Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.3

प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए-
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4= 0
(iii) 4x² + 4√3 x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4= 0
हल:
(i) यहाँ पर,
2x² – 7x + 3 = 0
a = 2, b = -7, c = 3
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-7)² – 4(2)(3)
= 49 -24 = 25 > 0
∵ मूलों का अस्तित्व है।
अब 2x² – 7x + 3 = 0
दोनों ओर 2 से भाग करने पर

अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल = 3 व 1/2 उत्तर

(ii) यहाँ पर,
2x² + x – 4 = 0 .
a = 2, b = 1,c = -4
विविक्तकर = b² – 4ac
= (1)² – 4(2)(-4)
= 1 + 32 = 33 > 0
∴ मूलों का अस्तित्व है।
अब 2x² +x-4 = 0
दोनों ओर 2 से भाग करने पर,

अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल = √33−1/4 व −(√33+1)/4

(iii) यहाँ पर,
4x² + 4√3x + 3 = 0
a = 4, b = 4√3,c = 3
विविक्तकर = b² – 4ac
= (4√3)²-4(4)(3)
= 48 – 48 = 0
∴ मूलों का अस्तित्व है।
4x² +4√3x + 3 = 0
(2x)2 + 2 x 2x x √3 + (√3)2 = 0
(2x + √3 )2 = 0
2x + √3 = 0 और 2x + √3 = 0
x =  और x = 
अतः दी गई समीकरण के अभीष्ट मूल =

(iv) यहाँ पर,
2x² + x + 4 = 0
a = 2, b = 1,c = 4
विविक्तकर = b² – 4ac
= (1)² – 4(2)(4)
= 1 – 32 = -31 <0
∴ मूलों का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए-
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
हल:
(i) यहाँ पर,
2x√ – 7x + 3 = 0
a= 2, b =-7,c = 3
द्विघाती सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं-

अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = 3 व = 1/2

(ii) यहाँ पर,
2x² + x – 4 = 0
a = 2, b = 1,c = -4
द्विघाती सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं-

(iii) यहाँ पर,
4x² + 4√3 x + 3 = 0
a = 4, b = 4√3,c = 3
द्विघाती सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं,

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए-
(i) x – 1/x = 3 x ≠ 0
(ii) 1/x+4−1/x−7=11/30 x ≠ -4, 7
हल:
(i) यहाँ पर, x – 1/x = 3
x² – 1 = 3x (दोनों ओर x से गुणा करने पर)
x² – 3x – 1 = 0
a = 1, b = -3,c = -1
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-3)² – 4(1)(-1)
= 9 + 4 = 13>0
∴ दी गई समीकरण के मूल वास्तविक हैं।
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से,

(ii) यहाँ पर, 1/x+4−1/x−7=1i/30
30(x -7)-30(x + 4) = 11(x + 4)(x-7)
(दोनों ओर 30(x + 4)(x – 7) से गुणा करने पर)
30x – 210 – 30x – 120 = 11(x² – 3x – 28)
-330 = 11(x² – 3x – 28)
x² – 3x – 28 = -30
x² – 3x + 2 = 0
a = 1, b = -3, c = 2
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-3)² – 4(1)(2)
= 9 – 8 = 1 > 0
∴ दी गई समीकरण के मूल वास्तविक हैं।
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से,

अतः दी गई समीकरण के अभीष्ट मूल = 2 व 1

प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल :
माना
रहमान की वर्तमान आयु = x वर्ष
तो 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = (x – 3) वर्ष
तो 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु = (x + 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
1/x−3+1/x+5=1/3
3(x + 5) + 3(x – 3) = (x-3)(x +5)
(दोनों ओर 3(x – 3)(x + 5) से गुणा करने पर)
3x + 15 + 3x-9 = x² – 3x + 5x – 15
6x + 6 = x² + 2x – 15
x² + 2x – 6x – 15 – 6 = 0
x² – 4x – 21 = 0
a = 1, b = -4,c = -21
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-4)² – 4(1)(-21)
= 16 + 84 = 100 >0
∵ दी गई समीकरण के मूल वास्तविक हैं।
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से,

परंतु x =-3 असंभव है, क्योंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती,
अतः रहमान की वर्तमान आयु = 7 वर्ष

प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना क्लास टेस्ट में शेफाली द्वारा गणित में प्राप्त अंक = x
तो क्लास टेस्ट में शेफाली द्वारा अंग्रेजी में प्राप्त अंक = (30 -x)
प्रश्नानुसार,
(x + 2)(30 – x – 3) = 210
(x + 2)(27 – x) = 210
27x – x² + 54 – 2x – 210 = 0
-x² + 25x – 156 = 0
x² – 25x + 156 = 0 (दोनों ओर -1 से गुणा करने पर)
x² – 13x – 12x + 156 = 0
x(x – 13)- 12(x – 13) = 0
(x – 13)(x – 12) = 0
x – 13 = 0 या x – 12 = 0
x = 13 या x = 12
अतः शेफाली द्वारा गणित में प्राप्त अंक 13 तो अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – 13 = 17
तथा शेफाली द्वारा गणित में प्राप्त अंक 12 तो अंग्रेजी में प्राप्त अंक == 30 – 12 = 18

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी० अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी० अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :

माना आयताकार खेत की छोटी भुजा = x मी०
तो आयताकार खेत की बड़ी भुजा = (x + 30) मी०
आयताकार खेत का विकर्ण = (x + 60) मी०
हम जानते हैं कि किसी आयताकार खेत के लिए,
x² + (x + 30)² = (x + 60)²
x² + x² + 60x + 900 = x² + 120x + 3600
2x² – x² + 60x – 120x + 900 – 3600 = 0
x² – 60x – 2700 = 0
x² – 90x + 30x – 2700 = 0
x(x – 90) + 30(x – 90) = 0
(x – 90)(x + 30) = 0
x – 90 = 0 या x + 30 = 0
x = 90 या x = -30
परंतु x = -30 असंभव है, क्योंकि भुजाएँ ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः आयताकार खेत की छोटी भुजा = 90 मी०
तथा आयताकार खेत की बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 मी०

प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना छोटी संख्या = x
तथा बड़ी संख्या = y
प्रश्नानुसार,
x² = 8y …..(1)
(y)² – (x)² = 180 ……(ii)
समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होता है,
y² – 8y – 180 = 0
y² – 18y + 10y – 180 = 0
y(y – 18) + 10(y – 18) = 0
(y – 18)(y + 10) = 0
y – 18 = 0 या y + 10 = 0
y = 18 या y = -10
परंतु y = -10 असंभव है, क्योंकि समीकरण (i) अनुसार किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता।
y = 18
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x² = 8 x 18 = 144
x = ±12
अतः अभीष्ट संख्याएँ = 18 व 12 अथवा 18 व -12

प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना रेलगाड़ी की सामान्य चाल = x km/h
रेलगाड़ी द्वारा चली गई कुल दूरी = 360km
रेलगाड़ी द्वारा सामान्य चाल से 360km दूरी तय करने में लिया गया समय = 360/x h
रेलगाड़ी द्वारा बढ़ी चाल से 360km दूरी तय करने में लिया गया समय = 360/x+5 h
प्रश्नानुसार,
360/x−360/x+5 = 1
360(x + 5) – 360x = x(x + 5) (दोनों ओर x(x + 5) से गुणा करने पर)
360x + 1800 – 360x = x² + 5x
x² + 5x – 1800 = 0
x² + 45x – 40x – 1800 = 0
x(x + 45) – 40(x + 45) = 0
(x + 45)(x – 40) = 0
x+ 45 = 0 या x – 40 = 0
x = -45 या x = 40
परंतु x = – 45 असंभव है, क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती,
अतः रेलगाड़ी की सामान्य चाल = 40km/h

प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक-साथ एक हौज को 9 3/8 घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कम व्यास वाला नल दिए गए हौज को भर सकता है = x घंटे में
तो अधिक व्यास वाला नल दिए गए हौज को भर सकता है = (x – 10) घंटे में
कम व्यास वाले नल का 75/8 घंटे का काम = 75/8x
अधिक व्यास वाले नल का 75/8 घंटे का काम = 75/8(x−10)
प्रश्नानुसार,
75/8x+75/8(x−10) = 1
(दोनों ओर 8x(x-10) से गुणा करने पर)
75(x – 10) + 75x = 8x(x – 10) .
75x – 750 + 75x = 8x² – 80x
8x² – 80x – 150x + 750 = 0
8x² – 230x + 750 = 0
8x² – 200x -30x + 750 = 0
8x(x – 25) – 30(x – 25) = 0
(x – 25)(8x – 30) = 0
x – 25 = 0 या 8x – 30 = 0
x = 25 या x = 30/8=15/4
परंतु x = 15/4 असंभव है, क्योंकि इससे अधिक व्यास वाला समय ऋणात्मक हो जाएगा।
अतः कम व्यास वाला नल दिए गए हौज को भर सकता है = 25 घंटों में
और अधिक व्यास वाला नल दिए गए हौज को भर सकता है = (25 – 10) घंटों में = 15 घंटों में

प्रश्न 10.
मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना सवारी गाड़ी की औसत चाल = x km/h
तो एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल = (x + 11)km/h
सवारी गाड़ी द्वारा 132km दूरी तय करने में लिया गया समय = 132/x h
एक्सप्रेस रेलगाड़ी द्वारा 132km दूरी तय करने में लिया गया समय = 132/x+11 h
प्रश्नानुसार,
132/x−132/x+11 = 1
132(x + 11)- 132x = x(x + 11) (दोनों ओर x(x + 11) से गुणा करने पर)
132x + 1452 – 132x = x² + 11x
x² + 11x- 1452 = 0
x² + 44x – 33x – 1452 = 0
x(x + 44)-33(x + 44) = 0
(x + 44)(x – 33) = 0
x + 44 = 0 या x – 33 = 0
x = -44 या x = 33
परंतु x = -44 असंभव है, क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः सवारी गाड़ी की औसत चाल = 33km/h
तथा एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल = (33 + 11) = 44km/h

प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468m है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहले वर्ग की भुजा = x मी० व दूसरे वर्ग की भुजा =y मी०
तो पहले वर्ग का परिमाप = 4x मी० व दूसरे वर्ग का परिमाप = 4y मी०
तथा पहले वर्ग का क्षेत्रफल = x² वर्ग मी० व दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = y² वर्ग मी०
प्रश्नानुसार,
4x – 4y = 24
x – y = 6
x = 6 +y
x² + y² = 468
समीकरण (i) के (x) का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
(6 + y)² + y² = 468
⇒ 36 + y² + 12y + y² – 468 = 0
⇒ 2y² + 12y – 432 = 0
⇒ y² + 6y – 216 = 0
⇒ y² + 18y – 12y – 216 = 0
⇒ y(y + 18) – 12(y + 18) = 0
⇒ (y + 18)(y – 12) = 0
⇒ y + 18 = 0 या y- 12 = 0
⇒ y = -18 या y = 12
परंतु y = -18 असंभव है, क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती।
∴ y = 12 ⇒ x = 6 + 12 = 18
अतः पहले वर्ग की भुजा = 18 मी०
दूसरे वर्ग की भुजा = 12 मी०

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