PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3
PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3
प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
(i) x + y = 14
x – y = 4
(iii) दी गई रैखिक समीकरण युग्म है
3x – y = 3 ……………(1) और
9x – 3y = 9 ……………..(2)
(1) से,
3x – 3 = y
या y =3x – 3 ………….(3)
y का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
9x – 3 (3x – 3) = 9
या 9x – 9x + 9 = 9
या 9 = 9
यह कथन x के सभी मानों के लिए सत्य है।
फिर भी हम x का कोई विशेष मान हल के रूप में प्राप्त नहीं करते।
इसलिए हम y का भी कोई मान प्राप्त हीं कर सकते। यह स्थिति इसलिए पैदा हुई क्योंकि दी ई दोनों समीकरणें एक ही हैं।
अतः, समीकरण (1) और (2) के असीमित रूप से अनेक हल हैं।
प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 और 2x – 4y = – 24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल :
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
2x + 3y = 11 …………..(1)
और 2x – 4y = – 24 ……………(2)
(2) से,
2x = 4y – 24
या 2x = 2 [2y – 12]
या x = 27 – 12 ……………(3)
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
2 (2y – 12) + 3Y = 11
या 4y – 24 + 3y = 11
या 7y = 11 + 24
या 7y = 35
या y = 35/7 = 5
y का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
x = 2 (5) – 12
= 10 – 12 = 2
अब y = mx + 3 लीजिए।
x = – 2, y = 5 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:
5 = m (- 2) + 3
या 5 – 3 = – 2m
या 2 = – 2m
या – 2m = 2
m = – 1
अतः x = – 2, y = 5 और m = – 1.
प्रश्न 3.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो संपूरक कोणों में बडा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km की दूरी के लिए भाड़ा ₹ 105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹ 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है ? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा ?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है ?
हल:
(i) मान लीजिए दो संख्याएँ x और y है,
पहली शर्त अनुसार,
x – y = 26 ………..(1)
दूसरी शर्त अनुसार,
x = 3y ………….(2)
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
3y – y = 26
या 2y = 26
या y = 26/2wad = 13
y का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
x = 3 × 13 = 39
अतः दो संख्याएँ 39, 13 हैं।
(ii) मान लीजिए दो संपूरक कोण x, y हैं और x > y
पहली शर्त अनुसार,
x + y = 180 …………(1)
दूसरी शर्त अनुसार,
x = y + 18 ………….(2)
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
y + 18 + y = 180
या 2y = 180 – 18
या 2y = 162
या y = 162/2 = 81
y का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
x = 81 + 18 = 99
अतः अभीष्ट कोण 99, 81 हैं।
(iv) मान लीजिए टैक्सी का निश्चित किराया = ₹ x
और एक km यात्रा का किराया = ₹ y
पहली शर्त अनुसार,
x + 10y = 105 ………..(1)
दूसरी शर्त अनुसार,
x + 15y = 155 …………(2)
(1) से,
x = 105 – 10y …………(3)
x का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
105 – 10y + 15y = 155
या 5y = 155 – 105
या 5y = 50
या y = 50/5 = 10
y का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
x = 105 – 10 × 10
= 105 – 100 = 5
अतः, टैक्सी की निश्चित किराया = 5 रु
और 1 कि.मी. यात्रा का किराया = 10 रु
साथ ही 25 कि.मी. यात्रा का किराया = (10 × 25) रु + 5 रु
= [250 + 5] रु
= [250 + 5] रु
= 255 रु
(vi) मान लीजिए जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष
और जैकब के बेटे की वर्तमान आयु = y वर्ष
पाँच वर्ष पश्चात्
जैकब की आयु = (x + 5) वर्ष
उसके पुत्र की आयु = (v + 5) वर्ष
पहली शर्त अनुसार,
x + 5 = 3 (y + 5)
या x + 5 = 3y + 15
या x = 3y + 15 – 5
या x = 3y + 10 ……………..(1)
पाँच वर्ष पहले
जैकब की आयु = (x – 5) वर्ष
उसके पुत्र की आयु = (y – 5) वर्ष
दूसरी शर्त अनुसार,
x – 5 = 7 (y – 5)
या x – 5 = 7y – 35
या x – 7y = – 35 + 5
या x – 7y = – 30
x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
3y + 10 – 7y = – 30
या – 4y = – 30 – 10
या – 4y = – 40
या y = 10
y का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
x = 3 (10) + 10
= 30 + 10 = 40
अतः, जैकब और उसके पुत्र की आयु क्रमश: 40 वर्ष और 10 वर्ष है।
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