MP Board Class 9th Maths | वृत्त

MP Board Class 9th Maths | वृत्त

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1

प्रश्न 1.
खाली स्थान भरिए
(i) वृत्त का केन्द्र वृत्त के ………………… में स्थित होता है। (बहिर्भाग/अभ्यन्तर)
(ii) एक बिन्दु, जिसकी वृत्त के केन्द्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के ……….. स्थित होता है। (बहिर्भाग/अभ्यन्तर)
(iii) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का ………….. होता है।
(iv) एक चाप ……………… होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।
(v) वृत्तखण्ड एक चाप तथा ………………. के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे ………………. भागों में विभाजित करता है।
उत्तर:
(i) अभ्यन्तर,
(ii) बहिर्भाग,
(iii) व्यास,
(iv) अर्द्धवृत्त,
(v) जीवा,
(vi) तीन।

प्रश्न 2.
लिखिए सत्य/असत्य। अपने उत्तर का कारण दीजिए-
(i) केन्द्र को वृत्त पर किसी बिन्दु से मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत्त की त्रिज्या होती है।
(ii) एक वृत्त में समान लम्बाई की सीमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) यदि एक वृत्त को तीन बराबर भागों में बाँट दिया जाये, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है।
(iv) वृत्त की एक जीवा जिसकी लम्बाई त्रिज्या से दो गुनी होती है, वृत्त का व्यास कहलाती है।
(v) त्रिज्यखण्ड जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) वृत्त एक समतल आकृति है।
उत्तर:
(i) कथन सत्य है, यही वृत्त की त्रिज्या की परिभाषा है।
(ii) कथन असत्य है, क्योंकि वृत्त में समान लम्बाई की असीमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) कथन असत्य है, क्योंकि दीर्घ चाप वृत्त के आधे से अधिक होता है।
(iv) कथन सत्य है, क्योंकि वृत्त का व्यास केन्द्र से होकर जाने वाली जीवा है, जो दो त्रिज्याओं से मिलकर बना है।
(v) कथन असत्य है, क्योंकि यह वृत्तखण्ड होता है।
(vi) कथन सत्य है, क्योंकि वृत्त एक तल पर बिन्दुओं का समूह है।

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2

प्रश्न 1.
याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं। (2018, 19)
हल:

चित्र 10.1
दिया है : दो सर्वांगसम वृत्त जिनके केन्द्र O तथा O’ हैं।
जीवा AB = जीवा PQ केन्द्रों पर ∠AOB और ∠PO’Q अन्तरित करते हैं।
अब ΔOAB और OPQ में,
चूँकि OA = O’P (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं)
OB = O’Q (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं)
AB = PQ (दिया है)
⇒ ΔΟΑΒ ≅ ΔΟΡΟ (SSS सर्वांगसम प्रमेय)
⇒ ∠AOB = ∠PO’Q (CPCT)
अतः सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ केन्द्रों पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अन्तरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।
हल:

चित्र 10.2
दिया है : दो सर्वांगसम वृत्त जिनके केन्द्र O तथा O’ है तथा जीवाएँ AB और PQ केन्द्रों पर क्रमशः
∠AOB = ∠PO’Q अन्तरित करती हैं।
अब ΔAOB और ΔPO’Q में,
चूँकि OA = O’P (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं)
∠AOB = ∠PO’Q (दिया है)
OB = O’Q (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
⇒ ΔAOB ≅ ΔPO’Q (SAS सर्वांगसमता प्रमेय)
⇒ AB = PQ (CPCT)
अतः सर्वांगसम वृत्तों में वे जीवाएँ जो केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं आपस में बराबर होती हैं। इति सिद्धम्

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.3

प्रश्न 1.
वृत्तों के कई जोड़े (युग्म) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिन्दु उभयनिष्ठ हैं ? उभयनिष्ठ बिन्दुओं की अधिकतम संख्या क्या होगी?
हल:
वृत्तों के अभीष्ट युग्म (जोड़े) :

चित्र 10.3
उभयनिष्ठ बिन्दुओं की संख्या-
(a) में शून्य,
(b) में एक,
(c) में दो,
(d) में एक,
(e) में शून्य।
अतः अधिकतम उभयनिष्ठ बिन्दुओं की संख्या = दो।

प्रश्न 2.
मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केन्द्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।
हल:

चित्र 10.4
एक वृत्त दिया है जिसका केन्द्र ज्ञात करना है।
रचना :
(i) वृत्त पर तीन बिन्दु P, Q और R लीजिए।
(ii) PQ एवं QR को मिलाइए।
(iii) PQ का लम्ब समद्विभाजक AB खींचिए।
(iv) OR का लम्ब समद्विभाजक CD खींचिए जो AB को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करता है। यही बिन्दु O वृत्त का अभीष्ट केन्द्र है।

प्रश्न 3.
यदि दो वृत्त परस्पर दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केन्द्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित हैं।
हल:

चित्र 10.5
दिया है : O और O’ केन्द्र वाले दो वृत्त एक-दूसरे को दो बिन्दुओं P और Q पर प्रतिच्छेद करते हैं। तो सिद्ध करना है कि उनके केन्द्र उभयनिष्ठ जीवा PQ के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित हैं।
रचना : केन्द्र O और O’ को उभयनिष्ठ जीवा PQ के मध्य-बिन्दु R से मिलाइए।
उपपत्ति : चूँकि O केन्द्र वाले वृत्त में केन्द्र O को जीवा PQ के मध्य-बिन्दु R से मिलाया गया है।
⇒ OR ⊥ PO अर्थात् ∠ORP = 90° ….(1)
चूँकि O’ केन्द्र वाले वृत्त में केन्द्र O’ को जीवा PQ के मध्य बिन्दु R से मिलाया गया है।
⇒ OR ⊥ PO अर्थात् ∠O’RP = 90° …..(2)
⇒ ∠ORP + ∠O’RP = 180° [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ ORO’ एक सरल रेखाखण्ड है जो जीवा PQ का लम्बार्द्धक है।
अतः यदि दो वृत्त परस्पर दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो उनके केन्द्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्बार्द्धक पर स्थित हैं। इति सिद्धम्

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.4

प्रश्न 1.
5 cm और 3 cm की त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए हुए वृत्त के केन्द्र क्रमशः O तथा O’ है जिनके बीच की दूरी OO’ = 4 cm है। वृत्त एक-दूसरे को P और Q दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते है। वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः
OP = 5 cm तथा OP = 3 cm हैं।

चित्र 10.6
चूँकि (OO’)² + (O’P)² = (4)² + (3)² = 16 + 9 = 25 = (5)2 = (OP)²
अतः ∆OO’P एक समकोण त्रिभुज है। (पाइथागोरस का विलोम)
⇒ OO’ ⊥ O’P
चूँकि उभयनिष्ठ जीवा PQ छोटे वृत्त के केन्द्र O’ से जाती है, इसलिए PQ छोटे वृत्त का व्यास है।
⇒ PQ = 2 x O’P = 2 x 3 = 6 cm
अत: उभयनिष्ठ जीवा की अभीष्ट लम्बाई = 6 cm.

प्रश्न 2.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर परस्पर प्रतिच्छेद करें तो, सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खण्ड दूसरी जीवा के संगत खण्डों के बराबर है।
हल:
दिया है : O केन्द्र वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ AB = CD परस्पर E बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो सिद्ध करना है कि
AE = DE एवं CE = BE

चित्र 10.7
रचना : O से OM ⊥ AB तथा ON ⊥ CD खींचिए तथा OE को मिलाइए।
उपपत्ति : समकोण ∆OME एवं ∆ONE में,
चूँकि कर्ण OE = OE (उभयनिष्ठ है)
एवं OM = ON (बराबर जीवाएँ केन्द्र से बराबर दूरी पर होती है)
⇒ ΔΟΜΕ ≅ ΔΟΝΕ (RHS सर्वांगसमता प्रमेय)
⇒ ME = NE
चूँकि AB = CD, OM ⊥ AB एवं ON ⊥ CD
⇒ AM = DN एवं BM = CN
⇒ AM + ME = DN + NE [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ AE = DE
एवं CN – EN = BM – EM [समीकरण (1) और (2) में]
⇒ CE = BE
अतः वृत्त की बराबर जीवाएँ वृत्त के अन्दर यदि प्रतिच्छेद करती हैं। तो उनके संगत खण्ड बराबर होते हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
हल:

चित्र 10.8
ज्ञात है : O केन्द्र वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ AB = CD वृत्त के अन्दर बिन्दु E पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं। OE को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: ∠OEA = ∠OED
रचना : OM ⊥ AB एवं ON ⊥ CD खींचिए।
उपपत्ति : समकोण ΔOME एवं ΔONE में,
चूँकि कर्ण OE = कर्ण OE (उभयनिष्ठ है)
एवं OM = ON (बराबर जीवाएँ केन्द्र से बराबर दूरी पर होती हैं)
⇒ ΔΟΜΕ ≅ ΔΟΝΕ (RHS सर्वांगसमता प्रमेय)
⇒ ∠OEM = ∠OEN (CPCT)
अतः ∠OEA = ∠OED (चित्रानुसार) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को जिनका केन्द्र O है A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है (देखिए संलग्न चित्र)। (2019)
हल:

चित्र 10.9
दिया है : O केन्द्र वाले दो संकेन्द्री वृत्तों को रेखा AD बिन्दुओं A, B, C और D पर (चित्रानुसार) प्रतिच्छेद करती है तो सिद्ध करना है कि AB = CD
रचना : OM ⊥ AD खींचिए।
उपपत्ति : बाह्य वृत्त में चूँकि AD वृत्त की जीवा है तथा OM ⊥ AD
⇒ AM = DA …..(1) (केन्द्र से जीवा पर डाला लम्ब उसे समद्विभाजित करता है)
चूँकि अन्तः वृत्त की जीवा CB पर OM लम्ब है। (चित्रानुसार)
⇒ BM = CM …(2) (वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब उसे समद्विभाजित करता है)
⇒ AM – BM = DM – CM [समीकरण (1) और (2) से]
अतः AB = CD. (चित्रानुसार) इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
एक पार्क में बने 5 m त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m हो, तो रेशमा और मनदीप की बीच की दूरी क्या है ?
हल:
मान लीजिए वृत्ताकार पार्क का केन्द्र O है। बिन्दु R, S और M पर क्रमशः रेशमा, सलमा और मनदीप हैं। वृत्त की त्रिज्या OR = 5 m, तथा RS = SM = 6 m दी गई है तो दूरी RM ज्ञात करना है।

चित्र 10.10

अत: रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी RM = 2 x x = 2 x 4.8 = 9.6 m.

प्रश्न 6.
20 m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कॉलोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद, डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक टेलीफोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

चित्र 10.11
हल:
दिया है : एक 20 m त्रिज्या का 0 केन्द्र वाला वृत्ताकार पार्क जिसकी परिसीमा पर अंकुर, सैय्यद और डेविड क्रमश: A, S और D बिन्दुओं पर इस प्रकार बैठे हैं कि AS = SD = DA =x मान लीजिए।
चूँकि समबाहु त्रिभुज की सभी माध्यिकाएँ बराबर होती हैं, वे सम्मुख भुजाओं को समकोण पर समद्विभाजित करती हैं तथा परस्पर एक बिन्दु पर 2 : 1 के अनुपात में प्रतिच्छेद करती है एवं यह बिन्दु उसके शीर्षों से समान दूरी पर होता है अर्थात् ASD से जाने वाले वृत्त का केन्द्र।
⇒ AO = SO = DO = 20 m (वृत्त की त्रिज्या दी है)
एवं OM = 12AO = 12 x 20 = 10 m
⇒ AM = AO + OM = 20 + 10 = 30 m
समकोण ∆AMS में पाथागोरस प्रमेय से,
AS² = AM² + SM²

अतः प्रत्येक टेलीफोन की छोरी की अभीष्ट लम्बाई = 34.64 m.

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.5

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में केन्द्र 0 वाले एक वृत्त पर तीन बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि ∠BOC = 30° तथा ∠AOB = 60° है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिन्दु है, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए। (2019)
हल:
चित्रानुसार,
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60° + 30° = 90°
(चूँकि ∠AOB = 60° एवं ∠BOC = 30° दिया है)

चित्र 10.17
चूंकि ∠ADC = 12∠AOC
(किसी चाप द्वारा शेष परिधि पर बना कोण उस चाप द्वारा केन्द्र पर बने कोण का आधा होता है)
⇒ ∠ADC = 12 x 90° = 45°
अत: अभीष्ट कोण ∠ADC का मान = 45°.

प्रश्न 2.
किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिन्दु पर भी अन्तरित कोण ज्ञात
कीजिए।
हल:

चित्र 10.18
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त में जीवा
AB = OA = OB (OA, OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
⇒ ∠AOB = 60° (समबाहु त्रिभुज का कोण है)
⇒ प्रतिवर्ती ∠AOB = 360° – 60° = 300° (एक बिन्दु पर बने कोणों का योग = 360°)
चूँकि किसी चाप द्वारा शेष परिधि पर बना कोण, केन्द्र पर बने कोण का आधा होता है।
⇒ लघु चाप में बना कोण ∠ACB = 12 x प्रतिवर्ती ∠AOB
= 12 x 300° = 150°
और दीर्घ चाप में बना कोण ∠ADB = 12 x ∠AOB = 12 x 60° = 30°
अत: लघु चाप के किसी बिन्दु पर बना अभीष्ट कोण = 150° एवं दीर्घ चाप के किसी बिन्दु पर बना अभीष्ट कोण = 30°.

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में ∠POR=100°, जहाँ P, Q तथा R केन्द्र O वाले एक वृत्त पर स्थित बिन्दु हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्रानुसार, प्रतिवर्ती ∠POR = 2∠PQR
प्रतिवर्ती ∠POR = 2 x 100° = 200°
∠POR = 360° – 200° = 160° (एक बिन्दु पर बने कोणों का योग = 360°)
चूँकि OP = OR (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
∠OPR = ∠ORP = x (मान लीजिए)

चित्र 10.14
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
अब ∆OPR में चूँकि ∠POR + ∠OPR + ∠ORP = 180° (त्रिभुज के अन्तः कोणों का योग)
⇒ 160° + x + x = 180° ⇒ 2x = 20°
⇒ x = 10°
अत: ∠OPR का अभीष्ट मान = 10°.

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में ∠ABC = 69° और ∠ACB = 31° हो, तो AL ∠BDC ज्ञात कीजिए। (2018, 19)
हल:
चित्रानुसार, ∠ BAC + 690 + 31° = 180° (त्रिभुज के अन्तः कोणों को योग)

चित्र 10.15
⇒ ∠BAC = 180° – 100° = 80°
चूँकि ∠BDC = ∠BAC = 80° (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)
अतः ∠BDC का अभीष्ट मान = 80°.

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिन्दु है। AC और BD एक बिन्दु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं। कि ∠ BEC = 130° तथा ∠ECD = 20° है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि ∠ BEC, ∆CDE का बहिष्कोण है।
⇒ ∠BEC = ∠EDC + ∠DCE (बहिष्कोण = अन्तः कोणों का योग)
⇒ 130° = ∠EDC + 20° (कोणों के ज्ञात मान रखने पर)

चित्र 10.16
⇒ ∠BDC = ∠EDC
= 130° – 20° = 110° (∠BDC = ∠EDC एक ही कोण है)
चूँकि ∠BAC = ∠BDC = 110° (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं तथा ∠BDC = 110°)
अतः ∠BAC का अभीष्ट मान = 110°.

प्रश्न 6.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। पुनः यदि AB = BC हो, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि ∠BDC = ∠ BAC = 30° …(1) (एक ही वृत्त खण्ड के कोण हैं तथा ∠ BAC = 30°, दिया है)।
∆CBD में,
∵ ∠ BCD + ∠DBC + ∠BDC = 180° (∆ के अन्तः कोणों का योग है)
⇒ ∠BCD + 70° + 30° = 180° (कोणों में ज्ञात मान रखने पर)
⇒ ∠BCD = 180° – 100° = 80°
अब चूँकि ∆ABC में, AB = BC (दिया है)

चित्र 10.17
⇒ ∠BCA =∠BAC = 30° (बराबर-भुजाओं के सम्मुख कोण हैं तथा ∠BAC = 30° दिया है)
∠ECD = ∠BCD- ∠BCA (चित्रानुसार)
⇒ ∠ECD = 80° – 30° = 50° (ज्ञात कोणों के मान रखने पर)
अतः अभीष्ट कोण ∠BCD का मान = 80° एवं पुनश्च कोण ∠ECD का अभीष्ट मान = 50° है।

प्रश्न 7.
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
हल:
दिया है : ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज जिसके विकर्ण AC एवं BD वृत्त के व्यास हैं। चूँकि वृत्त के व्यास परस्पर समद्विभाजित करते हैं तथा बराबर होते है।
इसलिए AC एवं BD परस्पर समद्विभाजित करेंगे।
चूँकि AC एवं BD चतुर्भुज ABCD के विकर्ण हैं तथा परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
⇒ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज होगा।

चित्र 10.18
चूँकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
⇒ ABCD एक आयत होगा। (समान्तर चक्रीय चतुर्भुज एक आयत होता है।)
अत: यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों में जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो वह एक आयत होगा। इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
यदि किसी समलम्ब की असमान्तर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
हल:
दिया है: ABCD एक समलम्ब है जिसकी भुजा AB || DC एवं असमान्तर भुजाएँ AD = BC.
सिद्ध करना है: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
रचना: C से CE || DA रेखाखण्ड खींचिए जो AB के E पर मिलता है।
⇒ AECD एक समान्तर चतुर्भुज है।
⇒ DA = CE(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं)
⇒ CE = CB [∵ DA = CB दिया है]
उपपत्ति: चूँकि AB || DC (दिया है) एवं CE || DA (रचना से)

चित्र 10.19
⇒ ∠CEB = ∠CBE (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
चूँकि DA || CE को तिर्यक रेखा AB बिन्दु A और E पर मिलती है।
⇒ ∠DAB = ∠CEB = ∠CBE (संगत कोण है तथा ∠CEB =∠CBE)
चूँकि AB || CD को तिर्यक रेखा (DA बिन्दु A और D पर मिलती है।)।
⇒ ∠ADC + ∠DAB = 180° (एक ही ओर के अन्तः कोणों का योग है)
⇒ ∠ADC + ∠ABC = 180° (∠DAB = CBE 3791C ∠DAB= ∠ABC)
अत: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। (सम्मुख कोण सम्पूरक हैं) इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से जाने वाले दो रेखाखण्ड ABD और PBQ वृत्तों को A,D और P, Q पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गये हैं (देखिए संलग्न चित्र)। सिद्ध कीजिए कि-
∠ACP =∠QCD है।
हल:

चित्र 10.20
ज्ञात है : दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते है हुए दो वृत्त B से जाने वाले दो रेखाखण्ड ABD और PBO वृत्तों को क्रमश: A, D और P, Q पर प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं।
AC, PC, DC और QC को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: ∠ACP = ∠QCD
उपपत्ति: चूंकि LACP = ∠ABP …(1) (एक ही वृत्तखण्डACBP के कोण हैं)
चूँकि ∠OCD = ∠QBD …(2) (एक ही वृत्तखण्ड QCBD के कोण हैं)
चूँकि ∠ABP = ∠QBD ….(3) (प्रतिच्छेदी रेखाओं AD एवं PQ में बने सम्मुख कोण)
अतः ∠ACP = ∠QCD. [समीकरण (1), (2) एवं (3) से] इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।
हल:

चित्र 10.21
ज्ञात है : एक ∆ABC जिसकी भुजाओं AB और AC को ।
व्यास मानकर दो वृत्त खींचे गये हैं जो परस्पर बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : बिन्दु D भुजा BC पर स्थित है।
रचना : AD, BD एवं CD को मिलाइए।
उपपत्ति: ∵ ∠ADB = 90° …(1) (अर्द्ध वृत्त का कोण है)
⇒ ∠ADC = 90° ….(2) (अर्द्ध वृत्त का कोण है)
⇒ ∠ADB + ∠ADC = 90° + 90° = 180° [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ ∠BDC = 90° + 90° = 180° [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ BDC एक सरल रेखा है।
अतः बिन्दु D भुजा BC पर स्थित है। इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD है।
हल:

चित्र 10.22
दिया है : AC उभयनिष्ठ कर्ण पर दो समकोण त्रिभुज ∆ABC एवं ∆ADC, BD को मिलाया।
सिद्ध करना है: ∠CAD = ∠CBD
उपपत्ति : ∠ABC = 90° एवं ∠ADC = 90°
(∆ABC एवं ∆ADC समकोण ∆ हैं)
⇒ ∠ABC + ∠ADC = 90° + 90° = 180°
⇒ चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। (सम्पूरक कोणों का युग्म सम्पूरक है)
अतः ∠CAD = ∠CBD. (एक ही वृत्तखण्ड CBAD के कोण हैं) इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समान्तर चतुर्भुज आयत होता है।
हल:
ज्ञात है : एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज ABCD.
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है।
उपपत्ति: ∠A = ∠C (समान्तर चतुर्भुज केसम्मुख कोण) …(1)
∵ ∠A + ∠C = 180° (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग)…(2)

चित्र 10.23
⇒ ∠A = ∠C = 90° [समीकरण (1) और (2) से]
अत: ABCD एक आयत है। (समान्तर चतुर्भुज जिसके कोण समकोण हों, आयत होता है)। इति सिद्धम्

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Additional Questions

MP Board Class 9th Maths Chapter 10 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 9th Maths Chapter 10 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि PO और R क्रमशः एक त्रिभुज की भुजाओं BC. CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं तथा AD शीर्ष A से BC पर लम्ब है तो सिद्ध कीजिए कि P, Q, R और D चक्रीय
हल:

चित्र 10.27
दिया है : P Q और R क्रमश: ∆ABC की भुजाओं BC, CA एवं AB के मध्य-बिन्दु हैं तथा AD I BC है।
सिद्ध करना है : P, Q, R और D चक्रीय हैं।
रचना : PO, QR और RD को मिलाया।
उपपत्ति : चूँकि R और Q क्रमश: ∆ABC की भुजाओं AB और AC के मध्य-बिन्दु हैं।
⇒ RQ || BC …(1)
एवं बिन्दु P और Q क्रमश: ∆ABC की भुजाओं BC और AC के मध्य-बिन्दु हैं।
⇒ PQ || BA …(2)
⇒ PQRB एक समान्तर चतुर्भुज है।
⇒∠RBP = ∠RQP …(3) (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं)
समकोण ∆ADB में कर्ण AB के मध्य-बिन्दु R को शीर्ष D से मिलाया।
⇒ RD = RB (RD कर्ण AB की आधी है)
⇒ ∠RBD = ∠ RDB (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं)
⇒ ∠RDB = ∠RBD = ∠RQP (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं)
लेकिन LRDB + ∠ RDP = 180° (BC के बिन्दु D पर एक ओर के कोण हैं)
∠RQP + ∠ RDP = 180° (∠RDB = ∠RQP)
अतः P, Q, R और D चक्रीय हैं। (PQRD के सम्मुख कोण सम्पूरक हैं।)

प्रश्न 2.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। A और B से होकर एक वृत्त इस प्रकार खींचा गया है कि यह AD को P पर और BC को Q पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि P, Q, C और D चक्रीय हैं।
हल:

चित्र 10.28
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज जिसके शीर्ष A और B से होकर एक वृत्त खींचा गया है, जो AD को P पर तथा BC को Q पर प्रतिच्छेद करता है।
सिद्ध करना है : P Q, C और D चक्रीय हैं।
उपपत्ति : चूँकि ∠ABQ + ∠APQ = 180°…(1) (चक्रीय चतुर्भुज ABOP के सम्मुख कोण हैं)
चूँकि ∠DCQ+ ∠ABQ = 180° …(2) (AB || DC एवं तिर्यक रेखा BC के एक ओर के अन्तः कोण हैं)
चूँकि ∠APO + ∠DPO = 180° …(3) (AD के बिन्दु P पर बने एक ओर के कोण)
⇒ ∠DCQ + ∠ABQ + ∠APQ + ∠DPQ = 360° [समीकरण (2) + (3) से] …(4)
⇒ ∠DCQ + ∠DPQ = 180° [समीकरण (4) – (1) से]
अत: P, Q, C और D चक्रीय हैं। (□ PQCD के सम्मुख कोण सम्पूरक है) इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि PB = PD.
हल:
ज्ञात है : एक वृत्त की दो जीवाएँ AB = CD बढ़ाने पर बिन्दु P पर मिलती हैं।
सिद्ध करना है : PB = PD
रचना : AD एवं BC को मिलाया।
उपपत्ति : चूँकि ∠ABC = ∠ADC ….(1) (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)
चूँकि ∠CBD = ∠ADB ….(2) (बराबर जीवाओं द्वारा शेष परिधि पर बने कोण हैं)
⇒ ∠ABC + ∠CBD = ∠ADC + ∠ADB [समीकरण (1) और (2) से]

चित्र 10.29
⇒ ∠ABD = ∠CDB (चित्रानुसार)
⇒ ∠ PBD = ∠PDB (बराबर कोणों के सम्पूरक बराबर होते हैं)
अतः PB = PD. (बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ हैं) इति सिद्धम्

MP Board Class 9th Maths Chapter 10 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
A, B और C किसी वृत्त पर स्थित तीन बिन्दु हैं। सिद्ध कीजिए कि AB, BC और CA के लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र से होकर जाते हैं।
हल:
ज्ञात है : एक वृत्त पर स्थित तीन बिन्दु A, B और C। AB, BC और CA को मिलाया गया है।
मान लीजिए AB और AC के लम्बार्धक बिन्दु O पर मिलते हैं। OD ⊥ BC खींचा गया है।
सिद्ध करना है : OD, BC का लम्बार्द्धक है तथा O वृत्त का केन्द्र है।

चत्र 10.30
रचना:
OA, OB और OC को मिलाइए।
उपपत्ति : चूँकि बिन्दु O भुजा AB के लम्बार्द्धक पर स्थित है।
⇒ OA = OB …(1) (किसी रेखाखण्ड के लम्बार्द्धक का प्रत्येक बिन्दु रेखाखण्ड के सिरों से बराबर दूरी पर होता है)
चूँकि बिन्दु O भुजा AC के लम्बार्द्धक पर स्थित है।।
⇒ OA = OC …(2) (किसी रेखाखण्ड के लम्बार्द्धक का प्रत्येक बिन्दु रेखाखण्ड के सिरों पर बराबर दूरी पर होता है)
⇒ OB = OC [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ O भुजा BC के लम्बार्द्धक पर स्थित होगा
OD ⊥ BC ज्ञात है।
⇒ OD भुजा BC का लम्बार्द्धक है।
चूँकि वृत्त की त्रिज्याएँ OA = OB = OC समीकरण (1) और (2) से]
अत: AB, BC और CA के लम्बार्द्धक वृत्त के केन्द्र से होकर जाते हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
AB और AC वृत्त की दो बराबर जीवाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠BAC का समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
हल:
ज्ञात है : वृत्त पर दो जीवाएँ AB = AC दी हैं तथा AD, ∠BAC का समद्विभाजक है जो BC से मिलाने पर उसे बिन्दु D पर मिलता है।
सिद्ध करना है : AD वृत्त के केन्द्र से होकर जायेगा।
उपपत्ति: ∆ADB और ∆ADC में,
चूँकि AB = AC (दिया है)

चित्र 10.31
∠BAD = ∠CAD
एवं AD = AD (उभयनिष्ठ है)
⇒ ∆ADB ≅ ∆ADC (SAS सर्वांगसमता प्रमेय)
⇒ ∠ADB = ∠ADC एवं BD = CD (CPCT)
लेकिन ∠ADB + ∠ADC = 180° (BC के बिन्दु D पर एक ओर बने कोण हैं)
∠ADB = ∠ADC = 90°
⇒ AD जीवा BC पर लम्ब समद्विभाजक है।
अतः AD वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि वृत्त की दो जीवाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाला , रेखाखण्ड वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों जीवाएँ समान्तर हैं।
हल:
ज्ञात है : केन्द्र O वाला एक वृत्त जिसकी दो जीवाएँ AB और CD के मध्य-बिन्दु क्रमशः M और N हैं। MN वृत्त के केन्द्र O से होकर जाता है।
सिद्ध करना है : AB || CD
उत्पत्ति : चूँकि जीवा AB के मध्य-बिन्दु M को केन्द्र O से मिलाया गया है।

चित्र 10.32
⇒ OM ⊥AB अर्थात् ∠AMO= ∠BMO = 90°
चूँकि जीवा CD के मध्य बिन्दु N को केन्द्र Oसे मिलाया गया है।
⇒ ON ⊥ CD अर्थात् ∠CNO =∠DNO = 90°.
चूँकि दो रेखाओं AB और CD को एक तिर्यक रेखा MN प्रतिच्छेद कर रही है और
∠AMO + ∠CNO = 90° + 90° = 180°
अतः AB || CD. (एक ही ओर के अन्तः कोण है) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और AC क्रमशः 90° और 150° के कोण अन्तरित करती है। ∠BAC ज्ञात कीजिए, यदि AB और AC केन्द्र के विपरीत ओर स्थित है।
हल:
ज्ञात है: केन्द्र O वाले एक वृत्त की जिसकी दो जीवाएँ AB और AC वृत्त के केन्द्र के विपरीत स्थित हैं तथा केन्द्र पर क्रमश: 90° और 150° के कोण अन्तरित करती हैं।
∠BAC का मान ज्ञात करना है।

चित्र 10.33
चूँकि ∠AOB + ∠AOC + ∠ BOC = 360° (एक बिन्दु पर बने कोण है)
⇒ 90° + 150° + ∠BOC = 360°
⇒ ∠BOC = 360° – 240° = 120°
∠ BAC = 12BOC (किसी चाप द्वारा शेष परिधि पर बना कोण उसी चाप द्वारा केन्द्र पर बने कोण का आधा होता है)
⇒ ∠BAC = 12 x 120° = 60° (∠ BOC = 120° ज्ञात कर चुके हैं)
अत: ∠ BAC का अभीष्ट मान = 60°.

प्रश्न 5.
यदि BM और CN त्रिभुज ABC की भुजाओं AC और AB पर खींचे गए लम्ब हैं, तो सिद्ध कीजिए कि बिन्दु B, C, M और N चक्रीय हैं।
हल:

चित्र 10.34
ज्ञात है : ∆ABC की भुजाओं AC और AB पर क्रमशः BM और CN लम्ब खींचे गए हैं।
सिद्ध करना है : B, C, M और N चक्रीय हैं।
उपपत्ति: ∠BNC = 90° …(1) (CN ⊥ AB) ।
एवं ∠CMB = 90° …(2) (BM ⊥ AC)
∠BNC = ∠ CMB = 90° [समीकरण (1) और (2) से]
जब कोई दो बिन्दु अपने एक ही ओर अन्य दो बिन्दुओं पर बराबर कोण अन्तरित करें, तो चारों बिन्दु चक्रीय होते हैं।
अंत: B, C, M और N चक्रीय हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के समान्तर कोई रेखा उसकी बराबर भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए खींची जाये, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बना चतुर्भुज चक्रीय होता है।
हल:

चित्र 10.35
ज्ञात है : समद्विबाहु ∆ABC जिसमें AB = AC तथा DE || BC भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है : □BCED एक चक्रीय चतुर्भुज है।
उपपत्ति : चूँकि ∠ABC = ∠ACB …(1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं)
चूँकि ∠ABC + ∠BDE = 180° (BC || DE द्वारा तिर्यक रेखा AB के एक ही ओर बने अन्त:खण्ड हैं) …(2)
∠ACB + ∠BDE = 180° [ समीकरण (1) और (2) से]
अतः चतुर्भुज BCED चक्रीय चतुर्भुज है। (सम्मुख ∠ACB एवं ∠ BDE सम्पूरक है) इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
किसी वृत्त की एक जीवा उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस जीवा द्वारा दीर्घ वृत्तखण्ड में किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल:

चित्र 10.36
ज्ञात है : एक वृत्त जिसकी जीवा AB = OA = OB वृत्त की त्रिज्या तथा दीर्घ वृत्तखण्ड पर कोई बिन्दु P है।
ज्ञात करना है : ∠APB का मान।
∆OAB में, OA = OB = AB (दिया है)
⇒ ∠AOB = 60° (समद्विबाहु त्रिभुज का एक कोण है)
चूँकि ∠APB = 12 ∠AOB (किसी जीवा द्वारा शेष परिधि
पर बना कोण उसके द्वारा केन्द्र पर बने कोण का आधा होता है)
⇒ ∠APB = 12 x 60° = 30°
अत: ∠APB का अभीष्ट मान = 30°.

MP Board Class 9th Maths Chapter 10 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्नलिखित में प्रत्येक के लिए सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

प्रश्न 1.
एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD में से प्रत्येक केन्द्र से 4 cm की दूरी पर हैं। तब AB = CD है।
उत्तर:
कथन सत्य है, क्योंकि केन्द्र से बराबर दूरी पर स्थित जीवाएँ बराबर होती हैं।

प्रश्न 2.
केन्द्र O वाले वृत्त की दो जीवाएँ AB और AC, OA के विपरीत ओर स्थित हैं। तब ∠AOB = ∠AOC है।
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि कोण तभी बराबर होंगे जब AB = AC.

प्रश्न 3.
O और O’ केन्द्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त A और B दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। तब ∠AOB = ∠AO’B
उत्तर:
कथन सत्य है, क्योंकि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ संगत केन्द्रों पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।

प्रश्न 4.
तीन संरेख बिन्दुओं से होकर एक वृत्त खींचा जा सकता है।
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि किन्हीं दो बिन्दुओं से होकर जाने वाला वृत्त इन दोनों बिन्दुओं के संरेख तीसरे बिन्दु से होकर नहीं जा सकता।

प्रश्न 5.
दो बिन्दुओं A और B से होकर 3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जा सकता है यदि AB = 6 cm है।
उत्तर:
कथन सत्य है, तब AB इसका व्यास होगा।

प्रश्न 6.
AOB वृत्त का एक व्यास है तथा C वृत्त पर स्थित कोई बिन्दु है। तब AC² + BC² = AB² है।
उत्तर:
कथन सत्य है, क्योंकि ∆ACB कोण C पर एक समकोण त्रिभुज है। (पाइथागोरस प्रमेय से)

प्रश्न 7.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें ∠A = 90°, LB = 70°, ∠C = 95° और ∠D = 105° हैं।
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि ∠A + ∠C = 90° + 95° = 185° + 180°.

प्रश्न 8.
यदि A, B, C और D चार बिन्दु इस प्रकार हैं कि ∠ BAC = 30° और ∠ BDC = 60° है, तो D उस वृत्त का केन्द्र है, जो A, B और C बिन्दुओं से होकर खींचा जाता है।
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि ऐसे अनेक बिन्दु D हो सकते हैं कि ∠BDC = 60° हो जिनमें से प्रत्येक बिन्दु A, B और C से खींचे जाने वाले वृत्त का केन्द्र नहीं हो सकता।

प्रश्न 9.
यदि A, B, C और D चार बिन्दु इस प्रकार हैं कि ∠ BAC = 45°, और ∠ BDC = 45° है, तो A, B,C और D चक्रीय है।
उत्तर:
कथन सत्य है, क्योंकि ∠BAC और ∠BDC एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं।

MP Board Class 9th Maths Chapter 10 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1. किसी वृत्त का AD एक व्यास है और AB एक जीवा है। यदि AD = 34 cm, AB = 30 cm है, तो वृत्त के केन्द्र से AB की दूरी है :
(a) 17 cm
(b) 15 cm
(c) 4 cm
(d) 8 cm.
उत्तर:
(d) 8 cm.

प्रश्न 2.
यदि AB = 12 cm, BC = 16 cm और AB रेखाखण्ड BC पर लम्ब है, तो A, B और C से होकर जाने वाली वृत्त की त्रिज्या है :
(a) 6 cm
(b) 8 cm
(c) 10 cm
(d) 12 cm.
उत्तर:
(c) 10 cm

प्रश्न 3.
ABCD एक ऐसा चक्रीय चतुर्भुज है कि AB इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त का एक व्यास है तथा ∠ADC = 140° है। तब ∠BAC बराबर है :
(a) 80°
(b) 50°
(c) 40°
(d) 30°.
उत्तर:
(b) 50°

प्रश्न 4.
तीन असंरेख बिन्दुओं से होकर अधिकतम वृत्त खींचे जा सकते हैं :
(a) एक
(b) दो
(c) तीन
(d) अनेक।
उत्तर:
(a) एक

प्रश्न 5.
अर्द्धवृत्त पर बना कोण होता है :
(a) 180°
(b) 90°
(c) 45°
(d) 270°.
उत्तर:
(b) 90°

प्रश्न 6.
5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 3 cm की दूरी पर स्थित जीवा की लम्बाई होगी :
(a) 4 cm
(b) 10 cm
(c) 6 cm
(d) 8 cm.
उत्तर:
(c) 6 cm

प्रश्न 7.
किसी चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग होता है :
(a) 360°
(b) 90°
(c) 180°
(d) 60°.
उत्तर:
(c) 180°

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा को …….. कहते हैं।
2. वृत्त के एक ही खण्ड (अवधा) के कोई दो कोण ………… होते हैं।
3. अर्द्धवृत्त का कोण ……….. होता है। (2019)
4. वृत्त की परिधि के किन्हीं दो बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड को वृत्त की ……. कहते हैं।
5. वृत्त के केन्द्र से वृत्त की जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को ……….. करता है।
6. यदि किसी वृत्त की त्रिज्याएँ बराबर हों तो वे …….. होते हैं।
7. चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग ……….. होता है।
8. दो वृत्त सदैव ……… होते हैं। (2019)
उत्तर:
1. व्यास,
2. बराबर,
3. समकोण,
4. जीवा,
5. समद्विभाजित,
6. बराबर (सर्वांगसम),
7. 180°,
8. समरूप।

जोड़ी मिलान

उत्तर:
1. → (c),
2. → (f),
3. → (e),
4. → (a),
5. → (b),
6. → (d).

सत्य/असत्य कथन
1. दीर्घ वृत्तखण्ड में अन्तरित कोण न्यूनकोण होता है।
2. वृत्त की समान जीवाएँ केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती हैं।
3. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा त्रिज्या कहलाती है।
4. अर्द्धवृत्त में अन्तरित कोण समकोण होता है।
5. यदि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ समान हों, तो वे वृत्त सर्वांगसम होते हैं।
6. तीन असरेख बिन्दुओं से होकर एक वृत्त खींचा जा सकता है।
उत्तर:
1. सत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. सत्य,
6. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर
1. अर्द्धवृत्त में अन्तरित कोण कैसा होता है ?
2. दीर्घ वृत्तखण्ड में अन्तरित कोण कैसा होता है ?
3. लघु वृत्तखण्ड में अन्तरित कोण कैसा होता है ?
4. चक्रीय समान्तर चतुर्भुज क्या कहलाता है?
5. चक्रीय समचतुर्भुज क्या कहलाता है ?
6. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा क्या कहलाती है? (2019)
उत्तर:
1. समकोण,
2. न्यूनकोण,
3. अधिक कोण,
4. आयत,
5. वर्ग,
6. व्यास।

TENSE