PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3

March 2, 2023

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3

प्रश्न 1.
बताइए कि आकृति में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं ? उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

(vi) ∆DEF में,
∠D = 70°, ∠E = 80°
∠D + ∠E + ∠F = 180°
70° + 80° + ∠F = 180°
∠F = 180° – 70° – 80°
∠F = 30°
∆PQR में,
∠Q = 80°, ∠R = 30°
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
(त्रिभुज के कोणों का योगफल)
∠P + 80° + 30° = 180°
∠P = 180° – 80° – 30°
∠P = 70°
∆DEF तथा ∆PQR में,
∠D = ∠P (70° प्रत्येक)
∠E = ∠Q (80° प्रत्येक)
∠F = ∠R (30° प्रत्येक)
∴ ∆DEF ~ ∆PQR (AAA समरूपता कसौटी)

प्रश्न 2.
आकृति में, ∆ODC ~ ∆OBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।

हल :
∠BOC = 125°
∠CDO = 70°
DOC एक सरल रेखा है।
∴ ∠DOC + ∠COB = 180°
∠DOC + 125 = 180°
∠DOC = 180° – 125°
∠DOC = 55°
∠DOC = ∠AOB = 55° [शीर्षाभिमुख कोण]
∆ODC ~ ∆OBA
∠D = ∠B = 70°
∆DOC में,
∠D + ∠O + ∠C = 180°
70° + 55° + ∠C = 180°
∠C = 180° – 70° – 550
∠C = 55°
∠C = ∠A = 55°
∠DOC = 55°
∠DCO = 55°
∠OAB = 55°

प्रश्न 5.
∆PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है। दर्शाइए कि ∆RPQ ~ ∆RTS है।
हल :
दिया है :- ∆PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है।

सिद्ध करना है : ∆RPQ ~ ∆RTS
उपपत्ति : ∆RPQ और ∆RTS में,
∠RPQ = ∠RTS (दिया है)
∠R = ∠R (उपनिष्ठ)
∆PQS ~ ∆TQR [AA समरूपता कसौटी]

प्रश्न 6.
आकृति में, यदि ∆ABE ≅ ∆ACD है, तो दर्शाइए कि ∆ADE ~ ∆ABC है।

प्रश्न 7.
आकृति में, ∆ABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि :
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC.
हल:
दिया है : ∆ABC, AD | BC

सिद्ध करना है:
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC.

उपपत्ति : (i) ∆AEP और ∆CDP में,
∠E = ∠D (प्रत्येक 90°)
∠APE = ∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ∆AEP ~ ∆CDP [AA समरूपता कसौटी]

(ii) ∆ABD और ∆CBE में,
∠D = ∠E (प्रत्येक 90°)
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
∴ ∆ABD ~ ∆CBE [AA समरूपता कसौटी]

(iii) ∆AEP और ∆ADB में,
∠E = ∠D (प्रत्येक 90°)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∴ ∆AEP ~ ∆ADB [AA समरूपता कसौटी]

(vi) ∆PDC और ∆BEC में,
∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
∠D = ∠E (प्रत्येक 90°)
∴ ∆PDC ~ ∆BEC [AA समरूपता कसौटी]

प्रश्न 8.
समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि AABE ~ACFB

त्रिभुज
हल :
दिया है :- समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है।

सिद्ध करना है : ∆ABE ~ ∆CFB
उपपत्ति : ∆ABE और ∆CFB में,
∠A = ∠C (II gm की सम्मुख भुजाएँ)
∠ABE = ∠CFB (एकांतर कोण)
∴ ∆ABE ~ ∆CFB (AA समरूपता कसौटी)

प्रश्न 9.
आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि

प्रश्न 10.
CD और GH क्रमश: ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमशः ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ∆ABC ~ ∆FEG हैं, तो दर्शाइए कि :
(i)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(ii) ∆DCA ~ ∆HGF
हल:

अब, ∆ACD और ∆FGH में,
∠A = ∠F [प्रमाणित ऊपर]
∠2 = ∠4 [प्रमाणित ऊपर]
∴ ∆ACD ~ ∆FGH
[∵ AA प्रमाणित समरूपता कसौटी से] |
CD AG Also, GH FG
[∵ समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।

(ii) अब, ∆DCB और ∆HGE में,
∠B = ∠E [प्रमाणित ऊपर]
∠1 = ∠3 [प्रमाणित ऊपर]
∆DCB ~ ∆HGE
[∵ AA समरूपता कसौटी से]

(iii) अब, ∆DCA और ∆HGF में,
∠A = ∠F [प्रमाणित ऊपर)
∴ ∠2 = ∠4 [प्रमाणित ऊपर]
∆DCA ~ ∆HGF [∵ AA समरूपता कसौटी से]

प्रश्न 11.
आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABD ~ ∆ECF है।
हल :

दिया है : AB = AC वाले एक समद्विबाहु ∆ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। AD ⊥ BC और EF ⊥ AC हैं।
सिद्ध करना है : ∆ABD ~ ∆ECF
उपपत्ति : ∆ABC समद्विबाहु त्रिभुज है (दिया है)
AB = AC (त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर | होते है)
∴ ∠B = ∠C (बराबर कोण)
∆ABD और ∆ECF में,
∠ABD = ∠ECF (ऊपर प्रमाणित)
∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)
∴ ∆ABD ~ ∆ECF [AA समरूपता]

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमश : भुजाओंPQ औरQR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति) दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।
हल :

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB . CD है।
हल :
दिया है : ∆ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D 57 Yar foretage foto ∠ADC = ∠BAC
सिद्ध करना है : CA² = BC × CD
उपपत्ति : ∆ABC और ∆ADC में,

सिद्ध करना है : ∆ABC ~ ∆PQR
रचना : AD को E तक बढ़ाइए ताकि AD = DE हों।
BE और CE को मिलाइए।
PM को N तक बढ़ाइए ताकि PM = MN हो।
QN और NR को मिलाइए।
उपपत्ति : चतुर्भुज ABEC के विकर्ण AE और BC परस्पर D पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ चतुर्भुज ABEC एक समांतर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार यह दर्शाया जा सकता है कि चतुर्भुज PQNR एक समांतर चतुर्भुज है।
चूँकि ABEC एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ BE = AC …………..(2)
इसी प्रकार चूँकि PQNR एक || gm है।
∴ QN = PR …………….(3)
(2) को (3) से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

प्रश्न 15.
लंबाई 6 m वाले एक उर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है।मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल: