PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

March 2, 2023

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद a_n है :

हल :
(i) a = 7, d = 3, n = 8
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a₈ = 7 + (8 – 1) 3
= 7 + 21 = 28

(ii) a = – 18, n = 10, a_n = 0
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a₁₀ = – 18 + (10-1)d
या 0 = – 18 + 9d
या 9d = 18
या d = 18/9 = 2

(iii) d = – 3, n = 18, a_n = – 5
∵ a_n = a + (n – 1) d
∴ a₁₈ = a + (18 – 1) (- 3)
या – 5 = a – 51
या a = – 5 + 51 = 46

(iv) a = – 18.9, d = 2.5, a_n = 3.6
∵ a_n = a + (n – 1 )d
3.6 = – 18.9 + (n – 1) 2.5
या 3.6 + 18.9 = (n – 1) 2.5
या (n – 1) 2.5 = 22.5
या n – 1 = 22.5/2.5 = 9
या n = 9 + 1 = 10

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105
∵ a_n = a + (n – 1)d
∴ a_n = 3.5 + (10⁵ – 1)0
a_n = 3.5 + 0 = 3.5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) AP : 10, 7, 4,……,का 30वाँ पद है :
(A) 97
(B) 77
(C) – 77
(D) – 87
हल :
(i) दी गई A.P. है 10, 7, 4, ………
T₁ = 10, T₂ = 7, T₃ = 4
T₂ – T₁ = 7 – 10 = – 3
T₃ – T₂ = 4 – 7 = – 3
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = – 3 = d (माना)
∵ T_n = a + (n – 1) d
अब, T₃₀ = 10 + (30 -1) (- 3)
= 10 – 87 = – 77
∴ सही उत्तर (C) है

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :

d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं :
a – 5 = 13
a = 13 + 5 = 18
∴ T₁ = a = 18
T₃ = a + 2d = 18 + 2 (- 5)
= 18 – 10 = 8

(iv) यहाँ T₁ = a = – 4
T₆ = a + 5d = 6
या – 4 + 5d = 6
या 5d = 6 + 4
या 5d = 10
या d = 10/2 = 2
T₂ = a + d
= – 4+ 2 = – 2
T₃ = a + 2d
= – 4 + 2 (2)
= – 4 + 4 = 0
T₄ = a + 3d
= – 4 + 3 (2)
= – 4 + 6 = 2
T₅ = a + 4d
= – 4 + 4 (2)
= – 4 + 8 = 4

(v) यहां T₂ = a + d = 38 ……………(1)
और T₄ = a + 5d = – 22 …………….(2)
अब, (2) – (1) से प्राप्त होता है :

d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं :
a + (- 15) = 38
a = 38 + 15 = 53
∴ T₁ = a = 53
T₃ = a + 2d = 53 + 2 (- 15)
= 53 – 30 = 23
T₄ = a + 3d
= 53 + 3 ( -15)
= 53 – 45 = 8
T₅ = a +4d
= 53 +4 (-15)
= 53 – 60 = – 7

प्रश्न 4.
A.P. 3, 8, 13, 18,….. का कौन-सा पद 78 है।
हल :
दी गई A.P. है: 3, 8, 13, 18, …………….
T₁ = 3, T₂ = 8, T₃ = 13, T₄ = 18
T₂ – T₁ = 8 – 3 = 5
T₃ – T₂ = 13 – 8 = 5
T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 5 = d (माना)
सूत्र T_n = a + (n – 1)d का प्रयोग करने पर,
या 78 = 3 + (n – 1)5
या 5 (n – 1) = 78 – 3
या n – 1 = 75/5 = 15
या n = 15 + 1 = 16
अतः, दी गई A.P. का 16वाँ पद 78 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?

प्रश्न 6.
क्या A.P. 11, 8, 5, 2 …………. का एक पद-150 है ? क्यों ?
हल :
दिया गया अनुक्रम है :
11, 8, 5, 2 ……………..
T₁ = 11, T₂ = 8, T₃ = 5, T₄ = 2
T₂ – T₁ = 8 – 11 = – 3
T₃ – T₂ = 5 – 8 = – 3
T₄ – T₃ = 2 – 5 = – 3
∵ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ =-3 =d (माना).
मान लीजिए – 150 दी गई A.P. का एक पद है।
T_n = – 150
a+ (n – 1)d = – 150
या 11 + (n – 1) (- 3) = – 150
या (n – 1) (- 3) = – 150 – 11 = – 161
या n – 1 = 161/3

प्रश्न 7.
उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
हल :
मान लीजिए ‘a’ और ‘d’ दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर है।
दिया है कि
T₁₁ = 38
a + (11 – 1)d = 38
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
a + 10 d = 38
और T₁₆ = 73
a + (16 – 1)d = 73
[∵ T = a+ (n – 1)d]
a+ 15 d = 73 ………….(2)
अब, (2) – (1) से प्राप्त होता है :

d का मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता हैः |
a + 10 (7) = 38
या a + 70 = 38
या a = 38 – 70 = – 32
अब T₃₁ = a + (31 – 1) d = – 32 + 30 (7)
= – 32 + 210 = 178.

प्रश्न 8.
एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ‘a’ और ‘d; दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
दिया है कि, T₃ = 12
a+ (3 – 1)d = 12
∵ T_n = a + (n – 1)d
या a + 2d = 12
और अंतिम पद = T₅₀ = 106
a + (50 – 1) d = 106
∵ T_n = a + (n – 1)d
या a + 49d = 106 ……………(2)
अब (2) – (1) से प्राप्त होता है :

d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं :
a + 2(2) = 12
a + 4 = 12
a + 12 – 4 = 8
अब T₂₉ = a + (29 – 1)d
= 8 + 28 (2)
= 8 + 56 = 64

प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा ?
हल :
मान लीजिए ‘a’ और ‘d’ क्रमशः दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
दिया है कि :
T₃ = 4
a + (3 – 1) d = 4
∵ T_n = a + (n – 1) d
a + 2d = 4 …………(1)
और T₉ = – 8
a + (9 – 1) d = 8
∵ T_n = a + (n – 1) d
या a + 8d = – 8 ………….(2)
अब, (2) – (1) से प्राप्त होता है :

d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर
a + 2 (- 2) = 4
या a – 4 = 4
या a = 4 + 4 = 8
अब, T_n = 0 (दिया है)
a + (n – 1) d = 0
या 8 + (n – 1) (- 2) = 0
या – 2 (n – 1) = – 8
या n – 1 = 4
n = 4 + 1 = 5
अतः, A.P. का 5वाँ पद शून्य है।

प्रश्न 10.
किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10 वें पद से 7 | अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ‘a’ और ‘d’ क्रमशः दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
अब, T₁₇ = a (17 – 1)d
= a + 16d
और T₁₀ = a + (10 – 1)d
= a + 9d
प्रश्न के अनुसार,
T₁₇ – T₁₀ = 7
(a + 16d) – (a + 9d) = 7
या + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
d = 7/7 = 1
अतः, सार्व अंतर 1 है।

प्रश्न 11.
A.P.: 3, 15, 27, 39, …………. का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा ?
हल :
मान लीजिए ‘a’ और ‘d’ क्रमश: दी गई A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
दी गई A.P. है 3, 15, 27, 39, …………
T₁ = 3, T₂ = 15,
T₃ = 27, T₄ = 39
T₂ – T₁ = 15 – 3 = 12
T₃ – T₂ = 27 – 15 = 12
d = T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 12
अब, T₅₄ = a + (54 – 1) d
= 3 + 53 (12)
= 3 + 636 = 639
प्रश्न के अनुसार,
T_n = T₅₄ + 132
a + (n – 1) d = 639 + 132
3 + (n – 1) (12) = 771
(n – 1) 12 = 771 – 3 = 768
या n – 1 = 768/12 = 64
या n = 64 + 1 = 65
अतः, A.P. का 65वाँ पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा।

प्रश्न 12.
दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?
हल :
मान लीजिए ‘a’ और ‘d पहली A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
साथ ही, ‘A’ और ‘d’ दूसरी A.P. का प्रथम पद और सार्व अंतर है।
प्रश्न के अनुसार,
[दूसरी A.P. का T₁₀₀] – [पहली A.P. का T₁₀₀]
= 100
या [A + (100 -1)d] – [a + (100 -1)d] = 100
या A + 99 d – a – 99 d = 100
A – a = 100 ………..(1)
अब, [दूसरी A.P. का T₁₀₀₀] – [पहली A.P. का T1000]
= [A + (1000 – 1) d] – (a + (1000 – 1) d]
= A + 999d – a – 999 d
= A – a
= 100 [(1) का प्रयोग करने से]

प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य
या
हल :
7 से विभाज्य तीन अंकों वाली संख्याएँ : 105, 112, 119, …………, 994
यहाँ a = T₁ = 105, T₂ = 112,
T₃ = 119 और T₄ = 994
T₂ – T₁ = 112 – 105 = 7
T₃ – T₂ = 119 – 112 = 7
d = T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 7
दिया है कि T_n = 994
a + (n – 1) d = 994
या 105 + (n – 1) 7 = 994
या (n – 1)7 = 994 – 105
या (n – 1)7 = 889
या n – 1 = 889/7 = 123
n = 123 + 1 = 124.
अतः, तीन अंकों वाली 124 संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं ?
हल :
10 और 250 के बीच में 4 के गुणज हैं:
12, 16, 20, 24, ………… 248
यहाँ a = T₁ = 12, T₂ = 16, T₃ = 20
और T_n = 248
T₂ – T₁ = 16- 12 = 4
T₃ – T₂ = 20 – 16 = 4
d = T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 4
दिया है कि T_n = 248
a + (n – 1) d = 248
या 12 + (n – 1) 4 = 248
या 4(n – 1) = 248 – 12 = 236
या n – 1 = 236/4 = 59.
n = 59 + 1 = 60
अतः, 10 और 250 के बीच 4 के 60 गुणज हैं।

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63,65, 67…और 3, 10, 17…के nवें पद बराबर होंगे ?
हल :
दी गई A.P. है। 63, 65, 67, ………..
यहाँ a = T₁ = 63,
T₂ = 65,
T₃ = 67
T₂ – T₁ = 65 -63 = 2
T₃ – T₂ = 67 – 65 = 2
d = T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 2
और दूसरी A.P. है: 3, 10, 17, …………..
यहाँ, a = T₁ = 3, T₂ = 10, T₃ = 17
T₂ – T₁ = 10 – 3 = 7
T₃ – T₂ = 17 – 10 = 7
प्रश्न के अनुसार,
[पहली A.P का nवाँ पद] = [दसरी A.P. का nवाँ पद।।
63 + (n – 1) 2 = 3 + (n – 1)7
या 63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7
या 61 + 2n = 7n -4
या 2n – 7n = -4-61
या – 5n = – 65
या n = 65/5 = 13

प्रश्न 16.
वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल :
मान लीजिए ‘a’ और ‘d’ दी गई A.P. के प्रथम पद और सार्व अंतर हैं। दिया है कि
T₃ = 16
a + (3 – 1) d = 16
a + 2d = 16 ………….(1)
प्रश्न के अनुसार,
T₇ – T₅ = 12
[a + (7 – 1) d] – [a + (5 – 1) d] = 12
a + 6d – 4d = 12
2d = 12
d = 12/2 = 6.
d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं,
a + 2 (6) = 16
a = 16 – 12 = 4
अंतः दी गई A.P. हैं, 4, 10, 16, 22, 28, …………..

प्रश्न 17.
A.P.: 3, 8, 13, ………., 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
दी गई A.P. है 3, 8, 13, …………., 253
यहाँ, a = T₁ = 3, T₂ = 8, T₃ = 13 और T_n = 253
T₂ – T₁ = 8 – 3 = 5
T₃ – T₂ = 13 – 8 = 5
d = T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 5
अब T_n = 253
3 + (n – 1) 5 = 253
(n – 1) 5 = 250
n – 1 = 250/5 = 50
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
(n – 1) 5 = 250 .
n – 1 = 250/5= 50.
n = 50 + 1 = 51
AP के अंतिम पद से 20वाँ पद = (पदों की कुल संख्या) – 20 +1
= 51 – 20 + 1 = 32 वाँ पद
∴ AP के अंतिम पद से 20वाँ पद = आरम्भ से 32वाँ पद = 3 + (32 – 1) 5
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
= 3 + 31 × 5
= 3 + 155 = 158

प्रश्न 18.
किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 11वें पदों का योग 44 है। इस A.P.के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ‘a’ और ‘d’ दी गई A.P. के प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
प्रश्न की पहली शर्त अनुसार,
T₄ + T₈ = 24
a + (4 – 1) d + a + (8 – 1) d = 24
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
या 2a + 3d + 7d = 24
या 2a + 10d = 24
या a + 5d = 12 ………….(1)
प्रश्न की दूसरी शर्त अनुसार,
T₆ + T₁₀ = 44
a + (6 – 1) d + a + (10 – 1) d = 44
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
2a + 5d + 9d = 44
2a + 14d = 44
a + 7d = 22 ………….(2)
अब (2) – (1) से प्राप्त होता है :

d का यह मान (1), में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है।
a + 5 (5) = 12
a + 25 = 12
a = 12 – 25 = – 13
∴ T₁ = a = – 13
T₂ = a + d = – 13 + 5 = – 8
T₃ = a + 2d = – 13 + 2 (5)
= – 13 + 10 = – 3
अतः,दी गई A.P. है – 13, – 8, – 3, ………..

प्रश्न 19.
सुब्बा राव ने 1995 में ₹5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की।किस वर्ष में उसका वेतन₹ 7000 हो गया ? हल :
सुब्बा राव का आरंभिक वेतन = ₹ 5000
वार्षिक वृद्धि = ₹ 200
मान लीजिए ‘n’ वर्षों की संख्या को निरूपित करता है।
∴ प्रथम पद = a = ₹ 5000
सार्व अंतर = d=₹,200
T_n = ₹ 7000
5000 + (n – 1) 200 = ₹ 7000
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
(n – 1) 200 = 7000 – 5000
(n – 1) 200 = 2000
n – 1 = 2000/200 = 10
n = 10 + 1 = 11
अब, वर्ष की स्थिति में अनुक्रम है : 1995, 1996, 1997, 1998, …………
यहाँ a = 1995, d = 1 और n = 11
मान लीजिए T, अभीष्ट वर्षों को व्यक्त करता है
∴ T_n = 1995 + (11 – 1)1
= 1995 + 10 = 2005
अतः, 2005 में सुब्बा राव का वेतन ₹ 7000 हो जाएगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹1.75 बढ़ाती गई।यदिnवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तोn ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रथम सप्ताह में बचत = ₹5
प्रति सप्ताह बचत में वृद्धि = ₹ 1.75
यह स्पष्ट है कि यह एक A.P. है जिसके पद हैं :
T₁ = 5, d = 1.75
∴ T= 5 + 1.75 = 6.75
T₂ = 6.75 + 1.75 = 8.50
साथ ही, T_n = 20.75 (दिया है)
5 + (n – 1) 1.75 = 20.75
[∵ T_n = a + (n – 1) d]
या (n – 1) 1.75 = 20.75 – 5
या (n – 1) 1.75 = 15.75
या (n – 1) = 1575/100×100/175
या n = 9 + 1 = 10
अत:, 10वें सप्ताह में राम कली की बचत ₹ 20.75 हो जाती है।

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