PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की अत: सत्यता की जाँच कीजिए :
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल :
(i) दी गई द्विघात बहुपद है x² – 2x – 8
S = – 2, P = – 8
= x² – 4x – 2x – 8
= x (x – 4) + 2 (x – 4)
= (x – 4) (x + 2)
x² – 2x – 8 का मान शून्य है
यदि (x – 4) = 0 या (x + 2) = 0
यदि x = 4 या x = – 2 इससे प्राप्त होता है
x² – 2x – 8 के शून्यक – 2 और 4 हैं। उत्तर
अब, शून्यकों का योग = (- 2) + (4) = 2

अतः शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध का सत्यापन किया जाता है।

(iv) दी गई द्विघात बहुपद हैं :
4u² + 8u = 4u (u + 2)
4u² + 8u का मान शून्य है
यदि 4u = 0 या u + 2 = 0
यदि u = 0 या u = – 2
अतः, 4u² + 8u के शून्यक 0 और – 2 हैं। उत्तर
अब, शून्यकों का योग = 0 + (- 2)

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध का सत्यापन किया जाता है।

(v) दी गई द्विघात बहुपद हैं,
t² – 15
= t² – (√15)²
= (t – √15) (t + √15)
t² – 15 का मान शून्य है।
यदि t – √15 = 0 या t + √15 = 0
यदि t = √15 या t = – √15
अत: t² – 15 के शून्यक – √15 और √15 है। उत्तर
अब, शून्यकों का योग = – √15 + (√15)
= 0
= 0/1

= 

शून्यकों का गुणनफल = – (√15) (√15)
= – 15
= −15/1

= 

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध को सत्यापित किया जाता है।

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं :
(i) 1/4, – 1
(ii) √2, 1/3
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) – 1/4, 1/4
(vi) 4, 1
(iii) 0,15
हल :
(i) दिया गया है कि शून्यकों का योग तथा का गुणांक शून्यकों का गुणनफल क्रमशः 1/4 और – 1 है।
मान लीजिए कि ax² + bx + c एक द्विघात समीकरण है तथा α और β इसके शून्यक हैं।
∴ α + β = शून्यकों का योग = 1/4
और αβ = शून्यकों का गुणनफल = – 1
अब, ax² + bx + c = k (x – α) (x – β)
जहाँ k कोई अचर है।
= k [x² – (α + β)x + αβ]
= k [x² – 1/4 x – 1]
k के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न द्विघात बहुपद प्राप्त करते हैं।

(ii) दिया गया है कि शून्यकों का योग तथा शून्यकों का का गुणनफल क्रमशः √2 और 1/3 है।
मान लीजिए कि ax² + bx + c एक द्विघात समीकरण तथा α और β इसके शून्यक हैं।
शून्यकों का गुणनफल = (-1) (4) है
∴ α + β = शून्यकों का योग = √2
और αβ = शून्यकों का गुणनफल = 1/3
अब ax² + bx + c = k (x – α) (x – β)
जहाँ k कोई अचर है।
= k [x² – (α + β)x + αβ]
= k [x² – √2 x + 1/3]
k के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न द्विघात बहुपद प्राप्त करते हैं।

(iii) दिया गया है कि शून्यकों का योग तथा शून्यकों का गुणनफल क्रमश: 0 और √5 है।
मान लीजिए कि ar- + bx + c एक द्विघात समीकरण है तथा α और β इसके शून्यक हैं।
∴ α + β = शून्यकों का योग = 0
और αβ = शून्यकों का गुणनफल = √5
अब, ax² + bx + c = k (x – α) (x – β)
जहाँ k कोई अचर है।
= k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 0x + √5]
= k [x² + √5]
k के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न द्विघात बहुपद प्राप्त करते हैं।

(iv) दिया गया है कि शून्यकों का योग तथा शून्यकों का गुणनफल क्रमश: 1 और 1 है।
मान लीजिए कि ax² + bx + c एक द्विघात समीकरण है तथा α और β इसके शून्यक हैं।
∴ α + β = शून्यकों का योग = 1
और αβ = शून्यकों का गुणनफल = 1
अब, ax² + bx + c = k (x – α) (x – β)
जहाँ k कोई अचर है।
= k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 1x + 1]
= k [x² – x + 1]
k के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न द्विघात बहुपद प्राप्त करते हैं।

(vi) दिया गया है कि दी गई बहुपद के शून्यकों का योग और शून्यकों का गुणनफल क्रमशः 4, 1 है।
मान लीजिए कि ax² + bx + c एक द्विघात बहुपद है k तथा α और β इसके शून्यक हैं।
∴ α + β = शून्यकों का योग = 4
और αβ = शून्यकों का गुणनफल = 1
अब, ax² + bx + c = k (x – α) (x – β)
जहाँ k कोई अचर है।
= k [x² – (α + β) x + αβ]
= k [x² – 4x + 1]
k के भिन्न-भिन्न मानों के लिए, हम भिन्न-भिन्न द्विघात बहुपद प्राप्त करते हैं।