Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए
(i) 140 (ii) 156 (i) 3825 . (iv) 5005 (1) 7429
हल :
(i)

140 = 2 x 2 x 5 x 7
= 2² x 5 x 7

(ii)

156 = 2 x 2 x 3 x 13
= 2² x 3 x 13

(iii)

3825 = 3 x 3 x 5 x 5 x 17
= 3² x 5² x 17

(iv)

5005 = 5 x 7 x 11 x 13

(v)

7429 = 17 x 19 x 23

प्रश्न 2.
पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF X LCM है। .
(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54
हल :

26 = 2 × 13
91 = 7× 13
∴ 26 और 91 का HCF = 13
तथा 26 और 91 का LCM = 2 × 13 × 7 = 182
जाँच-दो संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
HCF(26, 91) × LCM(26, 91) = 13 × 182 = 2366
अतः दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

∴ 510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2 × 2 × 23 = 2² × 23
∴ HCF(510, 92) = 2
तथा LCM(510, 92) = 2² × 3 × 5 × 17 × 23
= 4 × 3 × 5 × 17 × 23
= 23460
जाँच-दो संख्याओं का गुणनफल = 510 × 92 = 46920
दी गई संख्याओं के HCF और LCM का गुणनफल = 2 × 23460 = 46920
अतः दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 24 × 3×7
54 = 2 × 3×3 × 3 = 2 × 3³
∴ HCF(336, 54) = 2 × 3 = 6
तथा LCM(336, 54) = 2⁴ × 3³ × 7
_ = 16 × 27×7
= 3024
जाँच-दो संख्याओं का गुणनफल = 336 × 54 = 18144
दी गई संख्याओं के HCF और LCM का गुणनफल = 6 × 3024 = 18144
अतः दो संख्याओं का गुणनफल = HCF X LCM

प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए-
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8,9 और 25
हल :

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
∴ HCF(12, 15, 21) = अभाज्य गुणनखंडों की उभयनिष्ठ सबसे छोटी घातों का गुणनफल = 3¹ = 3
LCM(12, 15, 21) = अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल = 2² × 3 × 5 × 7
=4 × 3 × 5 × 7 = 420

(ii). 17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29 = 1 × 29
∴ HCF(17, 23, 29) = अभाज्य गुणनखंडों की उभयनिष्ठ सबसे छोटी घातों का गुणनफल = 1
LCM(17,23,29) = अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल = 1 × 17 × 23 × 29 = 11339

8 = 2 × 2 × 2 = 2³
9 = 3 × 3 = 3²
25 = 5 × 5 = 5²
∴ HCF(8, 9,25) = अभाज्य गुणनखंडों की उभयनिष्ठ सबसे छोटी घातों का गुणनफल = 1
LCM(8, 9, 25) = अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल = 2³ × 3² × 5²
= 8 × 9 × 25 = 1800

प्रश्न 4.
HCF(306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, दी गई संख्याएँ = 306 व 657
HCF(306, 657) = 9
∴ LCM(306, 657) = Undefined control sequence \operatorname
= 306×657/9 = 34 × 657 = 22338

प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6 अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
हल :
हम जानते हैं कि कोई भी धनात्मक प्राकृत संख्या जो शून्य पर समाप्त होती है वह 5 से विभाज्य होती है, इसलिए उसके अभाज्य गुणनखंडों में अभाज्य संख्या 5 होनी चाहिए।
अब 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ
यहाँ पर 6ⁿ के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 और 3 हैं।
अतः 6ⁿ किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए कभी भी शून्य पर समाप्त नहीं हो सकती।

प्रश्न 6.
व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
हल :
यहाँ पर,
पहली संख्या = 7 × 11 × 13 + 13
= [7 × 11 × 1 + 1] × 13 जो कि 13 से भाज्य है। इसी प्रकार,
दूसरी संख्या = 7 × 6 × 5 ×.4 × 3 × 2 × 1 + 5
= [7 × 6 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1] × 5 जो कि 5 से भाज्य है।
अतः संख्याएँ 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ हैं।

प्रश्न 7.
किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लंगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?
हल :
यहाँ पर हम 18 मिनट और 12 मिनट का LCM ज्ञात करेंगे, जो कि सोनिया और रवि का पुनः मिलने का समय होगा।

18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
∴ LCM(18, 12) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
अतः सोनिया और रवि एक ही स्थान से चलने के बाद दोबारा 36 मिनट बाद प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे।