WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 10 বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 10 বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
West Bengal Board 10th Class Math Solutions Chapter 10 বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
West Bengal Board 10th Math Solutions
কযে দেখি 10
1. পাশের ছবির PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে ∠PRS = 65° এবং ∠RQS = 45° ; ∠SQP ও ∠RQS-এর মান হিসাব করে লিখি।
উত্তর : ∠SRP = ∠SQP = 65° [ একই বৃত্তাংশস্থ কোণ ]
আবার ∠PQR + ∠PSR =180° [ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ সম্পূরক ]
∴ ∠PSR = 180° – ∠POR
= 180° –(∠PQS + ∠SQR )
= 180° – (65° + 45°)
= 180° -110° = 70°
∴ ∠SQP = 65° এবং ∠RSP = 70°
2. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখছি ∠XBC = 82° এবং ∠BAC-এর মান হিসাব করে লিখি।
∠ADB = ∠ACB [ একই বৃত্তাংশস্থ কোণ ]
∴ ∠ACB = 470
আবার ∠ABC = 180° – ∠XBC = 180° – 82° 98°
ΔABC থেকে পাই,
∠BAC = 180° – (98° + 47°) = 180° – 145° = 35°
∴ ∠BAC = 35°
3. PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের PQ, SR বাহু দুটি বর্ধিত করায় T বিন্দুতে মিলিত হলো। বৃত্তের কেন্দ্র O; ∠POQ = 110°, ∠OQR = 60°, ∠ROS = 80° হলে ∠RQS ও ∠QTR -এর মান হিসাব করে লিখি।
অঙ্কন : PR যোগ করা হল।
4. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে .A ও C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC || BD |
উত্তর। দুটি বৃত্ত P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দু দিয়ে AB ও CD রেখা দুটি বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে A এবং B বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AC || BD
অঙ্কন: AB যুক্ত করে MN পর্যন্ত উভয় দিকে বর্ধিত করা হল।
AC যুক্ত করে EP পর্য্যন্ত উভয়দিকে বর্ধিত করা হল।
BD যুক্ত করে GH পর্য্যন্ত উভয়দিকে বর্ধিত করা হল।
প্রমাণ: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সম্পুরক।
∴ ∠CAP + ∠CQP = 180°
আবার ∠MAC + ∠CAP = 180″ (∴ একই সরলরেখার MN-এর ছেদক EF)
∴ ∠CQP = ∠MAC = x° (পরি )
আবার ∠CQP + ∠PQD = 180°
∴ ∠CAP = ∠PQD = y° (ধরি)
PQDB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠PQD + ∠PBD = 180°
বা, ∠CAP + ∠PBD = 180°
∠PBD = 180° – ∠CAP = ∠CQP = ∠MAC = x°
‘.’ EF সরলরেখা এবং GH সরলরেখার ছেদক MN
এর অনুরূপ কোণ ∠MAC = ∠PBD
সুতরাং EF || GH
বা, বৃত্তস্থ AC || BD
5. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ অঙ্কন করেছি এবং এর BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। প্রমাণ করি যে, ∠BAD ও ∠DCE-এর সমদ্বিখণ্ডক বৃত্তের উপর মিলিত হবে।
উত্তর। ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। এর BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে।
∠BAD এর সমদ্বিখণ্ডক AF পরিধি F বিন্দুতে ছেদ করেছে। CF যোগ করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, CF, ∠DCE এর সমদ্বিখণ্ডক।
প্রমাণ : ABCF একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ ∠BAF + ∠BCF = 180°
আবার ∠ECF + ∠BCF = 180°
∴ ∠ECF = বিপরীত অন্তঃস্থ ∠BAF … (1)
আবার, FD চাপের ওপর ∠DCF এবং ∠DAF পরিধিস্থ কোণ।
∴ ∠DCF = ∠DAF
আবার, ∠DAF = ∠BAF [ ‘.’ AF, ∠BAD সমদ্বিখণ্ডক ]
∴ ∠DCF = ∠BAF ……(2)
(1) ও (2) থেকে পাই,
∠ECF = ∠DCF
CF, ∠DCE এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তের ওপর মিলিত হবে।
6. মোহিত একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু X দিয়ে দুটি সরলরেখা অঙ্কন করেছে যারা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A, B বিন্দু ও C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে, ΔXAC ও ΔXBD-এর দুটি করে কোণ সমান।
X1 বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু X বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত একটি সরলরেখা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং অপর একটি সরলরেখা বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ΔXAC ও ΔXBD-এর দুটি করে কোণ সমান।
অঙ্কন: AC ও BD যোগ করা হল।
প্রমাণ : ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
বহিঃস্থ ∠CAX = অন্তঃস্থ ∠CDB
এবং বহিঃস্থ ∠ACX = অন্তঃস্থ ∠ABD
∴ ΔXAC ও ΔXBD-এর মধ্যে
∠CAX = ∠CDB
এবং ∠ACX = ∠ABD (প্রমাণিত)
7. দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবার G বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যেটি বৃত্ত দুটি P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী PQ-এর সান্তরাল অপর একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PQ = RS |
উত্তর : দুটি বৃত্ত পরস্পর G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে। G বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত একটি সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। আবার H বিন্দু দিয়ে PQ এর সমান্তরাল করে অঙ্কিত অপর একটি সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, PQ = RS
অঙ্কন : L, M, N, T যথাক্রমে PG, RH, HS ও GQ-এর মধ্যবিন্দু নেওয়া হল।
প্রমাণ : যেহেতু L, PG-এর মধ্যবিন্দু
∴ O, L ⊥ PG
আবার, M, RH-এর মধ্যবিন্দু
∴ O, M ⊥ RH
∴ PG || RH,
∴ L, O, M সমরেখ।
অনুরূপে, T, O2, N সমরেখ।
LM, O কেন্দ্রগামী এবং NT, O2 কেন্দ্রগামী।
∴ LM ⊥ PG ও LM ⊥ RH
এবং TN ⊥ GQ ও NT ⊥ HS
∴ LMNT একটি আয়তক্ষেত্র।
∴ LT = MN
8. ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার AB = AC এবং বর্ধিত BC-এর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। ΔABC-এর পরিবৃত্ত AE-কে D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করি যে, ∠ACD = ∠AEC |
উত্তর : AB ত্রিভুজের AB = AC, BC-এর ওপর E যে কোনো বিন্দু। AE বৃত্তের পরিধিকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে,
∠ACD = ∠AEC
অঙ্কন : CD যোগ করা হল।
প্রমাণ : ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ বহিঃস্থ ∠CDE = অন্তঃস্থ ∠ABC
আবার, ∠ABC = ∠ACB
∴ ∠CDE = ∠ACB
এখন, ΔDCE এর ∠DCB বহিঃস্থ কোণ
∴ ∠BCD = ∠CDE + ∠CED
বা, ∠ACB + ∠ACD = ∠CDE + ∠CED
আবার, ∠ACB = ∠CDE
∴ ∠ACD = ∠CED
∴ ∠ACD = ∠AEC (প্রমাণিত)
9. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করি যে, AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।
উত্তর। ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AC ও BD-কে যুক্ত করা হল। BD-কে F বিন্দু পর্যন্ত এবং BA-কে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল। BDC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক অর্থাৎ CDF-এর সমদ্বিখণ্ডক DE জ্যা |
AE যুক্ত করা হল। প্রমাণ করতে হবে যে,
∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক অর্থাৎ, ∠CAX-এর সমইদ্বখণ্ডক DE জ্যা।
প্রমাণ : ∠CDE এবং ∠CAE একই চাপ CE-এর উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ অর্থাৎ, একই বৃত্তাংশস্থ কোণ।
∴ ∠CDE = ∠CAE… .(i)
আবার CBDE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠EDF বহিঃকোণ এবং ∠BCE অন্তঃস্থ দূরবর্তী কোণ।
∴ ∠EDF = ∠BCE = ∠BCD + ∠DCE……….(ii)
একইভাবে ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের BA বাহুকে X পর্যন্ত বর্ধিত করায় বহিঃকোণ ∠DAX এবং অন্তঃস্থ দূরবর্তী ∠BCD
∴ ∠DAX = ∠BCD
∴ ∠DAX + ∠DAR = ∠BCD + ∠DAE [ উভয়পক্ষে ∠DAE যোগ করে পাই ]
∠EAX = ∠BCD + ∠DCE
= ∠BCE = ∠EDF ……….(iii)
(i) ও (ii) থেকে পাই
∠CDE = ∠CAE
∠EDF = ∠EAX
∠CDE = ∠EDF
∠CAE = ∠EAX
∴ AE, ∠CAX-এর বহির্দ্বিখণ্ডক AE (প্রমাণিত)
∴ AE ∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক (প্রমাণিত)
10. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব। প্রমাণ করি যে, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। এর থেকে প্রমাণ করি যে, ΔAEF ও ΔABC এর দুটি করে কোণ সমান।
উত্তর : প্রদত্ত : ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যে, (i) B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
(ii) ΔAEF ও ΔABC এর দুটি করে কোণ সমান।
অঙ্কন : EF যোগ করা হল।
প্রমাণ :
(i) বহিঃস্থ ∠AEF = অন্তঃস্থ ∠FBC
∴ ∠FBC = ∠AEF = 180° – ∠FEC
বা, ∠FBC = ∠FEC = 180°
চতুর্ভুজ BCEF-এর একজোড়া বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
∴ BCEF চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
11. ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC-কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
উত্তর : প্রদত্ত : ABC সামান্তরিকের A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC-কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কন : EF যোগ করা হল।
প্রমাণ :
∠DEF = 180° – ∠AEF ……..(1)
যেহেতু ABEF একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ ∠AEF = 180° – ∠ABF
∴ (1) নং থেকে পাই,
∠DEF = 180° – (180° – ∠ABF) = ∠ABF আবার, যেহেতু ABCD একটি সামান্তরিক।
∴ ∠B + ∠C = 180°
∴ ∠DCF + ∠DEF = ∠DCB + ∠ABE = 180°
∴ ∠DCF + ∠DEF = 180°
∴ DCEF চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
∴ DCEF চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)
12. ABCD এমন একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এঁকেছি যে AC, ∠BAD কে ‘সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। এবার AD কে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন DE = AB হয়। প্রমাণ করি যে, CE = CA.
উত্তর : ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠BAD এর অন্তর্দ্বিখণ্ডক AC। AD কে E পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যাতে DE = AB হয়।
প্রমাণ করতে হবে CE = CA
প্রমাণ: ‘.’ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ বহিস্থ ∠CDE = ∠ABC
‘.’ ∠BAD এর অন্তর্দ্বিখণ্ডক AC
∴ ∠BAC = ∠DAC
∴ চাপ BC = চাপ DC
∴ BC জ্যা = CD জ্যা
এখন Δ ABC ও Δ CDE এর মধ্যে AB = DE (স্বীকার) BC DC (প্রমাণিত)
∠ ABC = ∠ CDE প্রমাণিত)
∴ Δ ABC ≅ Δ CDE
∴ AC = CE
13. দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী। দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দু বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করে P, B ও R, B যুক্ত করে প্রমাণ করি যে, PR = PB.
উত্তর : দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী । RAP সরলরেখা O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, PR = PB
অঙ্কন : BR, BP, BO ও AO যোগ করা হল।
প্রমাণ : AB চাপের উপর ∠AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ
এবং ∠ARB পরিধিস্থ কোণ।
∴ ∠ AOB = 2 ∠ARB
আবার, AOBP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ ∠AOB + ∠APB = 180°
বা, 2 ∠ARB + ∠APB = 180% ………. (1)
এখন, Δ BPR-এ ∠BRP + ∠RPB + ∠PBR = 180° ………. (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
2 ∠PRB = ∠PBR ∴ PB = PR
14. প্রমাণ করি যে সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।
উত্তর : মনে করি ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ।
প্রমাণ করতে হবে যে A, B, C এবং E চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।
প্রমাণ : AC এবং BE যুক্ত করা হল।
ত্রিভুজ ABC এবং ABE এর AB = AB [ সাধারণ বাহু ]
BC = RA
∴ ∠ABC = ∠BAE
∴ Δ ΑΒΕ ≅ Δ ABC
∴ ∠ACB = ∠AEF
কিন্তু এরা একই বৃত্তাংশস্থ কোণ অতএব চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।
The Complete Educational Website