RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Ex 10.1

प्रश्न 1.
प्रदर्शित कीजिए कि फलन

की x = 1 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा समान हैं तथा इनका मान 1 है।
हल :
दिया गया फलन

x = 1 पर दायीं सीमा

= 1 – 0 + 0 = 1
⇒ f(1 + 0) = 1 ….(1)
x = 1 पर बायीं सीमा

अत: सिद्ध होता है कि  की x = 1 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा समान हैं तथा इनका मान 1 है।

प्रश्न 2.
क्या x = 0 पर फलन  की सीमाएँ अस्तित्व में है।
हल :
दिया गया फलन

x = 0 पर फलन की दायीं सीमा

f(0 + 0) = 2 ….(1)
x = 0 पर फलन की बायीं सीमा

f(0 + 0) = 0 …..(2)
समीकरण (1) व (2) से स्पष्ट है कि
f(0 + 0) ≠ f(0 – 0)
इसलिए x = 0 पर दिये गये फलन की सीमा अस्तित्व में नहीं है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि x = 0 पर फलन f(x) = |x| + |x – 1| की सीमाएँ अस्तित्व में हैं।
हल :
दिया गया फलन है :
f(x) = |x| + |x + 1|
x = 0 पर बायीं सीमा

x = 0 पर दायीं सीमा

∴ x = 0 पर फलन f(x) = |x| + |x – 1| की सीमाएँ अस्तित्व में है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि x = 2 पर फलन

की सीमाएँ अस्तित्व में नहीं हैं।
हल-
x = 2 पर फलन की बायीं सीमा

x = 2 पर फलन की दायीं सीमा

= 4 + 0 + 0 + 2 + 0 + 2
= 8
स्पष्ट है कि f(2 – 0) ≠ f(2 + 0)
∴दिए गए फलन की x = 2 पर सीमाएँ अस्तित्व में नहीं हैं।

प्रश्न 5.
फलन f(x) =  की x = 0 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया फलन f(x) = 
x = 0 पर फलन की दायीं सीमा

= 0 x [-1, 1] के बीच कोई परिमित राशि के
⇒ f(0 + 0) = 0 …..(1)
x = 0 पर फलन की बायीं सीमा

= 0 x [-1, 1] के बीच कोई परिमित राशि
f(0 – 0) = 0 …..(2)

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Ex 10.2

निम्न सीमाओं के मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Ex 10.3

प्रश्न 1.
x = 10 पर x² – 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
यहाँ पर f(x) = x² – 2
हम जानते हैं कि

प्रश्न 2.
x = 50 पर 49x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
∵ f(x) = 49x

प्रश्न 3.
प्रथम सिद्धान्त से निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए

हल-
(i) माना कि f(x) = x³ – 16

(ii) माना कि f (x) = (x – 1) (x – 2)
= x² – 2x – x + 2
= x² – 3x + 2

(iii) माना कि

(iv) माना कि

प्रश्न 4.
फलन

के लिए सिद्ध कीजिए कि
f’ (1) = 100 f'(0).
हल-
दिया गया है

∴ f'(1) = 1 + 1 + ….. + 1 + 1 = 100
∵ 100 पद है।
या f'(1) = 100 x 1 = 100 f’ (0) ∵ f'(0) = 1
अतः f'(1) = 100 f'(0) इतिसिद्धम्।

प्रश्न 5.
किसी अचर वास्तविक संख्या a के लिए

का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि

प्रश्न 6.
किन्हीं अचरों a और b के लिए,
(i) (x – a) (x – b)
(ii) (ax² + b)²
(iii)  के अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
(i) माना कि f(x) = (x – a) (x – b)
गुणन नियम का प्रयोग करने पर

= (x – a) [1 – 0] + (x – b) [1 – 0]
= (x – a) + (x – b)
= 2x – a – b

(ii) माना कि f(x) = (ax² + b)²

= (ax² + b) (2ax) + (ax² + b) (2ax)
= 4ax (ax² + b)

(iii) माना कि f(x) = 
भागफल नियम का प्रयोग करने

प्रश्न 7.
किसी अचर a के लिए

का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि

भागफल नियम का प्रयोग करने पर

प्रश्न 8.
निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए
(i) 2x – 
(ii) (5x³ + 3x – 1) (x – 1)
(iii) x⁵ (3 – 6x^-9)
(iv) x^-4 (3 – 4x^-5)
(v) 
हल-
(i) माना कि

(ii) माना कि f(x) = (5x³ + 3x – 1) (x – 1)


= (x – 1) [15x² + 3] + (5x³ + 3x – 1)
= 15x³ + 3x – 15x² – 3 + 5x³ + 3x – 1
= 20x³ – 15x² + 6x – 4

(iii) माना कि

(iv) माना कि

(v) माना कि

प्रश्न 9.
प्रथम सिद्धान्त से cos x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि f (x) = cos x

= – sin x . 1
= – sin x

प्रश्न 10.
निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए
(i) sin x cos x
(ii) sec x
(iii) cosec x
(iv) 3 cot x + 5 cosec x
(vi) 5 sin x – 6 cos x + 7
हल-
(i) माना कि f(x) = sin x cos x
गुणन नियम का प्रयोग करने पर

= sin x (-sin x) + cos x (cos x)
= – sin² x + cos² x
= cos²x – sin²x
= cos 2x

(ii) माना कि f(x) = sec x

= sec x. tan x

(iii) माना कि f(x) = cosec x

= – cosec x . cot x

(iv) माना कि f(x) = 3 cot x + 5 cosec x

= – 3 cosec²x – 5 cosec x cot x

(v) माना कि f(x) = 5 sin x – 6 cos x + 7

= 5 cos x – 6 (- sin x) + 0
= 5 cos x + 6 sin x

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.

का मान है
(A) 1/3
(B) -1/3
(C) 1
(D) – 1
हल :
(B)

प्रश्न 2.

का मान है
(A) 0
(B) ∞
(C) 1
(D) – 1
हल :
(A)

प्रश्न 3.

का मान है
(A) 2/3
(B) 1/3
(C) 1/2
(D) 3/2
हल :
(D)

प्रश्न 4.

का मान है
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) – 1
हल :
(C)

प्रश्न 5.

का मान है
(A) π/4
(B) π/2
(C) 0
(D) ∞
हल :
(A)

प्रश्न 6.

का मान है
(A) 0
(B) 1
(C) log (ab)
(D) log (a/b)
हल :
(D)

प्रश्न 7.

का मान है
(A) 0
(B) 1
(C) π/180
(D) π
हल :
(C)

प्रश्न 8.

का मान है।
(A) 0
(B) 1/2
(C) -1/2
(D) -1
हल :
(B)

प्रश्न 9.

का मान है
(A) 0
(B) 81
(C) 4
(D) 1
हल :
(B)

प्रश्न 10.

का मान है
(A) 0
(B) ∞
(C) – 1
(D) 1
हल :
(C)

प्रश्न 11.
यदि y, x का फलन हो तो y का x के सापेक्ष अवकलज है

हल :
(C)

प्रश्न 12.
xⁿ का अवकलज है
(A) x^n-1
(B) (n – 1)x^n-2
(C) nx^n-1
(D) xⁿ⁺¹ /n + 1
हल :
(C)

प्रश्न 13.
 का अवकलज है

हल :
(B)

प्रश्न 14.

बराबर है
(A) 5^x
(B) 10^x
(C) 10^x log_e 5
(D) 5^x log_e 5
हल :
(D)

प्रश्न 15.

बराबर है

हल :
(A)

प्रश्न 16.
यदि f(x) = x³ + 6x² – 5 तब f'(1) बराबर है
(A) 0
(B) 9
(C) 4
(D) 15
हल :
(D)

प्रश्न 17.
sec x° का अवकलज है

हल :
(C)

प्रश्न 18.
log_xa का अवकलज है

हल :
(B)

प्रश्न 19.
यदि  तथा f'(0) = 0 तब c का मान
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -2
हल :
(D)

प्रश्न 20.
 का अवकलज है

हल :
(A)

प्रश्न 21.

तो a,b,c का मान ज्ञातकीजिए।
हल :

प्रश्न 22.

का मान ज्ञातकीजिए।
हल :

प्रश्न 23.

का मान ज्ञातकीजिए।
हल :

प्रश्न 24.

का मान ज्ञातकीजिए।
हल :

प्रश्न 25.

का मान ज्ञातकीजिए।
हल :

प्रश्न 26.

का मान ज्ञातकीजिए।
हल :

प्रश्न 27.

का मान ज्ञातकीजिए।
हल :

प्रश्न 28.
यदि  तो सिद्ध कीजिए कि 
हल :

प्रश्न 29.
यदि y = x³ . e^x sin x तो  सिद्ध कीजिए कि
हल :
y = x³ . e^x sin x

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