PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

प्रश्न 1.
आकृति में, PS कोण ∠QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि QS/SR=PQ/PR है।

हल :

दिया है : ∆PQR, PS कोण ∠QPR का समद्भिाजक है अर्थात् ∠1 = ∠2 है।
सिद्ध करना है. QS/SR=PQ/PR

रचना : R में से एक रेखा PS के समांतर खींचिए जो QP को बढ़ाने पर T पर मिलती है।
उपपत्ति : ∆QRT में,
PS || TR
∠2 = ∠3 (एकांतर कोण)
∠1 = ∠4 (संगत कोण)
परंतु ∠1 = ∠2 (दिया है)
∴ ∠3 = ∠4
∆PRT में,
∠3 = ∠4 (प्रमाणित)
PT = PR
[समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।
∆QRT में,
PS || TR

∴ QP/PT=QS/SR

[आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से]

QP/PR=QS/SR (PT = PR)

PQ/PR=QS/SR

प्रश्न 2.
आकृति में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिंदु है तथा DM ⊥ BC और DN ⊥ AB, सिद्ध कीजिए कि
(i) DM² = DN.MC
(ii) DN² = DM.AM.

दिया है : ∆ABC में, DM ⊥ BC, DN ⊥ AB है।
सिद्ध करना है : DM² = DN.AC
DN = DM.AM.

हल : BD ⊥ AC (दिया है)
⇒ ∠BDC = 90°
⇒ ∠BDM + ∠MDC = 90° ………..(1)
∆DMC में,
∠DMC = 90°
[∵ DM ⊥ BC (दिया है)]
⇒ ∠C + ∠MDC = 90° ……………(2)
(1) और (2),
∠BDM + ∠MDC = 2C + ∠MDC
∠BDM = ∠C
[दोनों ओर से CMDC को काटने पर]
अब ∆BMD और ∆MDC में,
∠BDM = ∠C [प्रमाणित]
∠BMD = ∠MDC [प्रत्येक 90°]
∆BMD ~ ∆MDC [AA समरूपता कसौटी से]
⇒ DM/BM=MC/DM
[:: समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएं समानुपाती होती
⇒ DM² = BM X MC
⇒ DM² = DN X MC
[∵ BM = DN]
इसी प्रकार ∆NDA ~ ∆NBD
⇒ DN/BN=AN/DN
[∵ समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएं समानुपाती होती हैं।]
DN² = BN × AN
DN² = DM × AN

प्रश्न 3.
आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC > 90° है तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² + 2BC.BD है।

हल :
दिया है : ∆ABC में AD ⊥ BC जब BC को बढ़ाया जाता है। ∠ABC > 90° है।
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC² + 2BC.BD.

हल : मान लीजिए, BC = a,
CA = b,
AB = c,
AD = h और
BD = x.
समकोण त्रिभुज ∆ADB में, पाइथागोरस प्रमेय से, AB² = DB² + AD²
अर्थात् b² = x² + h² ………….(1)
समकोण त्रिभुज ∆ADC में,
AC² = CB² + AD²
अर्थात् , c² = (a + x)² + h²
= a² + 2ax + x² + h²
= a² + 2ax + b²; [(1) का प्रयोग करने पर]
= a² + b² + 2ab
अतः AB² = BC² + AC² + 2BC × CD.

प्रश्न 4.
आकृति में, ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° है तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² – 2BC.BD.

हल :
दिया है : ∆ABC जिसमें ∠ABC < 90° तथा AD ⊥ BC है।
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC² – 2BC.BD.
उपपत्ति: ADC एक समकोण है जिसमेंD पर समकोण है।
AC² = CD² + DA² ……………..(1)
(पाइथागोरस प्रमेय से)
साथ ही, ∆ADB समकोण A है D पर समकोण है।
AB² = AD² + DB² ………………..(2)
(1) से हमें प्राप्त होता है
AC² = AD² + (CB – BD)²
= AD² + CB² + BD² – 2CB × BD
AC² = (BD² + AD²) + CB² – 2CB × BD
AC² = AB² + BC² – 2BC × BD. [(2) के प्रयोग से]

प्रश्न5.
आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है सिद्ध कीजिए कि :
(i) AC² = AD² + BC.DM + (BC/2)²

(ii) AB² = AD² – BC.DM + (BC/2)²

(ii) AC² + AB² = 2AD² + 1/2 BC²

हल :
दिया है : ∆ABC में, AM ⊥ BC, AD, ∆ABC की एक माध्यिका है।
सिद्ध करना है :
(i) AC² = AD² + BC.DM + (BC/2)²

(ii) AB² = AD² – BC.DM + (BC/2)²

(ii) AC² + AB² = 2AD² + 1/2 BC²
उपपत्ति : ∆AMC में,
AC² = AM² + MC²
= AM² + (MD + DC)²
AC² = AM² + MD² + DC² + 2MD × DC
AC² = (AM² + MD²) + (BC/2)² + 2.MD (BC/2)
AC² = AD² + BC × MD + BC24
[समकोण त्रिभुज ∆AMD AD² = AM² + MD² ]
∴ AC² = AD² + BC.MD + BC²/4 ……………(1)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:

प्रश्न 7.
आकृति में, एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP.PB = CP.DP.

हल :
दिया है : एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।

सिद्ध करना है : (i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP.PB = CP.DP.
उपपत्ति : (i) ∆APC और ∆DPB में,
∠1 = ∠2 (शीर्षाभिमुख कोण)
∠3 = ∠4 (एक ही वृत्तखंड के कोण)
∴ ∆APC ~ ∆DPB [AA समरूपता कटौती]

प्रश्न 8.
आकृति में, एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA.PB = PC.PD.

हल :
दिया है : एक वृत्त की दो जीवाएं AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है :
(i)∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA.PB = PC.PD.
उपपत्ति :
(i) ∆PAC और APDB से,
∠P = ∠P (उभयनिष्ठ)
∠PAC = ∠PDB
(चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण अतः सम्मुख कोण के बराबर होता है।)
∴ ∆PAC ~ ∆PDB [AA समरूपता कसोटी से]

(ii) ∆PAB ~ ∆PDB
∴ PA/PD=PC/PB
[यदि तो त्रिभुजें समरूप हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।]
PA × PB = PC × PD.

प्रश्न 9.
आकृति में, त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक a BD _ AB | बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि BD/DC=AB/AC सिद्ध कीजिए कि : AD कोण ∠BAC का समद्विभाजक है।

हल :
दिया है : ∆ABC, में भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि BD/DC=AB/AC
सिद्ध करना है : AD कोण ∠BAC का समद्विभाजक है।
अर्थात्, ∠1 = ∠2
रचना : C में से CE || DA खींचिए जो BA को | बढ़ाने पर E पर मिले।

उपपत्ति : ∆BCE में, AD || CE …………(रचना)
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
परंत BD/DC=AB/AE

⇒ AB/AE=AB/AC

BD/DC=AB/AC

AB = AC

∆ACE में, AE = AC
⇒ ∠3 = ∠4 …………….. (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
चूँकि CE || DA और AC उन्हें प्रतिच्छेद करती है, तब
∠2 = ∠4 ..(एकांतर कोण)
साथ ही, CE || DA और BAE उन्हें प्रतिच्छेद करती है,
∠1 = ∠3 ………..(संगत कोण)
इस प्रकार, हमें प्राप्त करता है :
∠3 = ∠4
⇒ ∠4 = ∠1
∠3 = ∠1
परंतु ∠4 = ∠2
⇒ ∠1 = ∠2.
AD, ∠BAC को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 10.
नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा कांटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिंदु से उसकी दूरी 2.4m है।

यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक ) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है ( देखिए आकृति) ? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अंदर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी ?

हल :
समकोण त्रिभुज ABC में,
AB = 1.8 cm,
BC = 2.4 cm,
∠B = 90°
पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AB² + BC²
AC² = (1.8)² + (2.4)²
AC² = 3.24 + 5.76 = 9
AC² = (3)²
AC = 3 cm
अब नाज़िमा डोरी को 5 cm/s की दर से अंदर खींचे, तो डोरी की लंबाई कम होती है।
= 5 × 12 = 60 cm
= 0.6 m;
12 सेकण्ड में. मान लो, 12 सेकण्ड के बाद काँटरे की स्थिति D है।
AD = AC – (12 सेकण्ड में तय दूरी)
= (3 – 0.6) m = 2.4 m
अब, समकोण त्रिभुज ∆ABD में, पाइथागोरस प्रमेय से,
AD² = AB² + BD²
(2.4)² = (1.8)² + BD²
BD² = 5.76 – 3.24
BD² = 2.52 m
BD = 1.587 m.
∴ नाज़िमा द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी = BD + 1.2 m
= (1.587 + 1.2) m
= 2.787 m
= 2.79 m
अब, डोरी की लंबाई और नाज़िमा द्वारा तय की गई दूरी 3m और 2.79 m

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