PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4√3x + 4= 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
हल :
(i) दी गई द्विघात समीकरण है
2x- – 3x + 5 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = – 3, c = 5
D = b² – 4ac
= (- 3)² – 4 × 2 × 5
= 9 – 40
= – 31 < 0
अत: दी गई द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(ii) दी गई द्विघात समीकरण है : 3x² – 4√3x + 4 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 3, b = – 4√3 , c = 4
D = b² – 4ac
= (- 4√3x) – 4 × 3 × 4
= 48 – 48 = 0
अतः दी गई समीकरण के वास्तविक और बराबर मूल हैं।

(iii) दी गई द्विघात समीकरण हैं
2x² – 6x + 3 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = – 6, c = 3
D = b² – 4ac
= (- 6)² – 4 × 2 × 3
= 36 – 24
= 12 > 0
∴ दी गई द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल हैं।
अब,

प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसको दो बराबर मूल हों।
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx (x – 2) + 6 = 0
हल :
(i) दी गई द्विघात समीकरण है :
2x² + kx + 3 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 2, b = k, c = 3
∵ दी गई द्विघात समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ D = 0
b² – 4ac = 0
या (k)² – 4 × 2 × 3 = 0
k² – 24 = 0
k² = 24
k = ± √24
k = ± 2√6

(ii) दी गई द्विघात समीकरण हैं
kx (x – 2) + 6 = 0
या x² – 2kx + 6 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = k, b = – 2k, c = 6
∴ दी गई द्विघात समीकरण के मूल बराबर हैं।
D = 0
b² – 4ac = 0
या (- 2k)² – 4 × k × 6 = 0
या 4k² – 24k = 0
4k [k – 6] = 0 अर्थात् 4k = 0
k – 6 = 0 या k = 0
या k = 6 या k = 0, 6.

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m हो ? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए आयताकार बगिया की लम्बाई = x m
और आयताकार की चौडाई = 2x m
आयताकार बगिया का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौडाई
= [x × 2x] m²
= 2x² m²
प्रश्न के अनुसार,
2x² = 800
x² = 800 = 400
x = ± √ 400
x = ± 20
∵ आयताकार की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती इसलिए हम x = – 20 को छोड़ देते हैं
∴ x = 20
∴ आयताकार बगिया की चौड़ाई = 20 m और आयताकार बगिया की लंबाई
= (2 × 20) m
= 40 m

प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल :
मान लीजिए पहले मित्र की आयु = x वर्ष
और दूसरे मित्र की आयु = (20 – x) वर्ष
चार वर्ष पूर्व, पहले मित्र की आयु = (x – 4) वर्ष
और दूसरे मित्र की आयु = (20 – x – 4) वर्ष
= (16 – x) वर्ष
∴ उनका गुणनफल = (x – 4) (16-x)
= 16x – x² – 64 + 4x
= – x² + 20x – 64 प्रश्न के अनुसार,
= – x² + 20x – 64 = 48
या – x² + 20x – 64 – 48 = 0
या – x² + 20x – 112 = 0
या x² – 20x + 112 = 0 …….(1)
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
∴ a = 1, b = – 20, c = 112
D = b² – 4ac
= (- 20)² – 4 × 1 × 112
= 400 – 448
= – 48 < 0
∴ मूल वास्तविक नहीं हैं।
इसलिए, x का कोई मान द्विघात समीकरण (1) को संतुष्ट नहीं कर सकता।
अतः दी गई स्थिति संभव नहीं हैं।

प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m2 के एक पार्क को बनाना संभव है ? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए आयताकार पार्क की लंबाई = x m
आयताकार पार्क की चौड़ाई = y m
∴ आयताकार पार्क का परिमाप = 2 (x + y) m
और आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = xy m²
पहली शर्त के अनुसार,
2 (x + y) = 80
x + y = 80/2 = 40
y = 40 – x …………..(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
xy = 400
x (40 -x) = 400
[(1) का प्रयोग करने पर] |
या 40x – x² = 400
या 40x – x² – 400 = 0
या x² – 40x + 400 = 0
इसकी तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = – 40, c = 400
D = b² – 4ac
= (- 40)² – 4 × 1 × 400
= 1600 – 1600 = 0

x = 20, तो (1) से
y = 40 – 20 = 20
∴ आयताकार पार्क की लंबाई और चौड़ाई का माप 20 m के बराबर है।
अंत: दी गई आयताकार पार्क का अस्तित्व संभव है और यह एक वर्ग है।