PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण
हैं :
(i) (x + 1)² = 2 (x – 3)
(ii) x² – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2r – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)² = 2x (x² – 1)
(viii) x3 – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
हल :
(i) दिया है कि
(x + 1)² = 2 (x – 3)
या x² + 1 + 2x = 2x – 6
या x² + 1 + 2x – 2x + 6 = 0
या x² + 7 = 0
या x² + 0x + 7 = 0
जोकि ax² + bx + c = 0;
(a ≠ 0) के प्रकार का समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।

(ii) दिया है कि
(x + 1)² = (- 2) (x – 3)
या x² – 2x = – 6 + 2x
या x² – 2x + 6 – 2x = 0
या x² – 4x + 6 = 0
जोकि ax² + bx + c = 0; (a ≠ 0) के प्रकार का है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।

(iii) दिया है कि
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
या x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3
या x² – x – 2 = x² + 2x – 3
या x² – x – 2 – x² – 2x + 3 = 0
या – 3x + 1 = 0,
जिसमें x² का कोई पद नहीं है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) दिया है कि
(x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
या 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
या 2x² – 5x – 3 – x² – 5x = 0
या x² – 10x – 3 = 0
जोकि ax² + bx + c = 0; (a ≠ 0) के प्रकार का है
∴ यह एक द्विघात समीकरण है। उत्तर

(v) दिया है कि
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
या 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
या 2x² – 7x + 3 = x + 4x – 5
या 2x² – 7x + 3 – x² – 4x + 5 = 0
या x² – 11x + 8 = 0
जोकि ax² + bx + c = 0; a ≠ 0 के प्रकार का है
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।

(vi) दिया है कि x² + 3x + 1 = (x – 2)²
या x² + 3x + 1 = x² + 4 – 4x
या x² + 3x + 1 – x² – 4 + 4x = 0
या 7x – 3 = 0
जिसमें x² का पद नहीं है
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) दिया है कि (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
या x³ + (2)³ + 3 (x)²2 + 3 (x) (2)² = 2x³ – 2x
या x³ + 8 + 6x² + 12x = 2x³ – 2x
या x³ + 8 + 6x² + 12x – 2x³ + 2x = 0
या – x³ + 6x² + 14x – 8 = 0
यहाँ x की उच्चतम घात 3 है।
यह एक त्रिघात समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) दिया है कि
x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
या x³ – 4x² – x + 1 = x³ – (2)³ + 3 (x)² (-2) + 3 (x) (- 2)
या x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 8 – 6x² + 12x
या x³ – 4x² – x + 1 – x³ + 8 + 6x² – 12x = 0
या 2x² – 13x + 9 = 0
जोकि ax² + bx + c = 0; (a ≠ 0) के प्रकार का समीकरण है।
∴ यह एक द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए:
(i) एक आयताकर भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई • ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल :
(i) मान लीजिए आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m
आयताकार भूखंड की चौड़ाई = (2x + 1) m
∴ आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = [x (2x + 1)] m²
= (2x² + x) m²
प्रश्न अनुसार,
2x² + x = 528
या 2x² + x – 528 = 0
S = 1, P = – 528 × 2 = – 1056
या 2x² – 32x + 33x – 528 = 0
या 2x (x – 16) + 33 (x – 16) = 0
या (x – 16) (2x + 33) = 0
अर्थात् x – 16 = 0 या 2x + 33 = 0
x = 16 या x = – 33/2
∴ किसी आयताकार की चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए हम x = – 33/2 को छोड़ देते हैं
∴ x = 16
अत: आयताकार भूखंड की चौड़ाई = 16 m .
आयताकार भूखंड की लंबाई = (2 × 16 + 1) m = 33 m
और दी गई समस्या द्विघात समीकरण के रूप में हैं
2x² + x – 528 = 0

(ii) मान लीजिए x और x + 1 दो क्रमागत घनात्मक पूर्णांक हैं। पूर्णांकों का गुणनफल = x (x + 1)
= x² + x
प्रश्न अनुसार,
x² + x= 306
या x² + x – 306 = 0
S = 1, P = – 306
या x² + 18x – 17x – 306 = 0
या x (x + 18) – 17 (x + 18) = 0
या (x + 18) (x – 17) = 0
अर्थात् x + 18 = 0 या x – 17 = 0
x = – 18 या x = 17
∴ हमने घनात्मक पूर्णांकों का अध्ययन करना है, इसलिए हम x = — 18 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 17
अतः, दो क्रमागत घनात्मक पूर्णांक हैं :
17, 17 + 1 = 18 और दी गई समस्या द्विघात समीकरण के रूप में है : x² + x – 306 = 0

(iii) मान लीजिए रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष रोहन की माँ की आयु = (x + 26) वर्ष
3 वर्ष पश्चात्,
रोहन की आयु = (x + 3) वर्ष
रोहन की माँ की आयु = (x + 26 + 3) वर्ष = (x + 29) वर्ष
∴ उनका गुणनफल = (x + 3) (x + 29)
= x² + 29x + 3x + 87
= x² + 32x + 87
प्रश्न अनुसार,
x² + 32x + 87 = 360
या x² + 32x + 87 – 360 = 0
या x² + 32x – 273 = 0
या x² + 39x – 7x – 273 = 0
S = 32, P = – 273
या x (x + 39) – 7 (x + 39) = 0
या (x + 39) (x – 7) = 0
अर्थात् x + 39 = 0 या x – 7 = 0
x = – 39 या x = 7
∵ किसी व्यक्ति की आयु ऋणात्मक नहीं होती है इसलिए हम x = – 39 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 7 अत: रोहन की वर्तमान आयु = 7 वर्ष
और दी गई समस्या द्विघात समीकरण के रूप में हैं : x² + 32x – 273 = 0

(iv) मान लीजिए रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = x घंटे
रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = 480 km
रेलगाड़ी की चाल = तय की गई दूरी / लिया गया समय
= 480 / x km/hr
प्रश्न अनुसार,
अब रेलगाड़ी की चाल = (480 / x – 8) km/hr
रेलगाड़ी द्वारा लिया गया नया समय = (x + 3) घंटे
दूरी = 480 km
सूत्रक का उपयोग करने पर,
चाल = तय की गई दूरी / लिया गया समय

या – 8x² + 456x + 1440 – 480x = 0
या – 8x² – 24x + 1440 = 0
या – 8 [x² + 3x – 180] = 0
या x² + 3x – 180 = 0
या x² + 15x – 12x – 180 = 0
या x (x + 15) – 12 (x + 15) = 0
या (x + 15) (x – 12) = 0
अर्थात् x + 15 = 0 या x – 12 = 0
x = – 15 या x = 12
∴ समय ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए हम x = – 15 को छोड़ देते हैं।
∴ x = 12
अब, गाड़ी द्वारा लिया गया समय = 12 घंटे
रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = 480 km
रेलगाड़ी की चाल = (480/12) km/hr = 40 km/hr
अतः रेलगाड़ी की चाल 40 km/hr है और दी गई समस्या का द्विघात समीकरण रूप है :
x² + 3x – 180 = 0