MP Board Class 10th Maths | त्रिकोणमिति का परिचय

MP Board Class 10th Maths | त्रिकोणमिति का परिचय

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1

प्रश्न 1.
∆ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A, cos A,
(ii) sin C, cos C
हल :
∵ समकोण ∆ABC में,

∠B = समकोण AC² = AB² + BC²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625
AC = √625 = 25

(i) अब sinA=BCAC=725 एवं cosA=ABAC=2425
अतः sin A एवं cos 4 के अभीष्ट मान क्रमशः 725 एवं 2425 हैं।

(ii) sinC=ABAC=2425 एवं cosC=BCAC=725
अत: sin C एवं cos C के अभीष्ट मान क्रमशः 2425 एवं 725 हैं।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 8.3 में tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ ∆PQR में ∠Q समकोण है,

QR² = PR² – PQ²
= (13)² – (12)²
= 169 – 144
= 25
QR = √25 = 5
अब

अत: tan P – cot R का अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

प्रश्न 3.
यदि sin A = 34, तो cos A और tan A का परिकलन कीजिए। (2019)
हल :मान लीजिए ∆ABC एक समकोण ∆ है जिसमें ∠B समकोण है।
चूँकि sin A = 34 (दिया है)

अतः cos A एवं tan A के अभीष्ट मान क्रमशः 7√4 एवं 37√ है।

प्रश्न 4.
15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ABC एक समकोण ∆ है जिसमें ∠B समकोण है।
चूँकि 15 cot A = 8

अतः sin A एवं sec A के अभीष्ट मान क्रमशः 1517 एवं 178 है।

प्रश्न 5.
यदि secθ=1312 हो, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
हल :
मान लीजिए ∆ABC त्रिभुज का ∠B = समकोण है तथा ∠C = θ है

अतः अभीष्ट त्रिकोणमितीय (अन्य) अनुपात होंगे :

प्रश्न 6.
यदि ∠A और ∠B न्यूनकोण हों, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए ∠A = ∠B.
हल :
ACB एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ ∠A और ∠B न्यूनकोण हैं।
cos A = cos B (दिया है)

[बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं] इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
cotθ=78 तो
(i) (1+sinθ)(1−sinθ)(1+cosθ)(1−cosθ)
(ii) cot² θ के मान निकालिए।
हल :
(i) (1+sinθ)(1−sinθ)(1+cosθ)(1−cosθ)

अत: अभीष्ट मान = 4964 है।

(ii) cot² θ = (cot θ)² = (7/8)²
= 49/64
अतः अभीष्ट मान = 4964 है।

प्रश्न 8.
यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि 1−tan2A1+tan2A=cos2A−sin2A है या नहीं।
हल :
मान लीजिए ∆ABC में, ∠B पर समकोण है।
चूँकि 3 cot A = 4 (दिया है)

चूँकि सिद्ध करना है कि 1−tan2A1+tan2A=cos2A−sin2A है या नहीं

L.H.S. = R.H.S.
अतः 1−tan2A1+tan2A=cos2A−sin2A है।

प्रश्न 9.
∆ABC में जिसका कोण B समकोण है, यदि tanA=13√ तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
हल :
∆ABC का ∠B समकोण दिया है (देखिए आकृति 8.9) और tanA=13√

अतः अभीष्ट मान = 1 है।

अतः अभीष्ट मान = 0 है।

प्रश्न 10.
∆POR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + OR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।

∆POR का ∠Q समकोण दिया है और
PR + QR = 25 cm …(1)
तथा PQ = 5 cm …(2)
दिये हैं। PR² – QR² = PQ²
(PR + QR) (PR – QR) = PQ²
25 (PR – QR) = (5)² = 25
PR – QR = 2525 = 1 …(3)
2PR = 26 [समीकरण (1) + (3) से]
PR = 262 = 13
PR = 13 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
13 + QR = 25
QR = 25 – 13 = 12

अतः अभीष्ट मान sin P = 1213, cos P = 513 एवं tan P = 125 है।

प्रश्न 11.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = 125
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = 43.
हल :
(i) कथन असत्य है, क्योंकि tan A का मान θ से अनन्त तक हो सकता है।
(ii) कथन सत्य है, क्योंकि sec A का मान सदैव 1 से अधिक होता है।
(iii) कथन असत्य है, क्योंकि cos A, कोण A के cosine का संक्षिप्त रूप होता है।
(iv) कथन असत्य है, क्योंकि cot A, cot एवं A का गुणनफल नहीं बल्कि cot A, कोण A का एक त्रिकोणमितीय अनुपात होता है।
(v) कथन असत्य है, क्योंकि sin θ का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं होता।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए :
(i) sin 60°. cos 30° + sin 30°. cos 60° (2019)
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60° (2019)
(iii) cos45∘sec30∘+csc30∘
(iv) sin30∘+tan45∘−csc60∘sec30∘+cos60∘+cot45∘
(v) 5cos260∘+4sec230∘−tan245∘sin230∘+cos230∘
हल :
(i) sin 60°. cos 30° + sin 30°. cos 60°
=3√2×3√2+12×12=34+14=44=1
अतः अभीष्ट मान = 1 है।

(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
=2(1)2+(3√2)2−(3√2)2
=2+34−34
अतः अभीष्ट मान = 2 है।

(iii) cos45∘sec30∘+csc30∘

अतः अभीष्ट मान 32√−6√8 है।

(iv) sin30∘+tan45∘−csc60∘sec30∘+cos60∘+cot45∘

अतः अभीष्ट मान 43−243√11 है।

(v) 5cos260∘+4sec230∘−tan245∘sin230∘+cos230∘

अतः अभीष्ट मान 6712 है।

प्रश्न 2.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :
(i) 2tan30∘1+tan230∘ = …………
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल :
सही विकल्प है (A) sin 60°.
क्योंकि

(ii) 1−tan245∘1+tan245∘ = ……….
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0.
हल :
सही विकल्प (D) 0.
क्योंकि

(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है जबकि A बराबर है :
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°.
हल :
सही विकल्प है (A) 0°.
क्योंकि sin 2A = 2 sin A ⇒ sin 2 x 0° = 2 sin 0
⇒ sin 0° = 2 sin 0° ⇒ 0 = 2 x 0 = 0.

(iv) 2tan30∘1−tan230∘ बराबर है:
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल :
सही विकल्प है (C) tan 60°.
क्योंकि

प्रश्न 3.
यदि tan (A + B) = √3 और tan (A – B) = 13√, 0° < A + B ≤ 90° ; A > B तो A और B के मान ज्ञात कीजिए।
हल : ∵ tan (A + B) = √3 = tan 60°
⇒ A + B = 60° ….(1)
∵ tan (A – B) = 13√ = tan 30°
⇒ A – B = 30° …(2)
⇒ 2A = 90°
⇒ A = 902 = 45° [समीकरण (1) + (2) से]
A = 45° का मान समीकरण (1) में रखने पर,
⇒ A + 45° = 60°
⇒ A = 60° – 45° = 15°
अतः A एवं B के अभीष्ट मान हैं क्रमशः 45° एवं 150°.

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य है या असत्य है? कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए:
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sinθ = cosθ.
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हल :
(i) कथन असत्य है, sin (60° + 30°) = sin 90° = 1
एवं sin 60° + sin 30° = 3√2+12=3√+12 जो बराबर नहीं है।

(ii) कथन सत्य है, क्योंकि sin 0° = 0, sin 30° = 12, sin 45° = 12√, sin 60° = 3√2, एवं sin 90° = 1.

(iii) कथन असत्य है, क्योंकि cos 0° = 1, cos 30° = 3√2, cos 45° = 12√, Cos 60° = 12, एवं cos 90° = 0.

(iv) कथन असत्य है, क्योंकि sin 30° = 12 जबकि cos 30° = 3√2.

(v) कथन सत्य है, क्योंकि cot A° = cot 0° = cos0∘/sin0∘=1/0 जो कि अपरिश भाषित है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए :
(i) sin18∘cos72∘
(ii) tan26∘cot64∘
(iii) cos 48° sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 590.
हल :
(i) sin18∘cos72∘
= 1.
अतः अभीष्ट मान = 1 (एक) है।

(ii) tan26∘cot64∘
= 1
अतः अभीष्ट मान 1 (एक) है।

(iii) cos 48° sin 42° = cos (90° – 42°) – sin 42°
= sin 42° – sin 42°
= 0
अतः अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

(iv) cosec 31° – sec 59° = cosec (90° – 59°) – sec 59°
= sec 59° – sec 59°
= 0
अत: अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

प्रश्न 2.
दिखाइए कि:
(i) tan 48°. tan 23°. tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38°. cos 52° – sin 38°. sin 52° = 0.
हल :
(i) L.H.S. = tan 48°. tan 23°. tan 42° tan 67°
= tan (90° – 42°). tan 23°. tan 42°. tan (90° – 23°)
= cot 42°. tan 23°. tan 42°. cot 23°
= cos42∘sin42∘⋅sin23∘cos23∘⋅sin42∘cos42∘⋅cos23∘sin23∘
= 1
= R.H.S.
इति सिद्धम्

(ii) L.H.S. = cos 38°.cos 52° – sin 38°. sin 52°
= cos 38°. cos (90° – 38°) – sin 38° sin (90° – 38°)
= cos 38°.sin 38° – sin 38°. cos 38°
= cos 38°.sin 38° – cos 38°.sin 38°
= 0
= R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि tan 2A = cot (A – 18°) (दिया हुआ है)
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°)
90° – 2A = A – 18°
3A = 90° + 18° = 108°
A = 1083
= 36°
अतः A का अभीष्ट मान = 36° है।

प्रश्न 4.
यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A+ B = 90°.
हल :
चूँकि
⇒ tan A = cot B (दिया है)
⇒ tan A = tan (90° – B)
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°.
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
यदि sec 4A = cosec (A – 20°) जहाँ 4A एक न्यनूकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि sec 4A = cosec (A – 20°) (दिया है)
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°)
⇒ 90° – 4A = A – 20°
⇒ 4A + A = 90° + 20°
⇒ 5A = 110°
⇒ A = 1105 = 22°
अतः A का अभीष्ट मान = 22° है।

प्रश्न 6.
यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्तः कोण हों, तो दिखाइए कि
sin(B+C2)=cosA2
हल :
चूंकि
A + B + C = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोण हैं)

= cos A2
= RHS
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल :
sin 67° + cos 75° = sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
अतः अभीष्ट त्रिकोणमितीय अनुपात के पद cos 23° + sin 15°.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4

प्रश्न 1.
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:

अत: cotA के पदों में sinA=11+cot2A√,secA=1+cot2A√cotA एव tanA=1cotA है।

प्रश्न 2.
∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
हल :
मान लीजिए समकोण ∆ABC में ∠B समकोण है और sec A = x = ACAB
यदि कर्ण AC = x तो संलग्न भुजा AB = 1

अतः sec A के पदों में विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुपात हैं :

प्रश्न 3.
मान निकालिए:
(i) sin263∘+sin227∘cos217∘+cos273∘
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
हल :
(i) sin263∘+sin227∘cos217∘+cos273∘

अतः अभीष्ट मान =1

(ii) sin 25°. cos 65° + cos 25°. sin 65°
= sin 25°. cos (90° – 25°) + cos 25°. sin (90° – 25°)
= sin 25°. sin 25° + cos 25°. cos 25°
= sin 25° + cos² 25° = 1 [∴ sin²θ + cos²θ = 1 (सर्वसमिका)]
अतः अभीष्ट मान = 1

प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए :
(i) 9 sec²A – 9 tan² A बराबर है :
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0.
हल :
सही विकल्प (B) 9 है,
क्योंकि 9 sec² A – 9 tan² A = 9 (sec²A – tan² A)
= 9 x 1
= 9

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) बराबर है :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1.
हल :
सही विकल्प (C) 2 है, क्योंकि
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)

(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर है :
(A) sec A
(B) sin A
(C) coses A
(D) cos A.
हल :
सही विकल्प (D) cos A है,
क्योंकि (sec A + tan A)(1 – sin A)

(iv) 1+tan2A1+cot2A बराबर है :
(A) sec² A
(B) – 1
(C) cot² A
(D) tan² A.
हल :
सही विकल्प (D) tan² A है,
क्योंकि

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण हैं
(i) (cscθ−cotθ)2=1−cosθ1+cosθ
(ii) cosA1+sinA+1+sinAcosA=2secA
(iii) tanθ1−cotθ+cotθ1−tanθ=1+secθ⋅cscθ
(iv) 1+secAsecA=sin2A1−cosA
(v) cosec² A = 1 + cot² A cosA−sinA+1cosA+sinA−1=cscA+cotA
(vi) 1+sinA1−sinA−−−−−√=secA+tanA
(vii) sinθ−2sin3θ2cos3θ−cosθ=tanθ
(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot² A
(ix) (cscA−sinA)(secA−cosA)=1tanA+cotA
(x) (1+tan2A1+cot2A)=(1−tanAcotA)2=tan2A
हल :
(i) (cscθ−cotθ)2=1−cosθ1+cosθ


LHS = RHS
इति सिद्धम

(ii) cosA1+sinA+1+sinAcosA=2secA

LHS = RHS
इति सिद्धम

(iii) tanθ1−cotθ+cotθ1−tanθ=1+secθ⋅cscθ

LHS = RHS
इति सिद्धम

(iv) 1+secAsecA=sin2A1−cosA

LHS = RHS
इति सिद्धम

(v) cosec² A = 1 + cot² A cosA−sinA+1cosA+sinA−1=cscA+cotA

LHS = RHS
इति सिद्धम

(vi) 1+sinA1−sinA−−−−−√=secA+tanA

LHS = RHS
इति सिद्धम

(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot² A
L.H.S. = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= sin² A + 2 sin A cosec A + cosec² A + cos² A + 2 cos A sec A + sec² A
= sin² A + cos² A + 2 sin A cosec A + 2 cos A sec A + sec² A + cosec² A
= 1 + 2 + 2 + (1 + tan² A) + (1 + cot² A) [∵ sin² A + cos² A = 1, sin A coses A = 1 एाव cos A sec A = 1 एाव sec² A = 1 + tan² A तथा cosec² A = 1 + cot² A]
= 7 + tan² A + cot² A
= R.H.S.
L.H.S = R.H.S.
इति सिद्धम्

(ix) (cscA−sinA)(secA−cosA)=1tanA+cotA

LHS = RHS
इति सिद्धम

(x) (1+tan2A1+cot2A)=(1−tanAcotA)2=tan2A

LHS = RHS
इति सिद्धम

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि cosec θ + cot θ = p, तो सिद्ध कीजिए कि cosθ=p2−1p2+1
हल :
p2−1p2+1

इति सिद्धम

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि sec2θ+csc2θ−−−−−−−−−−−√=tanθ+cotθ
हल :
LHS =

= tan θ + cot θ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि 1+secθ−tanθ1+secθ+tanθ=1−sinθcosθ
हल :
LHS =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि secθ+tanθ−1tanθ−secθ+1=1+sinθcosθ
हल :
LHS =

LHS = 1+sinθcosθ = RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि 1−sinθ1+sinθ−−−−−√=secθ−tanθ
हल :
LHS =

= secθ – tanθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि 1−cosθ1+cosθ−−−−−√=cscθ−cotθ
हल :
LHS =

= cosecθ – cotθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि 1+cosθ1−cosθ−−−−−√=cscθ+cotθ
हल :
LHS =

= cosecθ + cotθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि : 1+cosAsinA+sinA1+cosA=2sinA=2cscA
हल:
L.H.S. =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि : tanA1+secA−tanA1−secA=2cscA
हल:
L.H.S. =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
यदि tanA = 3/4 तो सिद्ध कीजिए कि sin A cos A = 1225
हल :
चूँकि tan A = 3/4 = p/b
p = 3 एवं b = 4
⇒ h=p2+b2−−−−−−√=(3)2+(4)2−−−−−−−−−√=9+16−−−−−√=25−−√=5
L.H.S. = sin A. cos A = 35×45=1225
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि:
(sin α + cos α) (tan α + cot α) = sec α + cosec α.
हल:
L.H.S. = (sin α + cos α) (tan α + cot α)

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि : (√3 + 1) (3 – cot 30°) = tan³ 60° – 2 sin 60°.
हल:
L.H.S. = (√3 +1) (3 – cot 30°)
= (√3 + 1) (3 – √3)
= 3 √3 – 3 + 3 – √3
= 2√3
R.H.S. = tan³ 60° – 2 sin 60°
= (√3) – 2 (√3/2)
= 3 √3 – √3
= 2√3
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि :
1+cot2α1+cscα=cscα
हल :
L.H.S. =

L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि : tanθ + tan (90° – θ) = sec θ. sec (90° – θ).
हल :
L.H.S. = tanθ + tan (90° – 0)
= tan θ + cot θ
= sin θ/cos θ + cos θ/sin θ
= sin2θ+cos2θcosθsinθ
= 1cosθsinθ
= sec θ cosec θ
= sec θ. sec (90° – θ)[ ∵ sec (90° – θ) = cosec θ]
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
यदि √3 tanθ = 1 हो तो sin²θ – cos²θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ √3 tanθ = 1 ⇒ tan θ = 13√ = tan 30°
θ = 30°
तब sin²θ – cos²θ = sin² 30° – cos² 30

अतः sin²θ – cos²θ का अभीष्ट मान = −12 है।

प्रश्न 9.

अतः अभीष्ट सरल मान = 1 है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि : cos2(45∘+θ)+cos2(45∘−θ)tan(60∘+θ)⋅tan(30∘−θ)=1
हल:
L.H.S. =

= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि : tan⁴ + θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ.
हल :
L.H.S. = tan⁴ + θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ
= (sec² θ – 1) (sec² θ) [∴ 1 + tan² θ = sec² θ]
= sec⁴ θ – sec² θ
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए :
sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ = 1.
हल :
हम जानते हैं कि
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (sin²θ + cos²θ)³ = (1)³ = 1
⇒ sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ (sin²θ + cos²θ) = 1
⇒ sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ = 1. [∴ sin² θ + cos² θ = 1]
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि :
(sin⁴θ – cos⁴θ + 1) x cosec²θ = 2
हल:
L.H.S. = (sin⁴θ – cos⁴θ + 1) x cosec²θ
= [(sin²θ + cos²θ) (sin²θ – cos²θ) + 1] x cosec²θ
= (sin²θ – cos²θ + 1) x cosec²θ
= sin²θ cosec²θ – cos²θ cosec²θ + cosec²θ)
= (1 – cot²θ + cosec²θ)
= (1 – cot²θ + 1 + cot²θ)
= 2 (∵ sin²θ cosec²θ = 1, cos²θ cosec²θ = cot²θ)
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
(secθ + tanθ) (1 – sinθ) को सरल कीजिए।
हल:
(secθ + tanθ) (1 – sinθ)

अत: अभीष्ट मान = cosθ है।

प्रश्न 15.
निम्न सर्वसमिका सिद्ध कीजिए :
cscAcscA−1+cscAcscA+1=2sec2A
हल:
L.H.S. =

L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नांकित कथनों में सत्य/असत्य लिखिए तथा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) tan47∘cot43∘=1
(ii) (cos² 23° – sin² 67°) का मान धनात्मक है।
(iii) (1−cos2θ)sec2θ−−−−−−−−−−−−−−√=tanθ
(iv) (tanθ + 2) (2 tanθ + 1) = 5 tanθ + sec²θ
(v) sinθ + cosθ का मान सदैव 1 से बड़ा होता है।
(vi) tan θ (θ < 90°) का मान θ के बढ़ने के साथ बढ़ता है।
(vii) θ का मान बढ़ने पर sinθ की अपेक्षा tanθ का मान तेजी से बढ़ता है।
हल :
(i) कथन सत्य है,
क्योंकि

(ii) कथन असत्य है,
क्योंकि
(cos² 23° – sin² 67°) = cos² 23° – cos² 23° = 0.

(iii) कथन सत्य है,
क्योंकि

(iv) कथन असत्य है,
क्योंकि (tan θ + 2) (2 tan θ + 1) = 2 tan²θ + 4 tan θ + tan θ + 2
= 5 tan θ + 2 (1 + tan²θ)
= 5 tan θ + 2 sec²θ
≠ 5 tan θ + sec²θ.

(v) कथन असत्य है, क्योंकि θ = 0° के लिए sin θ + cos θ = sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1.

(vi) कथन सत्य है, क्योंकि tan 0 = 0, tan 30° = 13√ , tan 45° = 1, tan 60° = √3.

(vii) कथन सत्य है,
क्योंकि
tanθ=sinθcosθ
जब θ का मान बढ़ता है तो sin θ का मान बढ़ता है लेकिन cos θ का मान घटता है, इसलिए tan θ का मान तेजी से बढ़ता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि cos A = 45, तो tan A का मान है :
(a) 3/5
(b) 3/4
(c) 4/3
(d) 5/3.
उत्तर:
(b) 3/4

प्रश्न 2.
यदि sin A = 12, तब cot A का मान होगा :
(a) √3
(b) 13√
(c) 3√2
(d) 1.
उत्तर:
(a) √3

प्रश्न 3.
cosec (75° + θ) – sec (15° – θ)]- tan (55° + θ) + cot (35° – θ) का मान है :
(a) -1
(b) 0
(c) 1
(d) 3/2.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 4.
यदि sin θ = ab हो तो cosθ का मान होगा :
(a) bb2−a2√
(b) ba
(c) b2−a2√b
(d) ab2−a2√
उत्तर:
(c) b2−a2√b

प्रश्न 5.
यदि cos 9α = sin α एवं 9α. < 90°, तब tan 5α का मान होगा :
(a) 13√
(b) √3
(c) 1
(d) 0.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 6.
(sin222∘+sin268∘cos222∘+cos268∘+sin263∘+cos63∘⋅sin27∘) का मान होगा :
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0.
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 7.
यदि 4 tanθ = 3 तब [4sinθ−cosθ4sinθ+cosθ] का मान है :
(a) 2/3
(b) 1/3
(c) 1/2
(d) 3/4.
उत्तर:
(c) 1/2

प्रश्न 8.
यदि sinθ – cosθ = 0, तब (sin⁴ θ + cos⁴ θ) का मान है :
(a) 1
(b) 3/4
(c) 1/2
(d) 1/4.
उत्तर:
(c) 1/2

प्रश्न 9.
sin (45° + θ) – cos (45° – θ) का मान है :
(a) 2 cosθ.
(b) 0
(c) 2 sinθ
(d) 1.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 10.
(sin 30° + cos 30°)-(sin 60° + cos 60°) का मान है:
(a) -1.
(b) 0
(c) 1
(d) 2.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 11.
tan 30°/ cot 60° का मान है:
(a) 12√
(b) 13√
(c) √3
(d) 1.
उत्तर:
(d) 1.

प्रश्न 12.
(sin 45° + cos 45°) का मान है :
(a) 12√
(b) √2
(c) 3√2
(d) 1.
उत्तर:
(b) √2

प्रश्न 13.
sin²20° + cos²20° का मान होगा :
(a) 0
(b) 1
(c) tan² 20°
(d) cot² 20°.
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 14.
1csc2θ+1sec2θ का मान होगा:
(a) 1
(b) 0
(c) sin²θ
(d) cos²θ.
उत्तर:
(a) 1

प्रश्न 15.
sin² 40° + cos² 40° का मान है :
(a) 40
(b) 0
(c) 1
(d) 2.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 16.
1−cos2θ−−−−−−−−√ का मान है :
(a) sin θ
(b) cos θ
(c) tan θ
(d) – cos θ.
उत्तर:
(a) sin θ

प्रश्न 17.
tan 45° का मान होगा:
(a) 0
(b) 45
(c) 1
(d) -1.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 18.
sin (90° – θ) का मान है :
(a) sinθ
(b) cosθ
(c) – cosθ
(d) – sinθ.
उत्तर:
(b) cosθ

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. 1−cos2θ−−−−−−−−√ का मान ……. होगा।
2. cot59∘tan31∘ का मान ………….. होगा।
3. (cosec 90° – θ) का मान ………… होगा।
4. sec2θ−1−−−−−−−−√ का मान …………. होगा।
5. 1 + tan²θ = …………
6. sec (90° – θ) का मान ………… होता है।
उत्तर-
1. sinθ,
2. 1,
3. sec θ,
4. tan θ,
5. sec²θ,
6. cosec²θ.

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1. →(c),
2. →(d),
3. →(a),
4. →(b).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(a),
3.→(b),
4.→(e),
5.→(d).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(a),
4.→(b).

उत्तर-
1.→(d),
2.→(a),
3.→(b),
4.→(c).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(a),
4.→(b)
5.→(f),
6.→(e).

उत्तर-
1.→(d),
2.→(e),
3.→(a),
4.→(b)
5.→(c).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a)
5. →(b).

सत्य/असत्य कथन

1. tan (90° – θ) = cotθ
2. sin² θ + cos² θ = – 1
3. 1−sin2θ−−−−−−−−√=secθ
4. sec²θ – 1 = tan²θ
5. sin 60° + cos 60° = 3√+12
6. cosec θ = 1+cot2θ−−−−−−−−√
7. sin 12° cos 78° + cos 12° sin 78° = 2
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य
3. असत्य,
4. सत्य,
5. सत्य
6. सत्य,
7. असत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. 1 + tan²θ का मान लिखिए।
2. 1 + cot²θ का मान लिखिए।
3. sin²θ + cos²θ का मान लिखिए।
4. cos 0° का मान लिखिए।
5. sin (90° – θ) का मान लिखिए।
6. cos (90° – θ) का मान लिखिए।
7. tan (90° – θ) का मान लिखिए।
8. sin θ / cosθ का मान क्या होगा ?
उत्तर-
1. sec²θ,
2. cosec²θ,
3. 1 (एक),
4. 1 (एक),
5. cos θ,
6. sin θ,
7. cote θ
8. tan θ.

TENSE