PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ Exercise 1.1

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ Exercise 1.1

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 1 ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ Ex 1.1

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਮ. ਸ. ਵ. (HCF) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਯੂਕਲਿਡ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਥਮ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ :

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
135 ਅਤੇ 225
ਉੱਤਰ:
135 ਅਤੇ 225 ਦਾ H.C.F. ਪਤਾ ਕਰਨਾ ।
ਪਗ 1. ਕਿਉਂਕਿ 225 > 135, ਅਸੀਂ 225 ਅਤੇ 135 ਤੇ ਯੂਕਲਿਡ ਮੇਯ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ :
225 = 135 × 1 + 90

ਪਗ 2. ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਕੀ 90 ≠ 0, ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ 135 ਅਤੇ 90 ਉੱਤੇ ਯੂਕਲਿਡ ਮੇਯਕਾ ਦਾ ਪ੍ਰੋਯਗ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ।
135 = 90 × 1 + 45

ਪਗ 3. ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਕੀ 45 ≠ 0, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ 90 ਅਤੇ 45 ਉੱਤੇ ਯੂਕਲਿਡ ਯਕਾ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ।
90 = 45 × 2 + 0
ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਕੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਇੱਥੇ ਖ਼ਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ।
∵ ਪਗ 3 ਵਿਚ ਭਾਜਕ 45 ਹੈ ।
∴ 90 ਅਤੇ 45 ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. (H.C.F.) 45 ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ 135 ਅਤੇ 225 ਦਾ H.C.F. 45 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
196 ਅਤੇ 38220
ਉੱਤਰ:
196 ਅਤੇ 38220 ਦਾ H.C.F. ਪਤਾ ਕਰਨਾ ।
ਪਗ 1. ਕਿਉਂਕਿ 38220 > 196 ਹੈ, ਅਸੀਂ 196 ਅਤੇ 38220 ਉੱਤੇ ਯੂਕਲਿਡ ਪ੍ਰਮੇਯਕਾ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ :
38220 = 196 × 195 + 0
ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਕੀ 0 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ | ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਬੰਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ।
∵ ਇਸ ਪਗ ਵਿਚ ਭਾਜਕ 196 ਹੈ ।
∴ 38220 ਅਤੇ 196 ਦਾ H.C.F. 196 ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ 38220 ਅਤੇ 196 ਦਾ H.C.F. 196 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
867 ਅਤੇ 255.
ਉੱਤਰ:
867 ਅਤੇ 255 ਦਾ H.C.F. ਪਤਾ ਕਰਨਾ ।
ਪਗ 1. ਕਿਉਂਕਿ 867 > 255 ਹੈ, ਅਸੀਂ 867 ਅਤੇ 255, ਉੱਤੇ ਯੂਕਲਿਡ ਮੇਯਕਾ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ।
867 = 255 × 3 + 102

ਪਗ 2. ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਕੀ 102 ≠ 0 ਹੈ ਤਾਂ ਅਸੀਂ 255 ਅਤੇ | 102 ਉੱਤੇ ਯੂਕਲਿਡ ਮੇਯਕਾਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ :
255 = 102 × 2 + 51

ਪਗ 3. ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਕੀ 51 ≠ 0, ਤਾਂ ਅਸੀਂ 51 ਅਤੇ | 102, ਉੱਤੇ ਯੂਕਲਿਡ ਪ੍ਰਯਕਾ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ :
102 = 51 × 2 + 0
ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਕੀ ਦੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ ਇਸ ਲਈ | ਪ੍ਰਯੋਗ ਬੰਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ । |
∵ ਪਗ 3 ਦਾ ਭਾਜਕ 51 ਹੈ ।
∴ 102 ਅਤੇ 51 ਦਾ H.C.F. 51 ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ 867 ਅਤੇ 255 ਦਾ H.C.F.51 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 2.
ਦਿਖਾਉ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਟਾਂਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ 6q + 1 ਜਾਂ 6q + 3 ਜਾਂ 6q + 5 ਦੇ ਰੂਪ ਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਕੋਈ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
ਹੱਲ :
ਮੰਨ ਲਉ a ਇਕ ਧਨਾਤਮਕ ਟਾਂਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ । ਅਸੀਂ a ਅਤੇ b = 6 ਲਈ ਵੰਡ ਅਲਗੋਰਿਥਮ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ।
ਕਿਉਂਕਿ a ≤ r < 6 ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਬਾਕੀ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ਹੈ ।
ਭਾਵ a ਸੰਖਿਆ 6q ਜਾਂ 6q +1, ਜਾਂ 6q +2,
ਜਾਂ 6q + 3, ਜਾਂ 6q +4, ਜਾਂ 6q +5 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ q ਭਾਗਫਲ ਹੈ ॥
ਕਿਉਂਕਿ a ਇਕ ਟਾਂਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
∴ ਇਹ 6q, 6q +2, 6q + 4 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ।
∴ ਸਾਰੇ 2 ਵਿਭਾਜਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਟਾਂਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ 6q + 1 ਜਾਂ 6q + 3 ਜਾਂ 6q + 5 ਦੇ ਰੁਪ ਦੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 3.
ਕਿਸੇ ਪਰੇਡ ਵਿੱਚ 616 ਆਦਮੀਆਂ ਵਾਲੀ ਇਕ ਸੈਨਾ (ਆਰਮੀ ਦੀ ਟੁੱਕੜੀ ਨੇ 32 ਆਦਮੀਆਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸੈਨਾ ਬੈਂਡ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਮਾਰਚ ਕਰਨਾ ਹੈ । ਦੋਹਾਂ ਸਮੂਹਾਂ ਨੇ ਬਰਾਬਰ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੇ ਸਤੰਭਾਂ (Columns) ਵਿਚ ਮਾਰਚ ਕਰਨਾ ਹੈ । ਇਹਨਾਂ ਸਤੰਭਾਂ (Columns) ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ ਕਿੰਨੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿਚ ਇਹ ਮਾਰਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ ?
ਹੱਲ :
ਸੈਨਾ ਦੇ ਕੁੱਲ ਆਦਮੀ = 616 ਅਤੇ 32
(ਦੋਨਾਂ ਸਮੂਹਾਂ ਦਾ ਬੈਂਡ)
ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਨਾਂ ਸਮੂਹਾਂ ਨੇ ਬਰਾਬਰ ਸਤੰਭਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਟੁੱਕੜੀਆਂ ਵਿਚ ਮਾਰਚ ਕਰਨਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨੀ ਹੈ।
∴ ਟੁੱਕੜੀਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਿਣਤੀ
= 616 ਅਤੇ 32 ਦਾ H.C.F.
ਪਗ 1. ਕਿਉਂਕਿ 616 > 32, ਅਸੀਂ 616 ਅਤੇ 32 ਦੇ ਲਈ ਯੂਕਲਿਡ ਮੇਯਕਾ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
616 = 32 × 19 + 8

ਪਗ 2. ਕਿਉਂਕਿ ਬਾਕੀ 8 ≠ 0, ਅਸੀਂ 32 ਅਤੇ 8 ਨੂੰ ਲੈ ਕੇ ਯੂਕਲਿਡ ਮੇਯਕਾ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
32 = 8 × 4 + 0
ਕਿਉਂਕਿ ਹੁਣ ਬਾਕੀ ਸਿਫਰ ਆ ਗਿਆ ਹੈ ।
∵ ਇਸ ਪਗ ਦਾ ਭਾਜਕ 8 ਹੈ ।
∴ 616 ਅਤੇ 32 ਦਾ H.C.F. 8 ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ ਜਿਸ ਵਿਚ ਮਾਰਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ 8 ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 4.
ਯੂਕਲਿਡ ਵੰਡ ਪ੍ਰਮੇਯਕਾ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਦਿਖਾਉ ਕਿ ਕਿਸੇ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗ, ਕਿਸੇ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਲਈ 3m ਜਾਂ 3m + 1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
[ਸੰਕੇਤ : ਮੰਨ ਲਉ x ਕੋਈ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ | ਹੈ । ਹੁਣ ਇਹ 3q, 3q + 1 ਜਾਂ 3q + 2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਲਿਖੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ । ਇਹਨਾਂ ਵਿਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦਿਖਾਉ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ 3m ਜਾਂ 3m +1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ |]
ਹੱਲ :
ਮੰਨ ਲਉ x ਕੋਈ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਤੱਦ ਇਹ 3q, 3q + 1, 3q + 2 ਦੇ ਰੂਪ ਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ :
ਜੇਕਰ x = 3q
ਦੋਵਾਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ
(x)² = (3q)²
= 9q² = 3(3q²) = 3m
ਜਿੱਥੇ ਅ = 3q²
ਜਿੱਥੇ m ਵੀ ਇਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ x² = 3m …. (1)
ਜੇਕਰ x = 3q + 1
ਦੋਵਾਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ
x² = (3q + 1)²
x² = 9q² + 1 + 2 × 3q × 1
x² = 3 (3q² + 2q) + 1
x² = 3m + 1 …. (2)
ਜਿੱਥੇ m = 3q² + 2 ਅਤੇ ਅ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ । (1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ
x² = 3m, 3m + 1
ਇਸ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗ | ਕਿਸੇ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਲਈ 3m ਜਾਂ 3m + 1 ਦੇ ਰੂਪ | ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।

ਪ੍ਰਸ਼ਨ 5.
ਯੂਕਲਿਡ ਵੰਡ ਪ੍ਰਮੇਯਕਾ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ ਦਿਖਾਉ | ਕਿ ਕਿਸੇ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਘਣ 9m, 9m + 1 ਜਾਂ 9m + 8 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ।
ਹੱਲ :
ਮੰਨ ਲਉ x ਕੋਈ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ b = 3 ਹੈ ।
x = 3q + r
ਜਿੱਥੇ q ਭਾਗਫਲ ਹੈ ਅਤੇ r ਬਾਕੀ ਹੈ
0 ≤ r < 3
ਜੇਕਰ r = 0 ਤਾਂ x = 3q
ਜੇਕਰ r = 1 ਤਾਂ x = 3q + 1
ਜੇਕਰ r = 2 ਤਾਂ x = 3q + 2
x, 3q ਜਾਂ 3q + 1 ਜਾਂ 3q + 2 ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ ।
ਜੇਕਰ x = 3q
ਦੋਵਾਂ ਪਾਸੇ ਘਣ ਕਰਨ ‘ਤੇ
x³ = (3q)³
x³ = 27q³ = 9 (3q³) = 9q
ਜਿੱਥੇ m = 3q³ ਅਤੇ m ਇਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
x³ = 9m …… (1)
ਜੇਕਰ x = 3q + 1 ਦੋਵਾਂ ਪਾਸੇ ਘਣ ਕਰਨ ‘ਤੇ
x³ = (3q + 1)³
x³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1
= 9 (3q³ + 3q² + q) + 1
= 9m + 1
ਜਿੱਥੇ m = 3q³ + 3q² + q ਅਤੇ ਇਹ ਇਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ।
ਦੁਬਾਰਾ x³ = 9m + 1 …. (2)
ਜੇਕਰ = 3q + 2
ਦੋਨੋਂ ਪਾਸੇ ਘਣ ਕਰਨ ‘ਤੇ
(x)³ = (3q + 2)³
= 27q³ + 54q² + 36q + 8
x³ = 9 (3q³ + 6q² + 4q) + 8
x³ = 9m + 8
ਜਿੱਥੇ m = 3q³ + 6q² + 4q
ਦੁਬਾਰਾ x³ = 9m + 8
(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ ਪਤਾ ਲਗਦਾ ਹੈ ਕਿ
x³, 9m, 9m +1, 9m + 8 ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ ।
ਇਸ ਲਈ 3 ਇਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੁਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ । 9m ਜਾਂ 9m + 1 ਜਾਂ 9m + 8 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ ।