Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखंड विधि से निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x² – x + 1/8 = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल:
(i) यहाँ पर,
x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x -5) = 0
⇒ (x – 5)(x + 2) = 0
⇒ x – 5 = 0 या x + 2 = 0
⇒ x = 5 या x = -2
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = 5 व -2

(ii) यहाँ पर,
2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)(2x – 3) = 0
⇒ x + 2 = 0 या 2x-3 = 0
⇒ x = -2 याx = 3/2
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = -2 व 3/2

(iii) यहाँ पर,
√2x² + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
⇒ x(√2x + 5) + 12 (√2x + 5) = 0
⇒ (√2x + 5)(x + √2) = 0
⇒ √2x + 5 = 0 या x + √2 = 0
⇒ x = −5/√2 या x = -√2
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = −5/√2 व -√2

(iv) यहाँ पर,
2x² – x + 1/8 = 0 (दोनों ओर 8 से गुणा करने पर)
⇒ 16x² – 8x + 1 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1)(4x – 1) = 0
⇒ 4x – 1 = 0 या 4x – 1 = 0
⇒ x = 1/4 या x = 1/4
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = 1/4 व 1/4

(v) यहाँ पर,
100x² – 20x + 1 = 0
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1)- 1(10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1)(10x – 1) = 0
⇒ 10x – 1= 0 या 10x – 1 = 0
x = 1/10 या x = 1/10
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = 1/10 व 1/10

प्रश्न 2.
निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल कीजिए-
(i) x² – 45x + 324 = 0
(ii) x² – 55x + 750 = 0
हल:
(i) यहाँ पर,
x² – 45x + 324 = 0
⇒ x² – 36x – 9x + 324 = 0
⇒ x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
⇒ (x – 36)(x – 9) = 0
⇒ x – 36 = 0 या x – 9 = 0
⇒ x = 36 या x = 9
अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट हल = 36 व 9

(ii) यहाँ पर,
x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – 30x – 25x + 750 = 0
⇒ x(x – 30) – 25(x – 30) = 0
⇒ (x – 30)(x – 25) = 0
⇒ x – 30 = 0 या x – 25 = 0
⇒ x = 30 या x = 25
अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट हल = 30 व 25

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल :
माना दो संख्याएँ = x तथा
प्रश्नानुसार,
x+y = 27 ………….(i)
xy = 182 ……(ii)
समीकरण (i) से x = 27-y को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
(27 – y)y = 182
⇒ 27y – y² = 182
⇒ y² – 27y + 182 = 0
⇒ y² – 14y – 13y + 182 = 0
⇒ y(y – 14) – 13(y – 14) = 0
⇒ (y – 14)(y – 13) = 0
⇒ y – 14 = 0 या y – 13 = 0
⇒ y = 14 या y = 13
यदि y = 14 तो x = 27 – 14 = 13
यदि y = 13 तो x = 27 – 13 = 14
अतः अभीष्ट संख्याएँ = 13 व 14

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल:
माना दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = x तथा x +1
प्रश्नानुसार
(x)² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 2x + 1 – 365 = 0
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ x² + x – 182 = 0 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14)- 13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14)(x – 13) = 0
⇒ x + 14 = 0 या x – 13 = 0
⇒ x = -14 या x = 13
परंतु x = -14 संभव नहीं है, क्योंकि पूर्णांक धनात्मक है।
अतः अभीष्ट क्रमागत धनात्मक पूर्णाक = 13 व 14

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7cm कम है। यदि कर्ण 13cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना,
समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
तो समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = (x – 7)cm
समकोण त्रिभुज का कर्ण = 13cm
हम जानते हैं कि (आधार)² + (लंब)² = (कर्ण)²
⇒ (x)² + (x – 7)² = (13)²
⇒ x² + x² – 14x + 49 – 169 = 0
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
⇒ x² – 12x + 5x -60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5(x – 12) = 0
⇒ (x – 12)(x + 5) = 0
⇒ x – 12 = 0 या x + 5 = 0
⇒ x = 12 या x = -5
परंतु x = -5 संभव नहीं हैं, क्योंकि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अत ∴ समकोण त्रिभुज का आधार = 12cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = (12 – 7)cm = 5cm

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रु० थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना विशेष दिन में निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या =x
तो विशेष दिन में निर्माण किए गए प्रत्येक बर्तन की लागत= (2x + 3)रु०
प्रश्नानुसार,
x x (2x + 3) = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15)(x – 6) = 0
⇒ 2x + 15 = 0 या x – 6 = 0
⇒ x = -15/2 या x = 6
परंतु x = -15/2 संभव नहीं है, क्योंकि बर्तनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः विशेष दिन में निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या = 6
विशेष दिन में निर्माण किए गए बर्तनों की लागत = (2 x 6 + 3)रु० = 15 रु०