Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं-
(i) (x + 1)- = 2(x – 3)
(ii) – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)
(iv) (x – 3)(2x + 1)=x(x + 5)
(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² – 1)
(vii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)
हल :
(i) यहाँ पर,
(x + 1)² = 2(x – 3)
⇒ x² + 1 + 2x = 2x – 6
x² + 1 + 2x – 2x + 6 = 0
x² + 7 = 0
∵ दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें a = 1, b = 0 और c = 7 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात है।

(ii) यहाँ पर,
x² – 2x = (-2) (3 –x)
⇒ x² – 2x = -6 + 2x
⇒ x² – 2x — 2x + 6 = 0
⇒ x² – 4x + 6 = 0
∵ दिए गए समीकरण को ar2 + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें a = 1, b = -4 और c = 6 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात है।

(iii) यहाँ पर,
(x – 2)(x + 1) = (x- 1)(x + 3)
⇒ x² – 2x +x – 2 = x² – x + 3x – 3
⇒ x² – x – 2 = x² + 2x – 3
⇒ x² – x² – x – 2x – 2 + 3 = 0
⇒ -3x + 1 = 0
∵ दिए गए समीकरण की घात एक है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात नहीं है।

(iv) यहाँ पर,
(x – 3)(2x + 1) = x(x + 5)
⇒ 2x² – 6x + x -3 = x² + 5x
⇒ 2x² – 5x – 3 – x² – 5x = 0
⇒ x² – 10x – 3 = 0
∵दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें a = 1, b = -10 और c =-3 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात है।

(v) यहाँ पर,
(2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x- 1)
⇒ 2x² – x – 6x + 3 = x² + 5x – x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5
⇒ 2x² – x² – 7x-4x + 3 + 5 = 0
⇒ x² – 11x + 8 = 0
∵ दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें a = 1, b = -11 और c = 8 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात है।

(vi) यहाँ पर,
x²+ 3x + 1 = (x-2)²
⇒ x² + 3x + 1 = x² + 4 – 4x
⇒ x² – x² + 3x + 4x + 1 – 4 = 0
⇒ 7x – 3 = 0
∵ दिए गए समीकरण की घात एक है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात नहीं है।

(vii) यहाँ पर,
(x + 2)³ = 2x(x² – 1)
⇒ (x)³ + (2)³ + 3 x x x 2(x + 2) = 2x³ – 2x
⇒ x³ +8+ 6x² + 12x – 2x³ + 2x = 0 –
⇒ -x³ + 6x² + 14x + 8 = 0
∵ दिए गए समीकरण की घात 3 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात नहीं है।

(viii) यहाँ पर,
x³ – 4x² – x + 1 = (x -2)³
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = (x)³ – (2)³ – 3 x x x 2(x-2)
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 8 – 6x² + 12x
⇒ x³ – x³ – 4x² + 6x² – x – 12x + 1 + 8 = 0
⇒ 2x² – 13x +9 = 0
∵ दिए गए समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें a= 2, b = -13 और c = 9 है।
∴ दिया गया समीकरण द्विघात है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528m- है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल :
(i) माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m
तो आयताकार भूखंड की लंबाई = (2x + 1)m
आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई
= x(2x + 1)m²
= (2x² + x)m²
प्रश्नानुसार,
2x² +x = 528
⇒ 2x² +x – 528 = 0
⇒ 2x² + 33x – 32x – 528 = 0
⇒ x(2x + 33)- 16(2x + 33) = 0
⇒ (2x + 33)(x – 16) = 0
⇒ 2x + 33 = 0 या x – 16 = 0
⇒ x= -33/2 या x = 16
परंतु चौड़ाई ऋणात्मक संभव नहीं है। .
∴ आयताकार भूखंड की लंबाई = (2 x 16 + 1)m = 33m
आयताकार भूखंड की चौड़ाई = 16m

(ii) माना दो क्रमागत पूर्णांक = x व x +1
प्रश्नानुसार,
x(x + 1) = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
⇒ x² + 18x – 17x – 306 = 0
⇒ x(x + 18)-17(x + 18) = 0
⇒ (x + 18)(x – 17) = 0
⇒ x + 18 = 0 या x – 17 = 0
⇒ x = -18 या x = 17
परंतु -18 संभव नहीं है, क्योंकि पूर्णांक धनात्मक दिया है।
∴ अभीष्ट पूर्णांक = 17 एवं 18

(iii) माना रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष
तो रोहन की माँ की वर्तमान आयु = (x + 26) वर्ष
3 वर्ष पश्चात् रोहन की आयु = (x + 3) वर्ष
3 वर्ष पश्चात् रोहन की माँ की आयु = (x + 26 + 3) वर्ष
= (x + 29) वर्ष
प्रश्नानुसार,
(x + 3) x (x + 29) = 360
⇒ x² + 3x + 29x + 87-360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
⇒ x² + 39x – 7x – 273 = 0
⇒ x(x + 39)-7(x + 39) = 0
⇒ (x + 39)(x – 7) = 0
⇒ x+ 39 = 0 या x-7 = 0
⇒ x = -39 या x = 7
परंतु x = -39 संभव नहीं है, क्योंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।
∴ रोहन की वर्तमान आयु = 7 वर्ष

(iv) माना रेलगाड़ी की सामान्य चाल = xkm/h
रेलगाड़ी द्वारा तय की जाने वाली दूरी = 480km/h
सामान्य चाल से 480km दूरी तय करने में लिया गया समय = 480/x h
दूसरी अवस्था में रेलगाड़ी की चाल = (x – 8)km/n
दूसरी अवस्था में रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = 480/x−8 h
प्रश्नानुसार,
480/x=480/x−8−3
⇒ 480(x – 8) = 480x – 3x(x – 8)
⇒ 480x – 3840 = 480x – 3x² + 24x
⇒ 3x² – 24x – 3840 = 0
⇒ x² – 8x – 1280 = 0
⇒ x² – 40x + 32x -1280 = 0
⇒ x(x – 40) + 32(x – 40) = 0
⇒ (x – 40)(x + 32) = 0
⇒ x – 40 = 0 या x + 32 = 0
⇒ x = 40 या x =-32
परंतु x = -32 संभव नहीं है, क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
∴ रेलगाड़ी की सामान्य चाल = 40km/h