PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Exercise 4.1
PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Exercise 4.1
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 4 ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ Ex 4.1
1. ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੇ ਘਾਤੀ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ :
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
(x + 1)2 = 2 (x – 3)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(x + 1)2 = 2 (x – 3)
ਜਾਂ x2 + 1 + 2x = 2x – 6
ਜਾਂ x2 + 1 + 2x – 2x + 6 = 0
ਜਾਂ x2 + 7 = 0
x2 + 0x + 7 = 0
ਜੋ ਕਿ x2 + bx + 0 = 0; (a ≠ 0) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
x2 – 2x = (-2) (3 – x)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
x2 – 2x = (-2) (3 – x)
x2 – 2x = – 6 + 2x
ਜਾਂ x2 – 2x + 6 – 2x = 0
ਜਾਂ x2 – 4x + 6 = 0
ਜੋ ਕਿ ax2 + bx + 0 = 0; a ≠ 0 ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ |
∴ ਇਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
ਜਾਂ x2 + x – 2x – 2 = x2 + 3x – x – 3
ਜਾਂ x2 – x – 2 = x2 + 2x – 3
ਜਾਂ x2 – x – 2 – x2 – 2x + 3 =0
– 3x + 1 = 0,
ਜਿਸ ਵਿਚ x2 ਦਾ ਕੋਈ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨਹੀਂ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
(x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
ਜਾਂ 2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x
ਜਾਂ 2x2 – 5x – 3 – x2 – 5 = 0
ਜਾਂ x2 – 10x – 3 = 0
ਜੋ ਕਿ ax2 + bx + c = 0; (a ≠ 0) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ ।
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (v).
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
ਜਾਂ 2x2 – 6x – x + 3 = x2 – x + 5x – 5
ਜਾਂ 2x2 – 7x + 3 = x2 + 4x + 5 = 0
x2 – 11x + 8 = 0
ਜੋ ਕਿ ax2 + bx + x = 0, a ≠ 0 ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ।
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vi).
x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ
x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
ਜਾਂ x2 + 3x + 1 = x2 + 4 – 4x
ਜਾਂ x2 + 3x + 1 – x2 – 4 + 4x = 0
ਜਾਂ 7x – 3 = 0
ਜਿਸ ਵਿੱਚ x2 ਦਾ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
∴ ਇਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨਹੀਂ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (vii).
(x + 2)2 = 2x(x2 – 1)
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ (x + 2)3 = 2x (x2 – 1)
ਜਾਂ x3 + (2)3 + 3(x)22 + 3x (2)2
= 2x3 – 2x
ਜਾਂ x3 + 8 + 6x2 + 12x = 23x3 – 2x
ਜਾਂ x3 + 8 + 6x2 + 12x – 2x3 + 2x = 0
ਜਾਂ – x3 + 6x2 + 14x – 8 = 0
ਇੱਥੇ x ਦੀ ਉੱਚਤਮ ਘਾਤ 3 ਹੈ ।
ਇਹ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ
∴ ਇਹ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਨਹੀਂ ਹੈ ।
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (viii).
x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
ਉੱਤਰ:
ਦਿੱਤਾ ਹੈ।
x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
ਜਾਂ x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – (2)3 + 3 (x)2 (-2) + 3 (x) (- 2)2
ਜਾਂ x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 8 – 6x2 + 12x
ਜਾਂ x3 – 4x2 – x + 1 – x3 + 8 + 6x2 – 12x = 0
ਜਾਂ 2x2 – 13x + 9 = 0.
ਜੋ ਕਿ ax2 + bx + c = 0; (a ≠ 0) ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ।
∴ ਇਹ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ ।
2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿਚ ਬਦਲੋ :
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (i).
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 528 m2 ਹੈ । ਪਲਾਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਦੁੱਗਣੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵੱਧ ਹੈ । ਅਸੀਂ ਪਲਾਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨੀ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = x m
ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = (2x + 1) m
∴ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਲਾਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
= [x (2 + 1)] m2
= (2x2 + x) m2
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ 2x2 + x = 528
|S = 1
P = – 528 × 2
= – 1056
ਜਾਂ 2x2 + x – 528 = 0
2x2 – 32x + 33x – 528 = 0
2x (x – 16) + 33 (x – 16) = 0
(x – 16) (2x + 33) = 0
ਭਾਵ x – 16 = 0 ਜਾਂ 2x + 33 = 0
x = 16 ਜਾਂ x = −33/2
∴ ਕਿਸੇ ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ −33/2 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 16
ਪਲਾਟ ਦੀ ਚੌੜਾਈ = 16 m
ਲੰਬਾਈ = (2 × 16 + 1) = 33 m
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ।
2x2 + x – 528 = 0
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (ii).
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 306 ਹੈ | ਅਸੀਂ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨੀਆਂ ਹਨ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ x ਅਤੇ x + 1 ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ
ਸੰਪੁਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = x (x + 1)
= x2 + x
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
x2 + x = 306
ਜਾਂ x2 + x – 306 = 0
| S = 1,
| P = – 306
x2 + 18 – 17x – 306 = 0
x(x + 18) – 17 (x + 18) = 0
(x + 18) (x – 17) = 0
x = – 18 ਜਾਂ x = 17
∵ ਅਸੀਂ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨੀਆਂ ਹਨ ।
∴ ਅਸੀਂ x = -18 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ।
∴ x = 17
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ
17, 17 + 1 = 18
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
x2 + x – 306 = 0
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iii).
ਰੋਹਨ ਦੀ ਮਾਂ ਉਸ ਨਾਲੋਂ 26 ਸਾਲ ਵੱਡੀ ਹੈਂ । ਹੁਣ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਉਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਮਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 360 ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ ਅਸੀਂ ਰੋਹਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ ਪਤਾ ਕਰਨੀ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਰੋਹਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = x ਸਾਲ
ਰੋਹਨ ਦੀ ਮਾਂ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 26) ਸਾਲ
3 ਸਾਲ ਬਾਅਦ
ਰੋਹਨ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 3) ਸਾਲ
ਰੋਹਨ ਦੀ ਮਾਂ ਦੀ ਉਮਰ = (x + 26 + 3) ਸਾਲ
= (x + 29) ਸਾਲ
∴ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਮਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ
= (x + 3) (x + 29)
= x2 + 29x + 3x + 87
= x2 + 32x + 87
ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਨੁਸਾਰ
x2 + 32x + 87 = 360
x2 + 32x + 87 – 360 = 0
x2 + 32x – 273 = 0
|S = 32,
|P = – 273
x2 + 39x – 7x – 273 = 0
x(x + 39) – 7(x + 39) = 0
(x + 39) (x – 7) = 0
ਭਾਵ x + 39 = 0 ਜਾਂ x – 7 = 0
x = – 39 ਜਾਂ x = 7
∵ ਕਿਸੇ ਆਦਮੀ ਦੀ ਉਮਰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਅਸੀਂ x = – 39 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 7
ਰੋਹਨ ਦੀ ਵਰਤਮਾਨ ਉਮਰ = 7 ਸਾਲ
ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ :
x2 + 32x – 273 = 0
ਪ੍ਰਸ਼ਨ (iv).
ਇਕ ਰੇਲਗੱਡੀ 480 km ਦੀ ਦੂਰੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਚਾਲ ਨਾਲ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ । ਜੇਕਰ ਇਸਦੀ ਚਾਲ 8 km/h ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਤਾਂ ਉਹ ਉਸ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਤੈਅ ਕਰਨ ਲਈ 3 ਘੰਟੇ ਵੱਧ ਸਮਾਂ ਲੈਂਦੀ | ਅਸੀਂ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ ਪਤਾ ਕਰਨੀ ਹੈ ।
ਉੱਤਰ:
ਮੰਨ ਲਓ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ = x ਘੰਟੇ
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ = 480 km
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਨਵਾਂ ਸਮਾਂ = (x + 3) ਘੰਟੇ
ਦੁਰੀ = 480 km
ਸੂਤਰ ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰਕੇ
ਜਾਂ -8x2 + 456x + 1440 – 480x = 0
-8x2 – 24x + 1440 = 0
-8[x2 + 3x – 180] = 0
x2 + 3x – 180 = 0
x2 + 15x – 12x – 180 = 0
x(x + 15) – 12(x + 15) = 0
(x + 15) (x – 12) = 0
ਭਾਵ x + 15 = 0 ਜਾਂ x – 12 = 0
x = – 15 ਜਾਂ x = 12
∵ ਸਮਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ x = – 15 ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ
∴ x = 12
ਹੁਣ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਲਿਆ ਸਮਾਂ = 12 ਘੰਟੇ
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਦੂਰੀ = 480 km/h
ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ = (480/12)km/h
= 40 km/h
∴ ਰੇਲਗੱਡੀ ਦੀ ਚਾਲ = 40 km/h
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਣ ਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
x2 + 3x – 180 = 0
The Complete Educational Website