WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 18 সদৃশ্যতা
WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 18 সদৃশ্যতা
West Bengal Board 10th Class Math Solutions Chapter 18 সদৃশ্যতা
West Bengal Board 10th Math Solutions
কযে দেখি 8.1
1. ……….. -এ সঠিক উত্তর লিখি :
(i) সকল বর্গক্ষেত্র ………. [সর্বসম/সদৃশ]
(ii) সকল বৃত্ত ……… [সর্বসম/সদৃশ]
(iii) সকল ……… [সমবাহু/সমদ্বিবাহু] ত্রিভুজ সর্বদা সদৃশ।
(iv) দুটি চতুর্ভুজ সদৃশ হবে যদি তাদের অনুরূপ কোণগুলি ……… [সমান/সমানুপাতী] হয় এবং অনুরূপ বাহুগুলি …….. [অসমান/সমানুপাতী] হয়।
উত্তর : (i) সদৃশ, (ii) সদৃশ, (iii) সমবাহু, (iv) সমান, সমানুপাতী।
2. নীচের বাক্যগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) যে-কোনো দুটি সর্বসম চিত্র সদৃশ।
(ii) যে-কোনো দুটি সদৃশ চিত্র সর্বদা সর্বসম।
(iii) যে-কোনো দুটি সদৃশ বহুভুকোর চিত্রের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়।
(iv) যে-কোনো দুটি সদৃশ বহুভূজাকার চিত্রের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক।
(v) বর্গক্ষেত্র ও রম্বস সর্বদা সদৃশ।
উত্তর : (i) সত্য, (ii) মিথ্যা, (iii) সত্য, (iv) সত্য, (v) মিথ্যা।
3. একজোড়া সদৃশ চিত্রের উদাহরণ লিখি।
4. একজোড়া চিত্র অঙ্কন করি যারা সদৃশ নয়।
কষে দেখি 18.2
1. ΔABC -এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
(i) PB = AQ, AP = 9 একক, QC = 4 একক হলে PB-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
(ii) PB-এর দৈর্ঘ্য AP-এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ এবং QC-এর দৈর্ঘ্য AQ-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 3 একক বেশি হলে, AC -এর দৈর্ঘ্য কত হবে, হিসাব করে লিখি।
(iii) যদি AP = QC, AB-এর দৈর্ঘ্য 12 একক এবং AQ -এর দৈর্ঘ্য 2 একক হয়, তবে CQ -এর দৈর্ঘ্য কত হবে, হিসাব করে লিখি।
উত্তর : যেহেতু ΔABC -এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
2. ΔPQR এর PQ ও PR বাহুর উপর যথাক্রমে X, Y দুটি বিন্দু নিলাম।
(i) PX = 2 একক, XQ = 3.5 একক, YR = 7 একক এবং PY = 4.25 একক হলে, XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তি দিয়ে লিখি। :
(ii) PQ = 8 একক, YR = 12 একক, PY = 4 একক এবং PY-এর দৈর্ঘ্য XQ-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 2 একক কম হলে, XY ও QR সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তি দিয়ে লিখি।
∴ ΔPOR -এর PQও PR বাহুদুটিকে XY সরলরেখাটি সমানুপাতে বিভক্ত করে না।
∴ XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে না। (থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই)
(ii) PQ = 8 একক, YR = 12 একক PY = 4 একক, এবং PY -এর দৈর্ঘ্য XQ -এর দৈর্ঘ্যর চেয়ে 2 একক কয়।
3. প্রমাণ করি যে, কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুকে মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে। (থ্যালেসের উপপাদ্যের সাহায্যে প্রমাণ করি)
ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু D দিয়ে অঙ্কিত BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা DE, AC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
4. ΔABC -এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB -কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ || BC.
5. ΔABC −এর BE ও CF মধ্যমাদুটি পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং FE সরলরেখাংশ AG সরলরেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে AO = 3OG
উত্তর : ABC ত্রিভুজের BE ও CF মধ্যমা G বিন্দুতে ছেদ করেছে। FE, AG কে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
অঙ্কন : AG কে বর্ধিত করা হল যাতে উহা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। FE যোগ করা হল।
প্রমাণ করতে হবে যে, AO = 3OG
প্রমাণ : যেহেতু ΔABC -এর F ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ F ও E –এর সংযোজক সরলরেখা BC-এর সাথে সমান্তরাল, অর্থাৎ FE || BC
6. প্রমাণ করি যে, ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুগুলির মধ্যবিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখাংশ সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল।
উত্তর : ABCD ট্রাপিজিয়ামের AD ও BC তির্যক বাহুগুলির মধ্যবিন্দু P ও Q;
অঙ্কন : PQ যোগ করা হল, বর্ধিত DA ও CB পরস্পরকে X বিন্দুতে ছেদ করেছে।
7. ΔABC -এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে ΔABD ও ΔADC – এর ভরকেন্দ্র। প্রমাণ করি যে, PQ|| BC
ΔABC -এর BC বাহুর উপর D যেকোনো একটি বিন্দু, P, Q যথাক্রমে ΔABD ও ΔADC-এর ভরকেন্দ্র।
অঙ্কন : ΔABD-এর মধ্যম AM ও ΔADC -এর মধ্যমা AN অঙ্কন করা হল। PQ যোগ করা হল।
প্রমাণ করতে হবে PQ || BC
প্রমাণ : যেহেতু P, ΔABD -এর ভরকেন্দ্র।
৪. একই ভূমি QR-এর উপর এবং একই পার্শ্বে দুটি ত্রিভুজ ΔPQR ও ΔSQR অঙ্কন করেছি যাদের ক্ষেত্রফল সমান। F ও G যথাক্রমে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ করি যে, FG || QR
ΔPQR ও ΔSQR একই ভূমি QR-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত। F ও G যথাক্রমে ত্রিভুজদুটির ভরকেন্দ্র। ত্রিভুজদুটির ক্ষেত্রফল সমান।
অঙ্কন: T, QR -রে মধ্যবিন্দু। PT, TS, FG যোগ করা হল।
প্রমাণ করতে হবে FG || QR
প্রমাণ : যেহেতু ΔPQR এর F ভরকেন্দ্র
9. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদুটির যে-কোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।
ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম। যাহার AD = BC এর AB || DC
অঙ্কন : বর্ধিত DA ও CB পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করল।
10. ΔABC এবং ΔDBC একই ভূমি BC -এর উপর এবং BC -এর একই পার্শ্বে অবস্থিত। BC বাহুর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। E বিন্দু দিয়ে AB এবং D -এর সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AD|| FG
ΔABC ও ΔDBC একইভূমি BC এর উপর এবং BC -এর একই পার্শ্বে অবস্থিত। BC -বাহুর উপা যেকোনো একটি বিন্দু E দিয়ে AB এবং BD এর সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ কবে ।
কষে দেখি 18.3
1. ΔABC-এর ∠ABC = 90° এবং BD ⊥ AC; যদি BD = ৪ সেমি. এবং AD = 5 সেমি. হয়, তবে CD -এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
ΔDAB ও ΔDBC সদৃশ।
∴ BD2 = AD. CD বা, 82 = 5. CD
বা, CD = 64/5 = 12.8
∴ CD-এর দৈর্ঘ্য 12.8 সেমি.।
2. ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠B সমকোণ এবং BD ⊥ AC; যদি AD = 4 সেমি. এবং CD = 16 সেমি. হয়, তবে BD ও AB-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
ΔBAD ও ΔBDC সদৃশ।
∴ BD2 = AD. CD = 4. 16 বা, BD = √64 = 8
∴ BD -এর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি.।
আবার, ΔDBA ও ΔABC সদৃশ।
∴ AB² = AC. AD বা, AB² = (4 + 16) . 4= 80 বা, AB = 4√5
∴ AB -এর দৈর্ঘ্য 4√5 সেমি.।
3. O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের AB একটি ব্যাস। P বৃত্তের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটিকে P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি যথাক্রমে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হয়, প্রমাণ করে যে, PQ. QR = r2
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB একটি ব্যাস। P বৃত্তের উপর যেকোনো একটি বিন্দু। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদুটিকে P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি যথাক্রমে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে।
অঙ্কন : OR, OP ও OQ যোগ করা হল। প্রমাণ করতে হবে, PQ. PR = r2
প্রমাণ : ΔOPR ও ΔOBR-এর মধ্যে, OP = OB
OR সাধারণ বাহু।
এবং ∠OPR = ∠OBR = 1 সমকোণ।
∴ ΔOPQ ≅ ΔOBR ∴ ∠POR = ∠BOR ……..(1)
আবার, ΔOPQ ও ΔOAQ-এর মধ্যে,
OP = OA OQ সাধারণ বাহু।
এবং ∠OPQ = ∠OAQ = 1 সমকোণ।
∴ ΔOPQ ≅ ΔOAQ ∴ ∠POQ = ∠AOQ ……..(2)
(1) ও (2) নং থেকে পাই,
∠POR + ∠POQ = ∠BOR + ∠AOQ
বা, ∠ROQ = ∠BOR + ∠AOQ
= 180⁰ – ∠ROQ [‘.’ ∠ROQ + ∠BOR + ∠AOQ = 180°] বা, 2∠ROQ = 180°
বা, ∠ROQ = 90°
আবার, ΔPOQ-এ ∠OQP = 90° – ∠POQ = ∠ROQ – ∠POQ = ∠POR
∴ ΔPOR ও ΔPOQ-এ ∠PRO = ∠POQ
∠POR = ∠OQP ∠OPR = ∠OPQ
∴ ΔPOR ও ΔPOQ সদৃশকোণী।
4. AB ব্যাসকে কেন্দ্র করে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করেছি। AB-এর উপর যে-কোনো বিন্দু C থেকে AB-এর উপর লম্ব অঙ্কন করেছি যা অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, CD, AC ও BC -এর মধ্যসমানুপাতী।
একটি অর্ধবৃত্তের AB ব্যাসের উপর যে-কোনো বিন্দু C থেকে AB -এর উপর লম্ব অঙ্কন করা হয়েছে যা অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
অঙ্কন : AD ও BD যোগ করা হল। প্রমাণ করতে হবে, CD, AC ও BC-এর মধ্যসমানুপাতী।
প্রমাণ : যেহেতু ∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। ∴ ∠ADB = 90°
আবার, ‘.’ DC ⊥ AB ∴ ΔADC ও ΔBDC সদৃশকোণী।
6. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। A বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত একটি সরলরেখা বৃত্তকে C বিন্দুতে এবং B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে,
(i) BD2 = AD. DC (ii) যে-কোনো সরলরেখার জন্য AC এবং AD দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান।
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। A বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখা বৃত্তকে C বিন্দুতে এবং B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে।
অঙ্কন : BC যোগ করা হল।
প্রমাণ করতে হবে, (i) BD2 = AD. DC
(ii) যে-কোনো সরলরেখার জন্য AC এবং AD দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান।
প্রমাণ : (i) ∠ACB = 1 সমকোণ।
∴ যেকোনো সরলরেখার জন্যই AC এবং AD দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান।
The Complete Educational Website