MP Board Class 10th Maths | प्रायिकता

MP Board Class 10th Maths | प्रायिकता

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = ………. है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ………… है। ऐसी घटना ……….. कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है …………. है। ऐसी घटना …………. कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं का योग ………… है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता …………. से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा …………. से छोटी या उसके बराबर होती है।
हल :
(i) 1 (एक),
(ii) 0 (शून्य), असम्भव घटना
(iii) 1 (एक), अवश्य या निश्चित घटना
(iv) 1 (एक),
(v) 0 (शून्य), 1 (एक)।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं। स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या लड़की है।
हल :
प्रयोग (iii) एवं (iv) के परिणाम सम्प्रायिक या समसम्भावी होंगे, क्योंकि इनकी समान सम्भावनाएँ होंगी।

प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय, यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्याय संगत विधि क्यों माना जाता है?
हल :
जब हम सिक्का उछालते हैं तो चित या पट् आने का परिणाम समसम्भावी है। इसलिए यह विधि न्याय संगत है।

प्रश्न 4.
इनमें से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(a) 23
(b) – 1.5
(c) 15%
(d) 0.7.
हल :
(b)- 1.5, क्योंकि प्रायिकता कभी ऋणात्मक अर्थात् शून्य से कम नहीं हो सकती है।

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है, तो E नहीं की प्रायिकता क्या है? (2019)
हल:
P(E¯¯¯¯) = 1 – P(E) = 1 – 0.05 = 0.95
जहाँ P(E¯¯¯¯) ‘E नहीं’ की प्रायिकता है।

प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नीबू की महक वाली गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गयी गोली
(i) सन्तरे की महक वाली है,
(ii) नीबू की महक वाली है।
हल :
(i) प्रायिकता 0 (शून्य) होगी, क्योंकि थैले में सन्तरे की महक वाली एक भी गोली नहीं है।
(ii) प्रायिकता 1 (एक) होगी, क्योंकि थैले में सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं।

प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन दो विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हों?
हल :
मान लीजिए दोनों विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की घटना E और एक ही दिन नहीं होने की घटना (E¯¯¯¯) है, तो
चूँकि P(E) = 1 – P(E¯¯¯¯)
P(E) = 1 – 0.992 [P(E¯¯¯¯) = 0.992 (दिया है)]
= 0.008
अतः, दोनों विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की अभीष्ट प्रायिकता = 0.008 है।

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद
(i) लाल हो?
(ii) लाल नहीं हो?
हल :
(i) गेंदों की कुल संख्या S = 3 + 5 = 8
अर्थात् प्रयोग के सभी सम्भावित परिणामों की संख्या S = 8
लाल गेंद होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3

(ii) लाल गेंद नहीं होने की प्रायिकता

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 38 एवं (ii) 58 हैं।

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल :
कुल कंचों की संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
अर्थात् सभी सम्भव परिणामों की संख्या (S) = 17
(i) लाल कंचा होने के अनुकूल परिणाम

(ii) सफेद कंचा होने के अनुकूल परिणाम

(iii) हरा कंचा होने के अनुकूल परिणाम n(EG)=4.
हरा कंचा न होने का परिणाम n(E¯¯¯¯G)=17−4=13

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 517, (ii) 817 और (iii) 1317 हैं।

प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (Piggy bank) में, 50 पैसे के 100 सिक्के, Rs 1 के 50 सिक्के, Rs 2 के 20 सिक्के और Rs 5 के 10 सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर एक सिक्का गिरने का परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होना?
(ii) Rs 5 का नहीं होगा।
हल :
मान लीजिए
n(E₁) = Rs 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
n(E₂) = Rs 1 के सिक्कों की संख्या = 50
n(E₃) = Rs 2 के सिक्कों की संख्या = 20
n(E₄) = Rs 5 के सिक्कों की संख्या = 10
कुल सिक्कों की संख्या n(S) = n(E₁) + n(E₂) + n(E₃) + n(E₄)
n(S) = 100 + 50 + 20 + 10 = 180.

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 59 एवं (ii) 1718 हैं।

प्रश्न 11.
गोपी अपने जल-जीव कुण्ड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछलियाँ एवं 8 मादा मछलियाँ है, में से एक मछली यादृच्छिक उसे देने के लिए निकालती है (देखिए संलग्न आकृति)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गयी मछली नर मछली है।
हल :

कुल मछलियाँ की संख्या n(S) = 5 + 8 = 13.
n(E) = नर मछलियों की संख्या = 5
P(E)=n(E)n(S)=513
अतः, अभीष्ट प्रायिकता = 513 हैं।

प्रश्न 12.
संयोग (Chance) के एक खेल में एक तीर घुमाया जाता है जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए संलग्न आकृति)। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?
हल :

चूँकि सभी सम्भावित परिणाम S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 एवं 8 हैं
n(S) = 8 है।
(i) n(E₁) = 1 आठ का अंक
P(E1)=n(E1)n(S)=18

(ii) विषम संख्याएँ हैं : E₂ = 1, 3, 5, 7
n(E₂) = 4
P(E2)=n(E2)n(S)=48=12

(iii) दो से बड़ी संख्याएँ हैं : E₃ = 3, 4, 5, 6, 7 और 8.
n(E₃) = 6
P(E3)=n(E3)n(S)=68=34

(iv) 9 से छोटी संख्याएँ हैं : E₄ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8
n(E₄) = 8
P(E)4=n(E4)n(S)=88=1
अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 18, (ii) 12, (iii) 34 एवं (iv) 1 हैं।

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) एक अभाज्य संख्या।
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या।
(iii) एक विषम संख्या।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम n(S) = 6
(i) अभाज्य संख्याएँ हैं E₁ = 2, 3, 5
n(E₁) = 3
P(E1)=n(E1)n(S)=36=12

(ii) 2 और 6 के बीच संख्याएँ : E₂ = 3, 4, 5
n(E₂) = 3
P(E2)=n(E2)n(S)=36=12

(iii) विषम संख्याएँ हैं : E₃ = 1, 3, 5
n(E₃) = 3
P(E3)=n(E3)n(S)=36=12
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 12, (ii) 12, एवं (iii) 12 हैं।

प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गयी एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) लाल रंग का बादशाह।
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता।
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता।
(iv) पान का गुलाम।
(v) हुकुम का पत्ता।
(vi) एक ईंट की बेगम।
हल :
∵ ‘सभी पत्तों की संख्या n(S) = 52
(i) लाल रंग के बादशाहों की संख्या, n(E₁) = 2.

(ii) तस्वीर वाले पत्तों (फेस कार्डों) की संख्या, n(E₂) = 12

(iii) लाल रंग की तस्वीर वाले पत्तों की संख्या, n(E₃) = 6

(iv) पान के गुलाम की संख्या, n(E₄) = 1

(v) हुकुम के पत्तों की संख्या, n(E₅) = 13

(vi) एक ईंट की बेगम n(E₆) = 1

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ :

हैं।

प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का को पलटकर खूब फेंट दिया जाता है। फिर इनमें से पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह एक बेगम है?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल :
(i) चूँकि

(ii) बेगम निकालकर रख दी जाती है तो n(S₂) = 4.

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 15, (ii) (a) 14 (b) 0 हैं।

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिलाए गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल परिणामों की संख्या n(S) = 12 + 132 = 144
अच्छे पेनों की संख्या n(E) = 132

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 1112 है।

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायकिता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल :
(i) n(S₁) = 20 एवं n(E₁) = 4
P(E1)=n(E1)n(S1)=420=15

(ii) n(S₂) = 20 – 1 = 19 कुल बल्बों की संख्या
खराब बल्बों की संख्या = 4
जो बल्ब खराब नहीं हैं उनकी संख्या = 19 – 4 = 15 बल्ब
n(E₂) = 15
P(E2)=n(E2)n(S2)=1519
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 15 एवं (ii) 1519 हैं।

प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 9 संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी,
(i) दो अंकों की संख्या,
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या,
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या?
हल :
कुल सम्भावित घटनाएँ = कुल संख्याएँ, n(S) = 90.
(i) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 एवं 9 इन 9 (नौ) संख्याओं को छोड़कर शेष सभी संख्याएँ 2 अंकों की होंगी।
n(E₁) = 90 – 9 = 81
P(E1)=n(E1)n(S)=8190=910

(ii) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ये 9 (नौ) संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं।
n(E₂) = 9.
P(E2)=n(E2)n(S)=990=110

(iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ हैं-5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 एवं 90.
अर्थात् ये 18 संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं-n(E₃) = 18
P(E3)=n(E3)n(S)=1890=15
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 910, (ii) 110 एवं (ii) 15 हैं।

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है, जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं
A B C D E A
इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?
हल:
कुल सम्भावित घटनाएँ n(S) = 6
(i) A के अनुकूल घटनाएँ n(E₁) = 2 [∴ A दो बार आया है।]
P(E1)=n(E1)n(S)=26=13

(ii) ∵ n(E2)=1⇒P(E2)=n(E2)n(S)=16.
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 13 एवं (ii) 16 हैं।

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को संलग्न आकृति में दर्शाए गए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?
हल :

आयताकार क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल = 3 x 2 = 6 m²
अर्थात् कुल सम्भावनाओं का क्षेत्रफल, n(S) = 6 m²

अतः, अभीष्ट प्रायिकता = π24 हैं।

प्रश्न 21.
144 बॉल पेनों के समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे, जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप पेन खरीदेंगे?
(ii) आप पेन नहीं खरीदेंगे?
हल:
कुल पेनों की संख्या n(S) = 144.
खरीदे जा सकने वाले अच्छे पेनों की संख्या, n(E) = 144 – 20 = 124.
खरीदे नहीं जा सकने वाले खराब पेनों की संख्या, n(E¯¯¯¯) = 20

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 3136
(ii) 536

प्रश्न 22.
उदाहरण 13 को देखिए
(i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 एवं 12 हैं। अतः प्रत्येक की प्रायिकता 111 है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं ? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :
(i) दी हुई अपूर्ण सारणी को पूर्ण करना :

(ii) हम सहमत नहीं हैं क्योंकि ये 11 परिणाम समसम्भावी नहीं हैं।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर हनीफ खेल जीत जायेगा, अन्यथा हार जायेगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकल्पित कीजिए।
हल :
कुल सम्भव परिणाम होंगे : (HHH), (HHT), (HTH), (THH), (TTT), (TTH), (THT), (HTT)
⇒ n(S) = 8.
यहाँ HTT का अर्थ पहले उछाल में चित, दूसरे में पट और तीसरे में पट घटने वाली घटनाएँ हैं-HHT, HTH, THH, TTH, THT एवं HTT ⇒ n(E) = 6.
अत: घटने की प्रायिकता P(E)=n(E)n(S)=68=34 है।

प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि
(i) 5 किसी भी बार नहीं आयेगा?
(ii) 5 कम से कम एक बार आयेगा?
हल :
एक पासे को दो बार फेंकना अर्थात् दो पासों को एक साथ फेंकना समान प्रयोग है अतः कुल सम्भावनाएँ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2,4), (2,5), (2,6), (3, 1), (3, 2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4, 1), (4, 2), (4,3), (4,4), (4, 5), (4,6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6,4), (6, 5), (6, 6).
कुल सम्भावनाएँ = n(S) = 36.

(i) 5 एक भी बार न आने की घटना n(E₁) = 25
P(E1)=n(E1)n(S)=2536

(ii) n(E₂) = n(S) – n(E₁) = 36-25 = 11
P(E2)=n(E2)n(S)=1136
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 2536
(ii) 1136

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन सम्भावित परिणाम दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार है। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/3 है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो सम्भावित परिणाम एक विषम संख्या या एक सम संख्या है। अत: एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता 1/2 है।
हल :
(i) यह कथन सत्य नहीं है, क्योंकि हम इस प्रकार वर्गीकृत तो कर सकते हैं लेकिन ये सम-सम्भावी नहीं हैं। क्योंकि तीसरे केस में पहले पर चित और दूसरे पर पट तथा पहले पर पट और दूसरे पर चित ये दो अलग घटनाएँ हैं। इस प्रकार चार सम्भावनाएँ हो सकती हैं। इस प्रकार परिणामों की प्रायिकता 1/4,1/4 एवं 1/2, होती है।
(ii) कथन सत्य है, क्योंकि प्रश्न में विचारित दोनों परिणाम सम-सम्भावी हैं।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2

(नोट : यह प्रश्नावली परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।)

प्रश्न 1.
दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर ही एक सप्ताह में जा रहे हैं (मंगलवार से शनिवार तक)। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर
(i) एक ही दिन जाएँगे?
(ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे?
(iii) भिन्न दिनों में जाएँगे?
हल :
कुल दिनों की संख्या = 5 (मंगलवार से शनिवार) श्याम दुकान पर 5 तरह से जा सकता है तथा इसी प्रकार एकता भी दुकान पर 5 प्रकार से जा सकती है।
∴ कुल सम्भाव्य स्थितियाँ = n(S) = 5 x 5 = 25
(i) एक ही दिन जाने की अनुकूल स्थितियाँ = (मंगल, मंगल), (बुध, बुध), (बृह., बृह.) (शुक्र, शुक), (शनि, नि)

(ii) वे दोनों क्रमागत दिनों में निम्न 8 प्रकार से जा सकते हैं : (मं., बु.), (बु., बृ.), (बृ., शु.), (शु., श.), (बु., मं.), (बृ., बु.), (शु., बृ.), (श., शु.)
∴ क्रमागत दिनों में जाने की अनूकूलता

(iii) भिन्न-भिन्न दिनों में जाएँगे = एक ही दिन नहीं जाएँगे

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 15, (ii) 825, (iii) 45 है।

प्रश्न 2.
एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1, 2, 2, 3, 3 और 6 लिखी हुई हैं। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं। दोनों बार फेंकने के बाद प्राप्त योग के सम्भावित कुछ मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं। इस सारणी को पूरा कीजिए :

इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा?
(ii) 6 है?
(iii) कम-से-कम 6 है?
हल :
सारणी को पूरा करने पर अभीष्ट सारणी है :
(i) योग सम संख्या के अनुकूल परिणाम

(ii) योग 6 के अनुकूल परिणामों की संख्या

(iii) योग कम-से-कम 6 के अनुकूल परिणामों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 12, (ii) 19 एवं 512 हैं।

प्रश्न 3.
एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदें हैं। यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगनी है, तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए थैले में नीली गेंदो की संख्या = x है।
चूँकि लाल गेंदों के अनुकूल परिणामों की संख्या
= n(E_R) = 5
एवं नीली गेंदों के अनुकूल परिणामों की संख्या
= n(E_B) = x है।
तो प्रश्नानुसार,
नीली गेंद निकालने की प्रायिकता P(E_B) = 2 x लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P(E_B)

अतः नीली गेंदों की अभीष्ट संख्या = 10 है।

प्रश्न 4.
एक पेटी में 12 गेंदें हैं, जिनमें से x गेंदें काली हैं। यदि इनमें से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह काली है। यदि इस पेटी में 6 काली गेंदें और डाल दी जायें, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगनी हो जाती है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल सम्भावित घटनाओं के परिणामों की संख्या = n(S) = 12.
काली गेंदें निकलने की अनुकूल परिणामों की संख्या n(E) = x.
⇒ P(E1)=n(E1)n(S)=x12 ….(i)
6 काली गेंदें और मिलाने पर कुल सम्भावित घटनाओं के परिणामों की संख्या = n(S) = 12 + 6 = 18.
अब काली गेंद निकलने के अनुकूल परिणामों की नयी संख्या = n(E) = x + 6.
⇒ P(E2)=n(E2)n(S2)=x+618 …(ii)
प्रश्नानुसार,
⇒ P(E2) = 2 x P(E1)
⇒ x+618=2×x12
⇒ 36x = 12x + 72
⇒ 36x – 12x = 72
⇒ 24x = 72
⇒ x = 7224 = 3
अतः, x का अभीष्ट मान = 3 है।

प्रश्न 5.
एक जार में 24 कंचे हैं जिनमें कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि इस जार में से यादृच्छया एक कंचा निकाला जाता है, तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता 23 है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि नीले कंचों की संख्या x है
हरे कंचों की संख्या = (24 – x)
हरे कंचे के निकलने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E) = (24 – x)
एवं कुल सम्भावित परिणामों की संख्या n(S) = 24

⇒ 48 = 72 – 3x
⇒ 3x = 72 – 48 = 24
⇒ x = 243 = 8
अतः, नीले कंचों की अभीष्ट संख्या = 8 है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अच्छी तरह से फेंटी गयी एक ताश की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता
(i) हुकुम का पत्ता या एक इक्का है।
(ii) एक काले रंग का बादशाह है।
(iii) न तो गुलाम है और न ही बादशाह है।
(iv) या तो बादशाह है या बेगम है।
हल :
कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 52
(i) हुकुम का पत्ता या एक इक्का होने के अनुकूल परिणामों की संख्या

(iv) या तो बादशाह या बेगम होने के अनुकूल परिणामों की संख्या

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 413, (ii) 126. (iii) 1113 एवं (iv) 213 हैं।

प्रश्न 2.
संख्याओं 1, 2, 3 तथा 4 में से कोई संख्या x यादृच्छया चुनी गयी तथा संख्याओं 1, 4, 9 तथा 16 में से कोई संख्या y यादृच्छया चुनी गयी। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि x तथा y का गुणनफल 16 से कम है।
हल :

∵ कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 4 x 4 = 16
एवं 16 से कम गुणनफल होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E) = 8

अतः, अभीष्ट प्रायिकता = 12 है।

प्रश्न 3.
दो विभिन्न पासों को एक साथ फेंका गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्राप्त संख्याओं का
(i) योगफल सम होगा और
(ii) गुणनफल सम होगा।
हल :
(i)

सम्भावित पूर्ण परिणामों की संख्या = n(S₁) = 6 x 6 = 36
योगफल सम आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₁) = 18

(ii)

यहाँ सम्पूर्ण परिणामों की संख्या = n(S₂) = 6 x 6 = 36
एवं गुणनफल सम होने के अनुकूल परिणामों की संख्या
n(E₂) = 27.

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 12 एवं (ii) 34 हैं।

प्रश्न 4.
एक जार में केवल लाल, नीली तथा नारंगी रंग की गेंदें हैं। यादृच्छया एक लाल रंग की गेंद के निकलने की प्रायिकता 14 है। इसी प्रकार उसी जार से यादृच्छया एक नीली गेंद निकलने की प्रायिकता 13 है। यदि नारंगी रंग की कुल गेंदें 10 हैं, तो बताइए कि जार में कुल कितनी गेंदें हैं।
हल :
मान लीजिए कि जार में कुल गेंदें = n(S) = x हैं। दिया है P(R) = 14
P(B) = 13
n (O) = नारंगी रंग की कुल गेंदें की संख्या = 10
चूँकि P (O) + P (R) + P (B) = 1

अतः जार में कुल गेंदों की संख्या = 24 है।।

प्रश्न 5.
तीन विभिन्न सिक्के एक साथ उछाले गए। निम्न के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) केवल 2 चित
(ii) कम-से-कम दो चित
(ii) कम-से-कम दो पट।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम S = (HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)
n(S) = 8
(i) केवल 2 चित आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₁) = 3

(ii) कम-से-कम दो चित आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₂) = 4

(iii) कम-से-कम दो पट आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₃) = 4

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 38, (ii) 12, एवं (iii) 12 हैं।

प्रश्न 6.
एक थैले में 15 सफेद तथा कुछ काली गेंदें हैं। यदि थैले में से काली गेंद निकालने की प्रायिकता एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता की तीन गुनी हो, तो थैले में काली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि काली गेंदों की संख्या n(B) = x है
तथा सफेद गेंदों की संख्या n(B) = 15 दी गयी है
गेंदों की कुल संख्या n(S) = n(S) + n(W)
n(S) = (x + 15)
प्रश्नानुसार, P(B) = 3 × P(W) (दिया है)

x = 3 × 15 = 45
अतः थैले में काली गेंदों की अभीष्ट संख्या = 45 है।

प्रश्न 7.
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं, उनके ऊपर आने वाले अंकों का योग निम्न होने की प्रायिकता क्या होगी?
(i) 7?
(ii) अभाज्य संख्या ?
(iii) 1?
हल:

कुल सम्भावित परिणामों का योग n(S) = 6 x 6 = 36
(i) 7 योग आने के अनुकूल परिणामों का योग = n(E₁) = 6

(ii) योग एक अभाज्य संख्या आने के अनुकूल परिणामों का योग n(E₂) = 15

(iii) योग 1 आने की अनुकूल परिणामों की संख्या n (E₃) = 0

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 16, (ii) 512 एवं (ii) 0 हैं।

प्रश्न 8.
द्रो पासे एक साथ फेंके जाते हैं तथा उनके ऊपर आने वाले अंकों के गुणनफल लिखे जाते हैं। गुणनफल 9 से कम होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल :

कुल सम्भावित परिणामों का योग = n (S) = 36
9 से कम गुणनफल के अनुकूल परिणामों का योगफल
= n(E) = 16

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 49 है।

प्रश्न 9.
दो पासों के फलकों पर अंक क्रमशः 1, 2, 3, 4, 5, 6 एवं 1, 1, 2, 2, 3, 3 अंकित हैं वे साथ-साथ फेंके जाते हैं तथा उन पर आने वाले अंकों के योग लिख लिए जाते हैं। योग 2 से 9 तक प्रत्येक के आने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
हल:

कुल परिणामों की संख्या = n(S) = 36

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ :

हैं।

प्रश्न 10.
एक 52 पत्तों की तास की गड्डी से चिड़ी के बादशाह, बेगम एवं गुलाम के पत्ते निकालकर शेष गड्डी को अच्छी तरह से फेंट दिया जाता है। इनमें से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है तो इसकी प्रायिकता क्या होगी कि खींचा गया पत्ता :
(i) एक पान का पत्ता हो?
(ii) एक बादशाह हो?
(iii) एक चिड़ी का पत्ता हो?
(iv) पान का 10 हो?
हल :
चिड़ी के तीन पत्ते निकाल देने पर बचे हुए कुल पत्तों की संख्या = 52 – 3 = 49 = n(S)
(i) पान के पत्ते के अनुकूल परिणामों की संख्या

(ii) शेष बादशाहों की संख्या

(iii) चिड़ी के शेष पत्तों की संख्या

(iv) पान के दहले (10) की संख्या

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 1349 (ii) 349, (iii) 1049 एवं (iv) 149 हैं।

प्रश्न 11.
52 पत्तों की एक तास की गड्डी में से सभी बादशाह, बेगम एवं गुलाम निकाल दिए गए हैं। शेष पत्तों में को अच्छी तरह फेंट दिया जाता है और तब उनमें से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है। प्रत्येक इक्के का मूल्य 1 मानकर इसी प्रकार शेष पत्तों के मूल्यों को ध्यान में रखकर इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड का मूल्य
(i) 7 हो,
(ii) 7 से बड़ा हो,
(iii) 7 से छोटा हो।
हल :
सभी 4 बादशाहों, 4 बेगमों एवं 4 गुलामों को तास की गड्डी से निकाले जाने के बाद गड्डी के पत्तों की कुल संख्या = n(S) = 52 – 4 x 3 = 52 – 12 = 40.
(i) 7 अंक वाले कुल पत्तों की संख्या

(ii) 7 से बड़े पत्ते 8, 9 एवं 10 में प्रत्येक के 4-4 पत्ते हैं इस प्रकार अनुकूल परिणामों की संख्या

(iii) 7 से छोटे पत्ते, 1, 2, 3, 4, 5 एवं 6 में प्रत्येक के 4-4 पत्ते हैं इस प्रकार अनुकूल परिणामों की संख्या

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : क्रमशः (i) 110, (ii) 310 एवं (iii) 35 हैं।

प्रश्न 12.
एक बच्चे के एक खेल में 8 पीस त्रिभुज हैं जिनमें 3 नीले तथा शेष लाल हैं एवं 10 पीस वर्ग हैं जिनमें 6 नीले एवं शेष लाल हैं। उनमें से यकायक एक पीस खो जाता है। इस बात की
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खोने वाला पीस है
(i) त्रिभुज
(ii) वर्ग
(iii) नीले रंग का वर्ग
(iv) लाल रंग का त्रिभुज।
हल :
8 त्रिभुजों में = 3 नीले त्रिभुज + शेष 5 लाल त्रिभुज
एवं 10 वर्गों में = 6 नीले वर्ग + शेष 4 लाल वर्ग
कुल पीसों की संख्या = n(S) = 8 + 10 = 18
(i) कुल त्रिभुजों की संख्या

(ii) कुल वर्गों की संख्या

(iii) कुल नीले वर्गों की संख्या

(iv) कुल लाल त्रिभुजों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 49, (ii) 59, (iii) 13 एवं (iv) 518 हैं।

प्रश्न 13.
एक खेल का प्रवेश शुल्क Rs 5 है। इस खेल में एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है। यदि एक या दो चित आते हैं तो स्वेता अपना प्रवेश शुल्क वापस पा लेती है। यदि वह तीन चित दिखाती है तो वह अपने प्रवेश शुल्क का दूना प्राप्त करती है। अन्यथा वह अपना प्रवेश शुल्क खो देती है। तीन बार सिक्का उछालने पर निम्न की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि स्वेता
(i) अपना प्रवेश शुल्क खो देती है।
(ii) अपने प्रवेश शुल्क का दुगना वापस पाती है।
(iii) अपने प्रवेश शुल्क ही वापस पाती है।
हल :
सिक्के को तीन बार उछालने के कुल परिणाम हैं : (HHH), (HTH), (HHT), (THH), (TTT), (TTH), (THT), (HTT) = n(S) = 8
(i) एक भी चित नहीं अर्थात् तीनों पट आने पर स्वेता अपना प्रवेश शुल्क खो देती है अतः तीनों पट आने के कुल परिणामों की संख्या

(ii) अपने प्रवेश शुल्क का दुगना प्राप्त करने के लिए उसे तीन चित लाने हैं अतः तीन चित आने ‘, के परिणामों की कुल संख्या

(iii) केवल अपना प्रवेश शुल्क प्राप्त करने के लिए उसे एक या दो चित लाने हैं और इसके परिणामों की कुल संख्या

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ क्रमशः (i) 18, (ii) 18, (iii) 34 हैं।

प्रश्न 14.
टेलीफोन के एक लॉट में 48 मोबाइल फोन हैं जिनमें 42 ठीक हैं, 3 में मामली खराबी है तथा 3 में अधिक बड़ी खराबी है। वर्गिका एक फोन खरीदेगी यदि यह बिल्कुल ठीक होगा लेकिन व्यापारी एक फोन तभी खरीदेगा जब उसमें अधिक बड़ी खराबी नहीं होगी। एक फोन यादृच्छिक रूप से चयन किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि वह फोन
(i) वर्गिका के चयन के योग्य हो?
(ii) व्यापारी के चयन के योग्य हो?
हल :
कुल फोनों की संख्या = n(S) = 48
(i) वर्गिका के चयन के योग्य फोन अर्थात् बिल्कुल ठीक फोनों की कुल संख्या = n(E) = 42

(ii) व्यापारी के चयन योग्य फोनों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ क्रमशः (i) 78 एवं (ii) 1516 हैं।

प्रश्न 15.
एक मेले में 1000 कार्डों पर क्रमशः 1 से 1000 संख्या (प्रत्येक पर एक संख्या) अंकित है। इन कार्यों को एक बक्से में रखा गया है। प्रत्येक खिलाड़ी यादृच्छिक एक कार्ड खींच सकता है और वह कार्ड पुनः बक्से में नहीं डाला जाता है। यदि चयनित कार्ड एक पूर्ण वर्ग संख्या है जो कि 500 से बड़ी है तो खिलाड़ी पुरस्कार जीत जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि
(i) प्रथम खिलाड़ी पुरस्कार जीतता है?
(ii) दूसरा खिलाड़ी पुरस्कार तब जीतता है जबकि पहला खिलाड़ी इस पुरस्कार को जीतता है?
हल :
(i) कार्डों की कुल संख्या = n(S) = 1000
500 से अधिक एवं 1000 से कम पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं : 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961 हैं
n(E₁) = 9

(ii) जब प्रथम खिलाड़ी जीतता है तो एक पूर्ण वर्ग का कार्ड कुल कार्डों में से कम हो जाता है अतः शेष पूर्ण वर्ग कार्डों की संख्या = n (E₂) = 9 – 1 = 8
एवं कुल कार्डों की संख्या भी एक कम हो जायेगी।
n(S₂) = 1000 – 1 = 999

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ क्रमशः (i) 0.009 एवं (ii) 8999 हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। निम्न को प्राप्त करने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए :
(i) दोनों पासों पर समान संख्याएँ।
(ii) दोनों पासों पर भिन्न-भिन्न संख्याएँ।
हल :
कुल परिणाम = n(S) = 6 x 6 = 36
(i) समान अंकों वाले परिणाम होंगे (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) एवं (6, 6)

(ii) निम्नलिखित संख्याओं वाले परिणाम

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 16, (ii) 56

प्रश्न 2.
दो पासे एक साथ फेंके गए हैं। इसकी क्या प्रायिकताएँ हैं कि पासों पर आये अंकों का गुणनफल हो :
(i) 12
(ii) 7.
हल :
कुल सम्भावित परिणाम = n(S) = 6 x 6 = 36
(i) दो अंकों का गुणनफल 12 की सम्भावनाएँ हैं : (2 x 6), (6 x 2), (3 x 4), (4 x 3)

एवं (ii) दो अंकों का गुणनफल (7) होने की सम्भावनाएँ हैं शून्य

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 19 एवं (ii) 0 हैं।

प्रश्न 3.
एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है। सम्भव परिणामों को लिखिए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए निम्न प्राप्त करने के लिए :
(i) सभी चित
(ii) कम-से-कम दो चित।
हल :
सम्भावित परिणाम = (TTT), (TTH), (THT), (HTT), (HHH), (HHT), (HTH), (THH),
⇒ परिणामों की पूर्ण संख्या = n(S) = 8
(i) सभी चित होने के अनुकूल परिणामों की संख्या

(ii) कम-से-कम दो चित होने के अनुकूल परिणाम हैं : (HHH), (HHT), (HTH), (THH)

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 18 एवं (ii) 12 हैं।

प्रश्न 4.
एक थैले में 10 लाल, 5 नीली एवं 7 हरी गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इस गेंद के निम्न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल गेंद,
(ii) हरी गेंद,
(iii) नीली गेंद नहीं।
हल :
कुल बॉलों की संख्या = n(S) = 10 + 5 + 7 = 22
(i) लाल गेंदों की संख्या = n(R) = 10

(ii) हरी गेंदों की संख्या = n(G) = 7

(iii) नीली गेंद न होने की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 511 (ii) 722 एवं (iii) 1722 हैं।

प्रश्न 5.
0 एवं 100 के बीच एक पूर्णांक का चयन किया जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि यह पूर्णांक :
(i) 7 से विभाज्य हो?
(ii) 7 से विभाज्य न हो?
हल :
0 एवं 100 के बीच कुल पूर्णांकों की संख्या = n(S) = 99
(i) 7 से विभाज्य संख्याएँ 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91 एवं 98

(ii) 7 से अभाज्य कुल संख्याओं की संख्या

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 1499 एवं (ii) 8599 हैं।

प्रश्न 6.
एक बॉक्स में 100 कार्ड जिन पर संख्या 2 से 101 तक अंकित हैं, रखे गए हैं। एक कार्ड उनमें से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड पर
(i) एक सम संख्या है।
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
हल :
कार्डों की कुल संख्या = n(S) = 101 – 1 = 100
(i) सम संख्याएँ हैं : 2, 4, 6, 8, …., 98, 100

(ii) वर्ग संख्याएँ है : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 12, एवं (ii) 9100 हैं।

प्रश्न 7.
24 बल्बों के एक कार्टून में 6 बल्ब खराब हैं। यादृच्छिक रूप से एक बल्ब निकाला जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह बल्ब खराब नहीं है? यदि निकाला गया बल्ब खराब है और यह पुनः कार्टून में नहीं डाला गया है एवं एक दूसरा बल्ब फिर यादृच्छिक रूप से शेष बल्बों में से निकाला जाता है तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि वह बल्ब खराब है?
हल :
चूँकि 24 बल्बों में 6 बल्ब खराब हैं अतः शेष ठीक बल्बों की संख्या = n(E₁) = 24 – 6 = 18
एवं कुल बल्बों की संख्या = n(S₁) = 24

यदि पहले निकाला गया बल्ब खराब है एवं उसे पुनः कार्टन में नहीं डाला गया है तो कार्टून में कुल खराब बल्बों की संख्या n(S₂) = 24 – 1 = 23
एवं खराब बल्बों की संख्या = n(E₂) = 6 – 1 = 5

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) 34 एवं (ii) 523 हैं। .

प्रश्न 8.
एक पासे के 6 (छ:) पृष्ठों पर क्रमशः 0, 1, 1 ,1, 6 एवं 6 अंकित हैं। इस प्रकार के दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं एवं कुल योग को लिख लिया जाता है।
(i) कितने विभिन्न स्कोर प्राप्त होते हैं?
(ii) कुल योग 7 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
हल:

(i) कुल 6 प्रकार के स्कोर (0, 1, 2, 6, 7, 12) प्राप्त होते हैं।
(ii) कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 36
7 प्राप्त होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E) = 12

अतः, अभीष्ट (i) 6 प्रकार के स्कोर प्राप्त होते हैं एवं (ii) 7 प्राप्त होने की प्रायिकता 13 है।

प्रश्न 9.
एक थैले में 24 गेंदें हैं जिनमें x लाल, 2x सफेद एवं 3x नीली हैं। इनमें से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चयनित की जाती है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह गेंद
(i) लाल नहीं है?
(ii) सफेद है?
हल :
कुल गेंदें = x + 2x + 3x = 24 ⇒ 6x = n(S) = 24


अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) P(R¯¯¯¯)=56 एवं P(W)=13 हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो भिन्न पासों को एक साथ उछाला गया। दोनों पासों के ऊपरी तलों पर आई संख्याओं का गुणनफल 6 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 6 x 6 = 36
गुणनफल 6 आने के सम्भावित परिणाम (2 x 3), (3 x 2), (1 x 6), (6 x 1)
n(6) = 4

अतः अभीष्ट प्रायिकता P(6) = 19 है।

प्रश्न 2.
52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गयी ताश की गड्डी में से यादृच्छया एक पत्ता निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता न तो लाल रंग का है और न ही एक बेगम है।
हल :
चूँकि कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = कुल पत्तों की संख्या = n(S) = 52
चूँकि निकाला गया पत्ता न तो लाल रंग का है और न ही बेगम है अर्थात् निकाला गया पत्ता बेगम रहित काले रंग का पत्ता है अतः सम्भावित परिणामों की कुल संख्या = n(E) = 26 – 2 = 24

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 613 है।

प्रश्न 3.
900 सेबों के एक ढेर में से यादृच्छया एक सेब चुनने पर सड़ा हुआ सेब निकलने की प्रायिकता 0.18 है। ढेर में सड़े हुए सेबों की संख्या क्या है?
हल :
चूँकि कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = ढेर के कुल सेबों की संख्या = n(S) = 900
मान लीजिए सड़े हुए सेबों की संख्या = n(E) = x है तथा चुना हुआ सेब सड़ा होने की प्रायिकता
P(E) = 0.18 (दी है)

x = 900 × 0.18
= 162.
अतः सड़े हुए अभीष्ट सेबों की संख्या = 162 है।

प्रश्न 4.
एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम = (H, H), (H, T) (T, H), (T, T) ⇒ n(S) = 4
कम-से-कम एक चित आने के सम्भावित परिणाम = (H, H), (H, T), (T, H) ⇒ n(E) = 3

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 34 है।

प्रश्न 5.
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों पासों पर आने वाले अंकों का अन्तर 2 हो।
हल :
कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 36
अन्तर 2 होने के सम्भावित परिणाम (3, 1), (1, 3), (4, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 3) (4, 6), (6, 4)
n(E) = 8

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 29 है।

प्रश्न 6.
आंग्ल भाषा की वर्णमाला से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। चुना गया अक्षर व्यंजन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
आंग्ल भाषा में उपस्थित समस्त अक्षरों की कुल संख्या = n(S) = 26
व्यंजनों की कुल संख्या = n(C) = 26 – 5 = 21

अत: अभीष्ट प्रायिकता P(C) = 2126 है।

प्रश्न 7.
एक बक्से में 1000 सील किए हुए लिफाफे हैं। उनमें से 10 पर नकद पुरस्कार Rs 100 का अंकित है, 100 पर Rs 50 का पुरस्कार एवं 200 पर Rs 10 का पुरस्कार अंकित है। शेष पर कोई भी नकद पुरस्कार नहीं है। उन लिफाफों को अच्छी तरह से फेंटकर मिला दिया जाता है और एक लिफाफा यादृच्छया निकाला जाता है तो उस लिफाफे को बिना नकद पुरस्कार वाला लिफाफा होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल :
कुल लिफाफों की संख्या = n(S) = 1000
नकद पुरस्कार वाले लिफाफों की कुल संख्या = n(E) = 10 + 100 + 200 = 310
बिना नकद पुरस्कार वाले लिफाफों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 0.69 है।

प्रश्न 8.
एक बक्से A में 25 स्लिप हैं जिनमें से 19 पर Rs 1 अंकित है तथा शेष पर Rs 5 अंकित है। दूसरे बक्से B में 50 स्लिप हैं जिनमें से 45 पर Rs 1 अंकित है तथा शेष पर Rs 13 अंकित है। दोनों बक्सों की सभी स्लिपों को एक तीसरे बक्से में डालकर अच्छी तरह मिला दिया जाता है। इनमें से एक स्लिप को यादृच्छया निकाला जाता है तो इसकी प्रायिकता क्या होगी कि निकाली गयी स्लिप पर Rs 1 अंकित न हो।
हल :
कुल स्लिपों की संख्या = n(S) = 25 + 50 = 75
Rs 1 अंकित स्लिपों की संख्या = n (Rs 1) = 19 + 45 = 64
Rs 1 अंकित न होने वाली स्लिपों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकता

है।

प्रश्न 9.
किसी परिस्थिति में यदि केवल दो ही सम्भावनाएँ हैं तो प्रत्येक की प्रायिकता 12 होगी। क्या यह सत्य है या असत्य और क्यों ?
हल :
असत्य है, क्योंकि प्रायिकता 12 तभी सम्भव है जबकि दोनों सम्भावनाएँ सम-सम्भावी हैं।

प्रश्न 10.
एक परिवार में तीन बच्चे हैं उनमें से कोई भी लड़की न हो एक लड़की हो, दो लड़कियाँ हों या तीन लड़कियाँ हों, तो प्रत्येक की प्रायिकता 14 होगी। क्या यह सत्य है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
कथन असत्य है क्योंकि सम्भावनाएँ सम-सम्भावी नहीं हैं।

प्रश्न 11.
एक खेल में एक घूमने वाली सुई जो घूमते हुए किसी एक क्षेत्र (1, 2 या 3) में आ कर रुक जाती है (देखिए संलग्न आकृति)। क्या परिणाम 1, 2 एवं 3 सम-समभावी घटना है?

हल :
नहीं, सम-सम्भावी नहीं है क्योंकि घटना 3 अन्य से अधिक सम्भावी है।

प्रश्न 12.
अपूर्व दो पासों को एक साथ फेंकता है तथा उनके पृष्ठ पर अंकित अंकों के गुणनफल की गणना करता है। पीहू एक पासे को फेंकती आकृति : 15.5 है और उस पर आये अंक के वर्ग का परिकलन करती है। परिणाम 36 प्राप्त करने का अच्छा अवसर किसे प्राप्त होगा? और क्यों? कारण बताइए।
हल :
पीहू को अच्छा अवसर मिलेगा क्योंकि अपूर्व को 36 प्राप्त करने भी प्रायिकता = 136 है जबकि
पीहू को 36 प्राप्त करने की प्रायिकता = 16 = 636 है।

प्रश्न 13.
जब हम एक सिक्के को उछालते हैं तो वहाँ दो सम्भावनाएँ हैं-चित या पट। इसलिए प्रत्येक की प्रायिकता होगी 12 अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
हाँ, प्रत्येक की प्रायिकता 12 होगी क्योंकि दोनों घटनाएँ सम-सम्भावी हैं।

प्रश्न 14.
एक विद्यार्थी कहता है कि जब तुम एक पासे को फेंकते हो तो दो ही सम्भावनाएँ हैं कि 1 आयेगा या 1 नहीं आयेगा। इसलिए ‘1 प्राप्त करने की प्रायिकता एवं 1 नहीं प्राप्त करने की प्रायिकता प्रत्येक 12 होगी। क्या यह सत्य है? कारण बताइए।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि ‘1 आने की सम्भावना एवं ‘1 न आने की सम्भावना सम-सम्भावी नहीं है अर्थात्
P(1) = 16 एवं P(1¯¯¯)=56 .

प्रश्न 15.
मैं तीन सिक्कों को एक साथ उछालता हूँ तो सम्भावित परिणाम होंगे कोई चित नहीं,’ ‘एक चित’ ‘दो चित’ ‘तीन चित’ इसलिए मैं कहता हूँ कि कोई चित न आने की प्रायिकता 14 है। इस निर्णय में क्या गलती है?
हल :
हाँ, सभी सम्भावनाएँ सम-सम्भावी नहीं हैं क्योंकि कोई चित नहीं (TTT) जबकि एक चित (HTT),
(THT) एवं (TTH) …… इसी प्रकार कुल 8 सम्भावनाएँ हैं अतः P(TTT) = 18.

प्रश्न 16.
यदि आप एक सिक्के को 6 बार उछालते हैं और हर बार ऊपर चित आता है। क्या आप कह सकते हैं कि चित आने की प्रायिकता 1 होगी? कारण दीजिए।
हल :
नहीं, क्योंकि ‘चित’ या ‘पट’ आने की घटनाएँ सम-सम्भावी होती हैं। इसका कोई मतलब नहीं कि आपने इतने कम उछाल में क्या प्राप्त किया है।

प्रश्न 17.
सुषमा एक सिक्के को तीन बार उछालती है और हर बार पट प्राप्त करती है। क्या आप सोचते हैं कि अगली उछाल में भी पट ही आयेगा? कारण दीजिए।
हल :
नहीं, यह चित भी हो सकता है और पट भी क्योंकि प्रत्येक उछाल में दोनों घटनाएँ सम-सम्भावी होती हैं।

प्रश्न 18.
यदि मैं एक सिक्के को तीन बार उछालता हूँ और हर बार चित पाता हूँ। क्या मैं अगले चौथे उछाल में पट आने की अधिक सम्भावना कर सकता हूँ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
हल :
नहीं, चौथे उछाल में पट आने की अधिक सम्भावना नहीं कर सकते, क्योंकि दोनों घटनाएँ सम-सम्भावी होती हैं।

प्रश्न 19.
एक थैले में 1 से 100 तक अंक लिखी स्लिप हैं। यदि फातिमा यादच्छया एक स्लिप चनती है तो यह या तो विषम अंक होगा या सम अंक होगा। चूँकि इस स्थिति में केवल दो सम्भावनाएँ हैं इसलिए प्रत्येक की प्रायिकता 12 होगी। औचित्य दीजिए।
हल :
हाँ, दोनों सम्भावनाएँ सम-सम्भावी हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि एक घटना घटित नहीं हो सकती तो इसकी प्रायिकता होगी :
(a) 1
(b) 34
(c) 12
(d) 0.
उत्तर:
(d) 0.

प्रश्न 2.
निम्न में से कौन किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(a) 13
(b) 0.1
(c) 3%
(d) 1716
उत्तर:
(d) 1716

प्रश्न 3.
एक घटना असम्भावी है तो इसकी प्रायिकता निम्न के निकटस्थ होगी :
(a) 0.0001
(b) 0.001
(c) 0.01
(d) 0.1.
उत्तर:
(a) 0.0001

प्रश्न 4.
यदि किसी घटना की प्रायिकता p है तो इसकी पूरक घटना की प्रायिकता होगी :
(a) p – 1
(b) p
(c) 1 – p
(d) 1 – 1p
उत्तर:
(c) 1 – p

प्रश्न 5.
किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता प्रतिशत में दी गई है। यह कभी नहीं हो सकती :
(a) 100 से कम
(b) शून्य से कम
(c) एक से अधिक
(d) कोई भी लेकिन एक पूर्ण संख्या।
उत्तर:
(b) शून्य से कम

प्रश्न 6.
यदि P(A) किसी घटना A की प्रायिकता को प्रदर्शित करती है, तो :
(a) P(A) < 0 (b) P(A) > 1.
(c) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(d) – 1 ≤ P(A) ≤ 1.
उत्तर:
(c) 0 ≤ P(A) ≤ 1

प्रश्न 7.
52 ताश के पत्तों की गड्डी में से एक कार्ड (पत्ते) का चयन किया गया। इस पत्ते का लाल फोटो वाला पत्ता होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) 326

प्रश्न 8.
इसकी प्रायिकता कि लीप वर्ष के अतिरिक्त अन्य वर्षों में यादृच्छया चयनित वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) 17

प्रश्न 9.
जब एक पासा फेंका जाता है तो 3 से कम विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) 16

प्रश्न 10.
52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है। घटना E पान का इक्का नहीं होने की घटना है तो E के अनुकूल घटनाओं की संख्या होगी :
(a) 4
(b) 13
(c) 48
(d) 51.
उत्तर:
(d) 51.

प्रश्न 11.
400 अण्डों के एक लॉट से एक खराब अण्डा प्राप्त करने की प्रायिकता 0.035 है तो उस लॉट में खराब अण्डों की संख्या होगी :
(a) 7
(b) 14
(c) 21
(d) 28.
उत्तर:
(b) 14

प्रश्न 12.
एक लड़की गणना करती है कि एक लॉटरी में उसके प्रथम पुरुस्कार जीतने की प्रायिकता 0.08 है। यदि 6000 टिकटों की बिक्री हुई हो तो उसको कितने टिकट खरीदने होंगे?
(a) 40
(b) 240
(c) 480
(d) 750.
उत्तर:
(c) 480

प्रश्न 13.
क्रमांक 1 से 40 अंक अंकित टिकटों में से एक टिकट यादृच्छया खींची गयी। उस टिकट पर 5 का गुणक अंक होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) 15

प्रश्न 14.
एक व्यक्ति से 1 से 100 तक के अंकों में से एक अंक सोचने के लिए कहा गया। इसके अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(c) 14

प्रश्न 15.
एक स्कूल में पाँच समूह हैं A, B, C, D एवं E एक कक्षा में 23 विद्यार्थी हैं, 4 समूह A से, 8 समूह B से, 5 समूह C से, 2 समूह D से और शेष समूह E से। एक अकेला विद्यार्थी यादृच्छया चयनित किया जाता है जिसे कक्षा का मॉनीटर बनाना है। इस बात की प्रायिकता कि चयनित विद्यार्थी समूह A, B एवं C से न हो, है:

उत्तर:
(b) 623

प्रश्न 16.
निम्न में से कौन-सी किसी घटना की प्रायिकता हो सकती है?
(a) – 0.04
(b) 1.004
(c) 1823
(d) 87
उत्तर:
(c) 1823

प्रश्न 17.
अच्छी तरह से फेंटे गए 52 पत्तों की ताश की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है। इस पत्ते का फोटो वाला पत्ता होने की प्रायिकता है :

उत्तर:
(a) 313

प्रश्न 18.
एक थैले में 3 लाल गेंदें, 5 सफेद गेंदे और 7 काली गेंदें हैं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि यादृच्छया खींची गयी गेंद न तो लाल होगी और न ही काली?

उत्तर:
(b) 13

प्रश्न 19.
एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता होगी :
(a) 0
(b) 1
(c) 12
(d) −13
उत्तर:
(c) 12

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. सभी सम्भव प्रायिकताओं का योग सदैव ……. होता है।
2. एक साथ घटित न होने वाली घटनाएँ …… घटनाएँ कहलाती हैं।
3. यादृच्छिक प्रयोग में सभी सम्भव परिणामों का समुच्चय ……… कहलाता है।
4. प्रतिदर्श समष्टि का प्रत्येक उप-समुच्चय उसकी एक ……… है।
5. किसी असम्भव घटना की प्रायिकता ……… होती है।
6. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकता का योग ……… है। (2019)
उत्तर-
1. 1 (एक),
2. परस्पर अपवर्जी,
3. प्रतिदर्श समष्टि,
4. घटना,
5. शून्य (0),
6. एक (1).

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4. →(a),
5. →(b).

सत्य/असत्य कथन

1. किसी घटना की प्रायिकता एक से अधिक भी हो सकती है।
2. एक पासे को फेंकने पर उसके फलक पर 7 आने की प्रायिकता शून्य (0) होती है।
3. किसी घटना की प्रायिकता ऋणात्मक भी हो सकती है।
4. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता का मान एक होता है।
5. एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता एक होती है।
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. किसी घटना के घटित होने की सम्भावनाओं का परिमाण बोधक या संख्यात्मक निरूपण क्या कहलाता है?
2. असम्भव घटना की प्रायिकता क्या होगी?
3. निश्चित घटना की प्रायिकता लिखिए।
4. घटना ‘E’ की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ का मान होता है। (2019)
उत्तर-
1. प्रायिकता,
2. 0 (शून्य),
3. 1 (एक),
4. 1 (एक)।

TENSE