.6 मीटर है। क्षैतिज भूमि पर स्थित एक बिन्दु R से मूर्ति के ऊपरी सिरे S का उन्नयन कोण ∠QRS = 60° है तथा इसी बिन्दु R से पेडस्टल के शिखर P का उन्नयन कोण ∠PRQ = 45° है।
प्रश्न 9. एक मीनार के पाद-बिन्दु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मीटर ऊँची हो तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल : मान लिया AB एक मीनार है जिसकी ऊँचाई 50 मीटर है। मीनार के पाद – बिन्दु B से एक भवन CD की चोटी D का उन्नयन कोण 30° है, जबकि भवन के आधार – बिन्दु C से मीनार की चोटी A का उन्नयन कोण 60° है। मीनार के आधार B से भवन के आधार C की दूरी BC है।
प्रश्न 10. एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान ऊँचाई वाले दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई और खम्भों से बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल : चित्र में, PA तथा QB समान ऊँचाई h मीटर के दो खम्भे हैं जो सड़क की चौड़ाई AB के सिरों क्रमश: A व B पर स्थित हैं। खम्भों की सीध में सड़क के किसी बिन्दु R से दोनों खम्भों के शिखर क्रमश: 60° व 30° के उन्नयन कोण बनाते हैं।
⋅.⋅ सड़क की चौड़ाई AB = 80 मीटर तथा माना बिन्दु R की पहले खम्भे PA से दूरी x मीटर है। अत: बिन्दु R की खम्भे QB से दूरी = (80 – x) मीटर
अतः खम्भे की ऊँचाई = 34.60 मीटर और पहले खम्भे से प्रेक्षण बिन्दु की दूरी = 20 मीटर तथा दूसरे खम्भे से प्रेक्षण बिन्दु की दूरी = 80 – 20 = 60 मीटर ।
प्रश्न 11. एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 मीटर दूर और इस बिन्दु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।
हल : माना BC चौड़ाई की एक नहर है जिसके एक तट B पर एक टीवी टॉवर AB खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक बिन्दु C से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण ∠ACB = 60° है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 मीटर दूर तथा बिन्दु C और टॉवर के आधार B को मिलाने वाली रेखा की सीध में एक बिन्दु D है। बिन्दु D से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है।
माना टॉवर AB की ऊँचाई h मीटर तथा नहर की चौड़ाई BC = x मीटर है।
अतः टीवी टॉवर की ऊँचाई = 10 √3 मीटर तथा नहर की चौड़ाई = 10 मीटर |
प्रश्न 12. 7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल : माना AB एक केबल टॉवर है और उसी धरातल में एक भवन CD है जिसकी ऊँचाई 7 मीटर है। भवन के शिखर C से क्षैतिज धरातल के समान्तर एक रेखा CE है। भवन के शिखर C से केबल टॉवर के शिखर A का उन्नयन कोण ∠ACE = 60° है और केबल टॉवर के पाद B का अवनमनं कोण ∠ECB = 45° है।
प्रश्न 13. समुद्र तल से 75 मीटर ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल : माना 75 मीटर ऊँचे एक प्रकाश स्तम्भ PQ के शिखर P से, A और B जहाजों के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° हैं।
प्रश्न 14. 1.2 मीटर लम्बी एक लड़की भूमि से 88.2 मीटर की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है। इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल: लड़की की आँख से गुब्बारे की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई = 88.2 मीटर
प्रश्न 15. एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एकसमान चाल से जाता है। छः सेकण्ड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिन्दु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल : माना BCQ एक सीधा राजमार्ग है जिसके किसी बिन्दु Q पर खड़ी किसी मीनार की ऊँचाई OQ है। एक प्रेक्षक मीनार के शिखर बिन्दु O पर बैठा देखता है कि एक नाव B का अवनमन कोण 30° है जिससे ∠OBQ= 30° है। प्रेक्षक 6 सेकण्ड बाद देखता है कि नाव का अवनमन कोण 60° है जिससे ∠OCQ = 60° है।
तब BC = 6 सेकण्ड में नाव द्वारा चली दूरी ।
अतः नाव को मीनार के पाद तक पहुँचने में लगने वाला समय = 3 सेकण्ड। उत्तर
प्रश्न 16. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।
हल : मान लिया AB एक मीनार है जिसकी ऊँचाई h है। मीनार के आधार B के दोनों ओर B से क्रमशः 4 मीटर और 9 मीटर दूरियों पर दो बिन्दु P और Q स्थित हैं। यदि बिन्दु P से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण θ हो तो Q से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण θ का कोटिपूरक ( 90° – θ ) होगा।
