WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 9 ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য
WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 9 ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য
West Bengal Board 9th Class Math Solutions Chapter 9 ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য
West Bengal Board 9th Math Solutions
কযে দেখি 9
1. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; D বিন্দু দিয়ে CA এবং BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ BA এবং CA বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, EF = 1/2 BC
Ans. ধরাযাক, ΔABC-এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D; D থেকে CA ও BA এর সমান্তরাল সরলরেখা দুটি যথাক্রমে BA ও CA কে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ্য : EF = 1/2 BC
প্রমাণ : DF || BA (অঙ্কনানুসারে), আবার D, BC-এর মধ্যবিন্দু
∴ F, AC এর মধ্যবিন্দু
আবার DE || CA (অঙ্কনানুসারে) এবং D, BC এর মধ্যবিন্দু
∴ E, AB এর মধ্যবিন্দু।
এখন E ও F যথাক্রমে ΔABC-এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ EF = 1/2 BC (প্রমাণিত)
2. D এবং E যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের উপর এমনভাবে অবস্থিত যে, AD = 1/4 AB এবং AE = 1/4 AC; প্রমাণ করি যে DE || BC এবং DE = 1/4 BC
Ans. ধরাযাক, D এবং E যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের উপর এমনভাবে অবস্থিত যে AD = 1/4 AB এবং AE = 1/4 AC
প্ৰামাণ্য : DE || BC এবং DE = 1/4 BC
আকন : AB বাহুর মধ্যবিন্দু F এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু G নেওয়া হল। F, G যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : এখন ΔABC-এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে F এবং G
∴ FG || BC এবং FG = 1/2 BC
আবার যেহেতু F, AB এর মধ্যবিন্দু এবং AD = 1/4 AB
3. X এবং Z যথাক্রমে POR ত্রিভুজের QR এবং QP বাহুর মধ্যবিন্দু। OP বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হলো যাতে PS ZP হয়। SX, PR বাহুকে Y বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PY = 1/4 PR
Ans. ধরাযাক, PQR এর QR ও PQ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Z ।
QP কে S পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যাতে PS = ZP হয়।
SX, PR বাহুর Y বিন্দুতে ছেদ করে।
4. প্রমাণ করি যে, একটি সামান্তরিকের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যুক্ত করে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয় সেটি একটি সামান্তরিক।
Ans. ধরাযাক, ABCD একটি সামান্তরিক যার AB, BC, CD ও DA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R ও S;
এখন, P, Q; Q, R; R, S ও S, P যুক্ত করলাম
প্রামাণ্য : PQRS একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন : BD কর্ণ অঙ্কন করলাম।
প্রমাণ : ΔABD-এর AB ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও S;
5. প্রমাণ করি যে, একটি আয়তাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যুক্ত করে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয় সেটি একটি রম্বস কিন্তু বর্গাকার চিত্র নয়।
Ans. ধরাযাক, ABCD একটি আয়তক্ষেত্র। AB, BC, CD, DA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R, S |
P, Q; Q, R; R, S এবং S, P যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য : PQRS একটি রম্বস কিন্তু বর্গক্ষেত্র নয়।
অঙ্কন :P, R ও S, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : ΔAPS ও APBQ এর
AP = BP [কল্পনানুসারে]
AS = BQ [কল্পনানুসারে]
∠PAS = ∠PBQ [উভয়েই সমকোণ]
∴ ΔAPS ≅ ΔPBQ
∴ PS = PQ
অনুরূপে, ΔPBQ ও ΔRCQ হতে পাই, PQ = QR
ΔQRC ও ΔRSD হতে পাই, QR = RS
ΔRSD ও ΔAPS হতে পাই, RS = PS
∴ PQ = QR = RS = SP
এখন PQRS চতুর্ভুজের PQ = QR = RS = SP
কিন্তু PR > SQ
∴ PQRS চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং কর্ণদ্বয় অসমান সুতরাং PQRS একটি রম্বস কিন্তু বর্গক্ষেত্র নয়।
6. প্রমাণ করি যে, একটি বর্গাকার চিত্রের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যুক্ত করলে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয় সেটি একটি বর্গাকার চিত্র।
Ans. ধরাযাক, ABCD একটি বর্গক্ষেত্র। AB, BC, CD, DA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R ও S।
P, Q; Q, R; R, S এবং S, P যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য : PQRS একটি বর্গক্ষেত্র।
অঙ্কন :P, R ও S, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : ΔAPS ও ΔPBQ এর
AP = BP [কল্পনানুসারে]
AS = BQ [কল্পনানুসারে]
∠PAS = ∠PBQ [উভয়েই সমকোণ]
∴ ΔAPS ≅ ΔPBQ
∴ PS = PQ
অনুরূপে, ΔPBQ ও ΔRCQ হতে পাই, PQ = QR
ΔQRC ও ΔRSD হতে পাই, QR = RS
ΔRSD ও ΔAPS হতে পাই, RS = PS
∴ PQ = QR = RS
এখন PQRS চতুর্ভুজের চারটি বাহুর সমান।
আবার PR = QS
যেহেতু PQRS চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং কর্ণদ্বয়ের মানও সমান।
সুতরাং PQRS একটি বর্গক্ষেত্র।
7. প্রমাণ করি যে, একটি রম্বসের বাহুগুলির মধ্যবিন্দুগুলি যুক্ত করে যে চতুর্ভুজটি গঠিত হয় সেটি একটি আয়তাকার চিত্র।
Ans. ধরাযাক, ABCD একটি রম্বস। AB, BC, CD, DA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q,R ও S ।
P, Q; Q, R; R, S এবং S, P যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য : PORS একটি আয়তক্ষেত্র।
প্রমাণ : ΔAPS ও ΔCRQ এর
AP = CR [কল্পনানুসারে]
AS = QC [কল্পনানুসারে]
∠PAS = ∠QCR [রম্বসের বিপরীত কোণ]
∴ ΔAPS ≅ ΔCQR
∴ PS = QR [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
অনুরূপে, ΔBPQ ও ΔDSR হতে প্রমাণ করা যায়
PQ = SR
এখন PQRS চতুর্ভুজের PQ = SR এবং PS = QR
আবার PR > SQ
সুতরাং PQRS একটি আয়তক্ষেত্র।
8. ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D এবং E; P এবং Q যথাক্রমে CD ও BD মধ্যবিন্দু প্রমাণ করি যে, BE এবং PQ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
Ans. ধরাযাক ΔABC এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু P। DB বাহুর মধ্যবিন্দু Q।
প্রামাণ্য : BE এবং QP পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
অঙ্কন : D ও E বিন্দুদ্বয় যুক্ত করা হল। E ও F বিন্দু যুক্ত করা হল এবং বর্ধিত করা হল যা BC কে O বিন্দুতে ছেদ করেছে
প্রমাণ : ΔABC এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E
9. ABC ত্রিভুজের ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডকের উপর AD লম্ব। D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ DE টানা হল যা AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AE = EC
Ans. ধরাযাক ABC ত্রিভুজের ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডকের উপর AD লম্ব। D বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল DE টানা হল যা AC কে E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য : AE = EC
অঙ্কন : D, C ও B, E যুক্ত করা হল। যারা O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : ΔBOD ও ΔEOC এর
∠DBO = ∠ECO
∠DOB বিপ্রতীপ ∠EOC
অবশিষ্ট ∠ODB = অবশিষ্ট ∠OEC
∴ ΔBOD ≅ ΔEOC
∴ BD = EC ও DO = EO [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
ΔABD ও ΔBED এর
∠BAD = ∠DEB
AB = BE
AD সাধারণ বাহু
ΔABD = ΔBED
∴ AD = DE
অর্থাৎ ADE একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ΔADB ও ΔEDC এর
AD = DE (প্রমাণিত)
BD = EC (প্রমাণিত)
∴ AB = CD
∴ AΔADB ≅ ΔEDC
∴ AE = EC (প্রমাণিত)
10. ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা। ও C বিন্দু দিয়ে AD-এর সমান্তরল সরলরেখাংশ BR এবং CT টানা হল যারা বর্ধিত BA এবং CA বাহুর সাথে যথাক্রমে T এবং R বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে 
Ans. ধরাযাক ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমা। B ও C বিন্দু দিয়ে AD এর সমান্তরাল সরলরেখা BR এবং CT টানা হল যা বর্ধিত BA এবং CA বাহুর সাথে যথাক্রমে T এবং R বিন্দুতে মিলিত হয়।
12. AB সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। A, B এবং C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব যথাক্রমে AR, BS এবং CT; প্রমাণ করি যে, AR+ BS = 2CT
Ans. মনেকরি AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং PQ যেকোনো একটি সরলরেখা।
A, B, C বিন্দুগুলি থেকে PQ এর ন্যূনতম দূরত্ব যথাক্রমে AR, BS ও CT
প্রমাণ করতে হবে যে, AR + BS = 2CT
প্রমাণ : যেহেতু AR, BS এবং CT সরলরেখাগুলি যথাক্রমে A, B ও C বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব।
∴ AR, BS, CT এরা প্রত্যেকেই PQ এর উপর লম্ব এবং পরস্পর সমান্তরাল।
এখন RABS চতুর্ভুজের AR || BS এবং RS ও AB তির্যক বাহু
∴ RASB একটি ট্রাপিজিয়ম।
আবার AB বাহুর মধ্যবিন্দু C এবং CT || AR ও CT || BS
∴ T, RS বাহুর মধ্যবিন্দু ।
∴ CT = 1/2 (AR + BS)
∴ AR+ BS = 2CT (প্রমাণিত)
13. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D ; A বিন্দু দিয়ে PQ যেকোনো একটি সরলরেখা। B, C এবং D বিন্দু থেকে PQ সরলরেখার উপর লম্ব যথাক্রমে BL, CM এবং DN; প্রমাণ করি যে, DL DM.গ
Ans. প্রমাণ : ‘.’ BL, DN ও CM এর প্রত্যেকেই PQ সরলরেখার উপর লম্ব, সুতরাং তারা পরস্পর সমান্তরাল।
‘.’ BL || DN || CM এবং BO = DC
∴ LN = NM
এবার, ΔDLN ও ΔDMN এর
LN = MN (প্রমাণিত)
DN সাধারণ বাহু।
এবং অন্তর্ভূত ∠DNL = অন্তর্ভূত ∠DNM [‘.’ DN ⊥ PQ]
∴ ΔDLN ≅ ΔDMN
∴ DL = DM (অনুরূপ)।
The Complete Educational Website