WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 17 সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য
WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 17 সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য
West Bengal Board 9th Class Math Solutions Chapter 17 সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য
West Bengal Board 9th Math Solutions
কযে দেখি 17
1. ABC ত্রিভুজে ∠B ও ∠C-এর অন্তর্দ্বিখণ্ডক I বিন্দুতে ছেদ করেছে।
2. একটি ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য সমান হলে প্রমাণ করি ত্রিভুজটি সমবাহু।
ধরা যাক ΔABC-এর AD = BE = CF। মধ্যমা তিনটি G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য : ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ : G ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।
আমরা জানি ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
অনুরূপে Δ AFG ও Δ CDG হতে প্রমাণ করতে পারি-
AF = CD
∴ 2AF = 2CD
∴ AB = BC…………………………….(IV)
এখন, (III) ও (IV) নং হতে পাই—
AB = BC = AC
সুতরাং ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
3. প্রমাণ করি যে, সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, অন্তঃকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমপাতিত হয়।
ধরা যাক Δ ABC-এর সমবাহু ত্রিভুজ
ΔABC-এর মধ্যমাত্রয় যথাক্রমে
AD, BE ও CF
AD, BE ও CF মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য : ABC -এর পরিকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমপাতিত হয়।
প্রমাণ : আমরা জানি ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু।
আবার ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে ছেদ করে তাই ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।
∴ G হল A ABC-এর ভরকেন্দ্র।……….(I)
আবার আমরা জানি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতাই হল উহার মধ্যমা।
অর্থাৎ AD, BE ও CF লম্ব তিনটি সমবিন্দু।
∴ G হল লম্ববিন্দু….…….(II)
আমরা জানি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের ব্যাসটি উহার উচ্চতার দৈর্ঘ্যের এক তৃতীয়াংশ।
∴ GD = GE = CF = অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
∴ অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র হল G ……….(III)
আমরা জানি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ উহার উচ্চতার দৈর্ঘ্যের দুই তৃতীয়াংশ।
∴ AG = BG = CG = পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ।
∴ পরিবৃত্তের কেন্দ্র হল G |………..(IV)
এখন (I), (II), (III) ও (IV) নং থেকে আমরা লিখতে পারি সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, অন্তকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমপাতিত হয়। (প্রমাণিত)
4. ABC ত্রিভুজের AD, BE ও CF মধ্যমা। প্রমাণ করি যে ABC ও DEF ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র একই বিন্দু।
ধরা যাক, ΔABC-এর AD, BE ও CF মধ্যমা তিনটি G বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে।
আমরা জানি ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দু হল ওই ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র
∴ ABC-এর ভরকেন্দ্র G।
প্রামাণ্য : Δ ABC ও ADEF-এর ভরকেন্দ্র একই বিন্দু।
∴ ΔDEF-এর ভরকেন্দ্র G প্রমাণ করলেই প্রমাণিত হয়ে ΔABC ও ΔDEF-এর ভরকেন্দ্র একই বিন্দু।
প্রমাণ : ΔABC -এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে F, E।
∴ EF || BC এবংFE = 1/2BC.
∴ D, BC-এর মধ্যবিন্দু। ∴ FE = BD.
এখন BDEF ত্রিভুজের FE || BD এবং FE = BD
∴ BDEF একটি সামান্তরিক।
অনুরূপে আমরা প্রমাণ করতে পারি AFDE এবং FDCF উভয়েই সমান্তরাল?
এখন আমরা জানি সামান্তরিকের কর্নদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ BDEF সামান্তরিক থেকে পাই, FQ = QD………(I)
AFDE সামান্তরিক থেকে পাই, FP = PE.. ..(II)
এবং FDCE সামান্তরিক থেকে পাই, DR = RE……………..(III)
(I), (II) ও (III) হতে পাই, Q, FD-এর মধ্যবিন্দু; P, FE-এর মধ্য বিন্দু এবং R, DE-এর মধ্যবিন্দু।
∴ ΔFDE-এর মধ্যমা তিনটি হল FR, EQ এবং DP
আমরা জানি ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি সমবিন্দু এবং উহাই ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।
∴ G হল Δ DEF-এর ভরকেন্দ্র। ∴ ΔABC ও ΔDEF-এর ভরকেন্দ্র একই বিন্দু।
5. প্রমাণ করি যে একটি ত্রিভুজের দুটি মধ্যমার দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় মধ্যমার দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
মনে করি Δ ABC-এর মধ্যমাত্রয় AD, BE ও CF পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ AF = BF
BD = CD
এবং AE = CE
এখন Δ ABD হতে বলতে পারি, AD < (AB + BD)
[Q ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
Δ AFC হতে বলতে পারি CF < (AC + AF)
Δ BEC হতে বলতে পারি BE < (BC + CE)
এখন (BE + CF) < (BC + CE + AC + AF)
অর্থাৎ ত্রিভুজের দুটি মধ্যমার দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
6. ABC ত্রিভুজের AD, BE ও CF মধ্যমা। প্রমাণ করি যে-
(i) 4(AD + BE + CF) > 3(AB + BC + CA)
(ii) 3(AB + BC + CA) > 1(AD + BE + CE)
মনে করি ΔABC-এর AD, BE ও CF মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্ৰমাণ্য : (i) 4(AD + BE + CF) > 3(AB+ BC + CA)
(ii) 3(AB + BC + CA) > 2(AD + BE + CF)
প্রমাণ : ΔABD হতে বলতে পারি (AB + BD) > AD
ΔAFC হতে বলতে পারি (AC + AF) > CF
ΔBEC হতে বলতে পারি (BC + CE) > BE
∴ 3(AB+ BC + CA) > 2(AD + BE + CF) [(II) নং থেকে প্রমাণিত ]
এখন 2(AD + BE + CF) < 3(AB + BC + CA)
∴ 4(AD + BE + CF) < 3(AB + BC + CA) + 2 (AD + BE + CA)
∴ 4(AD + BE + CF) > 3(AB + BC + CA) [(I) নং থেকে প্রমাণিত ]
7. ΔABC-এর AD, BE ও CF মধ্যমা তিনটি G বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। ΔABC-এর ক্ষেত্রফল 36 বর্গসেমি হল।
(i) ΔAGB-এর ক্ষেত্রফল (ii) ΔCGE-এর ক্ষেত্রফল (iii) চতুর্ভুজ BDGF-এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।
ΔABC-এর মধ্যমাত্রয় যথাক্রমে AD, BE ও CF পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করে। ΔABC – ক্ষেত্রফল 36 বর্গসেমি।
∴ ΔAGB-এর ক্ষেত্রফল 12 বর্গসেমি, ACGB-এর ক্ষেত্রফল 6 বর্গসেমি এবং চতুর্ভুজ BDGF-এর ক্ষেত্রফল 12 বর্গসেমি।
The Complete Educational Website