PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4
PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4
प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन सी विधि | अधिक उपयुक्त है ?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(ii) 3x – 5y-4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) x/2 + 2y/3 = – 1 और x – y/3 = 3
हल :
(i) दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म है :
x + y = 5 ……………..(1)
और 2x – 3y = 4 …………….(2)
विलोपन विधि (1) को 2, से गुणा करने पर हम प्राप्त करते हैं।
2x + 2y = 10 ………….(3)
अब, (3) – (2) से प्राप्त होता है
(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
3x + 4y = 10 …………(1)
और 2x – 2y = 2 ………….(2)
विलोपन विधि समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है :
4x – 4y = 4 …………..(3)
अब, (3) + (1) देता है :
4x – 4y = 4
3x + 4y = 10
7x = 14
या x = 14/7 = 2
x का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
3 (2) + 4y = 10
या 6 + 4y = 10
या 4y = 10 -6
या 4y = 4
या y = 4/4 = 1
अतः, x = 2 और y = 1
प्रतिस्थापन विधि:
(2) से,
2x = 2 + 2y
या x = y + 1
x का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
3 (y + 1) + 4y = 10
या 3y + 3 + 4y = 10
या 7y = 10 – 3
या 7y = 7
या y = 1
y का यह मान (3) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
x = 1 + 1 = 2
अतः, x = 2 और y = 1.
(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म हैं :
3x – 5y – 4 = 0 …………(1)
और 9x = 2y + 7
या 9x – 2y – 7 = 0 ……………(2)
विलोपन विधि:
(1) को 3 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है
9x – 15y – 12 = 0 …………..(3)
अब, (3) – (2) से प्राप्त होता है
y का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
3x + 4 (- 3) = – 6
या 3x – 12 = – 6
या 3x = – 6 + 12
या 3x = 6
या x = 6/3 = 2
अतः, x = 2, y = – 3.
प्रतिस्थापन विधि:
(2) से,
y = 3x – 9 …………(4)
y का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
3x + 4 (3x – 9) = – 6
या 3x + 12x – 36 = – 6
या 15x = – 6 + 36
या 15x = 30
या x = 30/15 = 2
x का यह मान (4) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
y = 3 (2) – 9
= 6 – 9 = – 3
अतः x = 2. y = – 3.
प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 1/2 हो जाती है। वह भिन्न क्या है ?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व, नूरी की आयु, सोनू की आयु की तीन गुनी थी दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है ?
(iii) दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंको को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ 50 और ₹ 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए ?
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के₹ 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल :
या x = 3
x का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
2 × 3 – 1 – 1 = 0
या 6 – y – 1 = 0
या 5 – y = 0 या
अतः, अभीष्ट भिन्न 3/5 है।
(ii) मान लीजिए नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष
सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
पाँच वर्ष पहले
नूरी की आयु = (x – 5) वर्ष
सोनू की आयु = (y – 5) वर्ष
पहली शर्त अनुसार,
x – 5 = 3 (y – 5)
या x – 5 = 3y – 15
या x – 3y + 10 = 0 …………(1)
दस वर्ष बाद
नूरी की आयु = (x + 10) वर्ष
सोनू की आयु = (y + 10) वर्ष
दूसरी शर्त के अनुसार,
x + 10 = 2 (y + 10)
या x + 10 = 21 + 20
या x – 2y – 10 = 0 ………….(2)
अब, (1) – (2) से प्राप्त होता है
या – y = – 20
या y = 20
y का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
x – 2 (20) – (0 = 0
या x – 40 – 10 = 0
या x = 50
अतः, नूरी की वर्तमान आयु = 50 वर्ष
सोनू की वर्तमान आयु = 20 वर्ष|
(iii) मान लीजिए इकाई का अंक =x
दहाई का अंक =y
∴ अभीष्ट संख्या = 10y + x
पहली शर्त के अनुसार,
x + y = 9
उल्टाने पर
इकाई का अंक =y
दहाई का अंक =x
∴ संख्या = 10x + y
दूसरी शर्त अनुसार,
9 [10y + x] = 2[10x + y]
या 90y + 9x = 20x + 2y
या 90y + 9x – 20x – 2y = 0
या – 11x + 88y = 0
या x – 8y = 0
अब, (2) – (1) से प्राप्त होता है
y = 1
y का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
x – 8 × 1 = 0
या x = 8
अतः, अभीष्ट संख्या = 10y + x
= 10 × 1 + 8 = 18.
(iv) मान लीजिए मीना को मिले ₹ 50 के नोटों की संख्या = x
साथ ही, मीना को प्राप्त ₹ 100 के नोटों की संख्या = y
पहली शर्त के अनुसार,
x + y = 25 …………..(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
50x + 100y = 2000
या x + 2 = 40 ………….(2)
अब, (2)- (1) से प्राप्त होता है
y = 15
y का यह मान (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
x + 15 = 25
या x = 25 – 15 = 10
अतः, मीना को मिले ₹ 50 और ₹100 के नोटों की संख्या क्रमश: 10 और 15 है।
(v) मान लीजिए पहले तीन दिन के लिए निश्चित किराया = ₹ x
उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए अतिरिक्त किराया = ₹ y
सरिता की स्थिति में x + 4y = 27 ………….(1)
सूसी की स्थिति में, x + 2y = 21 ………..(2)
अब, (1) – (2) से प्राप्त होता है
या y = 6/2 = 3
y का यह मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
x + 2 (3) = 21
या x + 6 = 21
या x = 21 – 6 = 15
अतः, पहले तीन दिन के लिए नियत किराया और उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए अतिरिक्त किराया ₹ 15 और ₹ 3 है।
The Complete Educational Website