WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 5 রৈখিক সহসমীকরণ (দুই চলবিশিষ্ট)
WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 5 রৈখিক সহসমীকরণ (দুই চলবিশিষ্ট)
West Bengal Board 9th Class Math Solutions Chapter 5 রৈখিক সহসমীকরণ (দুই চলবিশিষ্ট)
West Bengal Board 9th Math Solutions
কযে দেখি 5.1
নীচের প্রতিটি ক্ষেত্রে সহ-সমীকরণ গঠন করো ও সমাধান করা যায় কিনা।
1. আমার দিদি ও আমার বাবার বর্তমান বয়সের সমষ্টি 55 বছর। 16 বছর পরে আমার বাবার বয়স আমার দিদির বয়সের দ্বিগুণ হবে।
(a) সহ-সমীকরণ গঠন করে লেখচিত্র অঙ্কন করো।
(b) লেখচিত্রের সাহায্যে সহ-সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করো।
(c) লেখচিত্র থেকে আমার দিদি ও আমার বাবার বর্তমান বয়স নির্ণয় করো।
সমাধান : মনে করি, বাবার বর্তমান বয়স x বছর
(b) লেখচিত্র থেকে পাই ছবি সহ-সমীকরণের সমাধান বিন্দু x = 42, y = 13 অর্থাৎ
(x, y) = (42, 13)
(c) লেখচিত্র থেকে বলা যায়,
আমার দিদির বয়স (y) = 13 বছর।
আমার বাবার বয়স (y) = 42 বছর।
2. মিতা যাদব কাকুর দোকান থেকে 42 টাকায় 3টি পেন ও 4টি পেনসিল। আমি বন্ধুদের দেওয়ার জন্য যাদবকাকুর দোকান থেকে একই মূল্যের ৭টি ও 1 ডজন পেনসিল 126 টাকায় কিনলাম।
(a) সহ-সমীকরণ গঠন করে লেখচিত্র আঁকি।
(b) লেখচিত্রের-সাহায্যে আরও দেখি যে সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া যায় কিনা।
(c) লেখচিত্র থেকে 1 টি পেন ও 1টি পেলসিলের আলাদা আলাদা দাম নির্ণয় করি।
সমাধান : (a) মনে করি, 1টি পেন ও 1টি পেনসিলের মূল্য যথাক্রমে x টাকা ও y টাকা।
সমীকরণদ্বয় সঙ্গত, সমাধানযোগ্য, কিন্তু অসংখ্য সমাধান থাকাবে অর্থাৎ সাধারণ সমাধান থাকবে না।
(c) লেখচিত্র থেকে 1টি পেন 31টি পেনসিলের আলাদা আলাদা মূল্য নির্ণয় করা যাবে না। পেন ও পেনসিলের মূল্য ভিন্ন ভিন্ন হতে পারে।
3. 2টি আর্ট পেপার ও ১টি স্কেচপেনের মূল্য 16 টাকা। আবার দোলা একই মূল্যের 4টি আর্ট পেপার ও 10টি স্কেচ পেন 28 টাকায় কিনেছে।
(a) সহ-সমীকরণ গঠন করো ও লেখচিত্র আঁকো।
(b) লেখচিত্র থেকে সমীকরণ দুটির সাধারণ সমাধান পাওয়া যায় কিনা যাচাই করো।
(c) 1টি আর্ট পেপার ও 1টি স্কেচ পেনের দাম নির্ণয় করো।
কষে দেখি 5.2
1. নীচের সমীকরণগুলির লেখ অঙ্কন করে সমাধানযোগ্য কিনা লেখো ও সমাধান হলে সমাধানটি বা অসংখ্য সমাধানের ক্ষেত্রে 3টি সমাধান লেখো।
2. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলির একই চলের সহগগুলির ও ধ্রুবকগুলির অনুপাতের সম্পর্ক নির্ণয় করে সমীকরণ দুটি সমাধানযোগ্য কিনা লেখো ও সমীকরণপূর্বক লেখচিত্র এঁকে যাচাই করো।
∴ লেখচিত্র একটি সরলরেখা ও দুটি লেখচিত্র পরস্পর সমাপতিত হবে ও অসংখ্য বিন্দু সরলরেখার ওপর অবস্থিত। তারা সমাধান বিন্দুসমূহ।
সমীকরণ সঙ্গত ও সমাধানযোগ্য ও অসংখ্য সমাধান থাকবে।
লেখচিত্র দুটি পরস্পর সমাপতিত হবে ও একটি সরলরেখার উপরিস্থিত সকল বিন্দুই সমান হবে।
3. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলি একই চলের সহগগুলি ও ধ্রুবকগুলি অনুপাতের সম্পর্ক নির্ণয় করে সমীকরণগুলির লেখচিত্রগুলি সমান্তরাল ও পরস্পরছেদি সমাপাতিত হবে কিনা যাচাই করো।
লেখচিত্র দুটি অর্থাৎ সরলরেখা দুটি পরস্পর ছেদি, সঙ্গত ও একক সমাধান থাকবে।
4. নীচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলির মধ্যে যেগুলি সমাধানযোগ্য তাদের লেখচিত্র আঁক ও সমাধান করো ও অসংখ্য সমাধানের ক্ষেত্রে 3টি সমাধান লেখো।
(a) 4x + 3y = 20; 8x + 6y = 40
5. তথাগত একটি দুই চল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ x + y = 5 লিখেছে। একটি দুই চল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ লেখো যাতে দুটি সমীকরণের লেখচিত্র।
(a) পরস্পর সমান্তরাল হবে (b) পরস্পর ছেদী হবে (c) পরস্পর সমাপতিত হবে।
সমাধান : (a) x + y = 5 এর সমান্তরাল সমীকরণ x + y = 7
(b) x + y = 5 এবং 2x + 3y = 10 সমীকরণ দুটি পরস্পর ছেদী হবে।
(c) x + y = 5 ও 5x + 5y = 25 পরস্পর সমাপতিত হবে বা x + y = 5 ও px + py = 5p [p যেকোনো বাস্তব সংখ্যা) পরস্পর সমাপতিত হবে।]
কষে দেখি 5.3
1. নীচের দুই চল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণগুলি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধন করো ও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান যাচাই করো।
2. 7x – 5y = –2 সমীকরণকে কত দিয়ে গুণ করে 2x + 15y = –3 সমীকরণের সঙ্গে যোগ করলে যাতেy চলটি অপনীত হয়?
কষে দেখি 5.4
কষে দেখি 5.5
কষে দেখি 5.6
কষে দেখি 5.7
1. আমাদের স্কুলের পাশের বই-এর দোকান থেকে আমার বন্ধু রীতা 34 টাকার 5 টি পেন ও 3টি পেনসিল কিনেছে। কিন্তু সুমিত ওই দোকান থেকে একই দামে টি পেন ও 6টি পেনসিল 53 টাকায় কিনেছে। সহ-সমীকরণ গঠন করে প্রতিটি পেন ও প্রতিটি পেনসিলের দাম কত?
∴ একটি পেনের মূল্য 5 টাকা ও একটি পেনসিলের মূল্য 3 টাকা।
2. আমার বন্ধু আয়েশা ও রফিকের ওজন একত্রে 85 কি.গ্রা। আয়েশার ওজন অর্ধেক রফিকের ওজনের 4/9 অংশের সমান হলে সহ-সমীকরণ গঠন করে তাদের পৃথকভাবে ওজন কত নির্ণয় করো।
3. আমার কাকাবাবুর বর্তমান বয়স আমার বোনের বর্তমান বয়সের দ্বিগুণ। 10 বছর আগে আমার কাকাবাবুর বয়স আমার বোনের বয়সের তিনগুণ ছিল। সহ-সমীকরণ গঠন করে তাদের বর্তমান বয়স পৃথকভাবে নির্ণয় করো।
সমাধান : মনে করি, কাকাবাবুর বর্তমান বয়স = x বছর ও বোনের বর্তমান বয়স = y বছর
পদ্ধতিতে, x = 2y, ও x – 10 = 3 (y–10)
x–3y = – 20
x = 2y, 2y – 3y = – 20
y = 20
∴ কাকাবাবুর বর্তমান বয়স = 2 × 20 = 40 বছর বোনের বর্তমান বয়স = 20 বছর
4. আমাদের গ্রামের দেবকুমার কাকু 590 টাকার একটি চেক ব্যাঙ্ক থেকে ভাঙালেন। তিন যদি ব্যাঙ্ক থেকে পাঁচ টাকার ও দশ টাকার নোট 70 খানা নোট পেয়ে থাকেন তবে তিনি ব্যাঙ্ক থেকে কতগুলি পাঁচ টাকার নোট ও কতগুলি দশ টাকার নোট পেলেন নির্ণয় করো।
সমাধান : মনেকরি দেবকুমার কাকু ব্যাঙ্ক থেকে x সংখ্যক দশ টাকার নোট 3y সংখ্যক পাঁচ টাকার নোট পেলেন।
10x + 5y = 590, x + y = 70
2y + y = 118, y = 70 – x
2x + 70 – x = 118
x = 118 – 70 = 48 – y = 70 – 48 = 22
তিনি 48টি দশ টাকার নোট ও 22টি পাঁচ টাকার নোট পেয়েছিলেন।
5. আমি স্কুলের ব্ল্যাকবোর্ড এমন একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ লিখব যার হরটি লব অপেক্ষা 5 বেশি ও লব ও হরের সঙ্গে যদি 3 যোগ করি ভগ্নাংশটি 3/4 হবে। সহ-সমীকরণ গঠন করি ও সমাধান করে প্রকৃত ভগ্নাংশটি ব্ল্যাক বোর্ড লিখি।
6. মারিয়া তার খাতায় 5টি এমন সংখ্যা লিখেছে যে প্রথম সংখ্যার সঙ্গে 21 যোগ করলে তা দ্বিতীয় সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। আবার দ্বিতীয় সংখ্যার সঙ্গে 12 যোগ করলে তা প্রথম সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। মারিয়ার লেখা সংখ্যা কত?
সমাধান : মনে করি, প্রথম সংখ্যাটি × ও দ্বিতীয় সংখ্যাটি y
x + 21 = 2y, ……..(i) এবং 2x = y + 12 …….(ii)
y = 2x – 12
(i) নং সমীকরণে y-এর পরিবর্তে 2x – 12 বসিয়ে পাই
x + 2 = 2 (2x – 2 )
4x – x = 21 + 24 = 45
3x = 45 ∴ x = 15
y = 2x – 12 = 2×15-12-30-12 = 18
নির্ণেয় প্রথম সংখ্যাটি 15 ও দ্বিতীয় সংখ্যাটি 18
7. নালিমা ও রমেন 5 জনেই তাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করে। নালিমা 4 দিন 3 রমেন 3 দিন একসঙ্গে বাগানপরিষ্কার করলে কাজটির 2/3 অংশ সম্পন্ন হয়। আবার নালিমা 3 দিন ও রমেন 6 দিন একসঙ্গে বাগান পরিষ্কার করলে 11/12 অংশ সম্পন্ন হয়। সহ-সমীকরণ গঠন তারা ও রমেন ও পৃথকভাবে কাজটি করলে কতদিনে শেষ করবে।
সমাধান : মনে করি, নালিমা x দিনে ও রমেন দিনে পৃথকভাবে কাজ করতে পারে।
∴ নালিমা 12 দিনে ও রমেন 9 দিনে পৃথকভাবে কাজ সম্পন্ন করেন।
৪. আমার মা দু-ধরনের সরবত তৈরি করেছেন। প্রথম ধরনের 100 লিটার সরবর্তে 5 কিগ্রা. চিনি ও দ্বিতীয় ধরনের 100 লিটার শরবতে ৪ কিগ্রা চিনি আছে। আমি দু’ধরনের সরবত মিশিয়ে 150 লিটার সরবত তৈরি করব যাতে চিনি থাকবে 9 3/2 কিগ্রা.। সহ সমীকরণ গঠন করে হিসাব করে 150 লি. সরবতে দু-ধরনের সরবত কতটা পরিমান মেশাতে হবে।
সমাধান : মনে করি প্রথম প্রকার সরবত x লি. ও দ্বিতীয় প্রকার সরবত লি. মিশ্রিত করা হল।
9. গত বছরে বকুলতলা গ্রাম পঞ্চায়েত নির্বাচনে অখিলবাবু ও ছন্দাদেবী প্রার্থী ছিলেন। অখিলবাবু ছন্দাদেবীকে 75 ভোটে পরাজিত করলেন। অখিলবাবুকে যারা ভোট দিয়েছেন তাঁদের 20% যদি ছন্দাদেবীকে ভোট দিতেন তাই সে ছন্দাদেবী 19 ভোটে জিততে পারতেন। কে কত ভোট পেয়েছেন?
সমাধান : মনে করি অখিলবাবু x ভোট পেয়েছেন ও ছন্দাদেবী y ভোট পেয়েছেন।
∴ অখিলবাবু 235 ভোট পেয়েছেন ও ছন্দাদেবী 160 ভোট পেয়েছেন।
10. রফিকদের আয়তক্ষেত্রাকার মেঝের দৈর্ঘ্য 2 মিটার ও প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 75 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। কিন্তু দৈর্ঘ্য 2 মিটার হ্রাস ও প্রস্থ 3 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 15 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। রফিকদের মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।
সমাধান : মনে করি, রফিকদের আয়তক্ষেত্রফল মেঝের x মি. ও প্ৰস্থ y মিটার।
দৈর্ঘ্য x মি. ও প্রস্থ y মি.।
(x+2) (y+3) =xy +75
xy+3x+2y+6 = xy + 75
3x + 2y = 69 …….(1)
আবার, (x—2) (y+3) = 2y+15
xy + 3x – 2y – 6 =xy+15
3x – 2y = 21 …..(ii)
(i) (ii) করে পাই 6x = 90 x = 15
3x – 2y = 21
3×15-2y – 21
2y = 45-21 = 24 ∴ y = 12
∴ মেঝের দৈর্ঘ্য 15 মি. ও প্রস্থ 12 মি.।
11. আমার বন্ধু মেরি ইশানকে বলল, তোমার টাকার x/3 আমায় দাও তাহলে আমার 200 টাকা হবে। ঈশান মেরিকে বলল, তোমার টাকার অধিক আমাকে দিলে আমার 200 টাকা হবে। কার কাছে কত টাকা আছে?
সমাধান : মনে করি, মেরির কাছে x টাকা আছে ও ঈশানের কাছে y টাকা আছে।
∴ মেরি ও ঈশান উভয়ের কাছে 150 টাকা আছে।
12. আজ দাদা ও তার কিছু বন্ধুরা এক সাথে মেলায় যাবে। তাই আমার দাদু তাদের মধ্যে কিছু টাকা সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন। যদি 2 জন বন্ধু কম থাকত তবে প্রত্যেকে 18 টাকা পেত। আবার যদি 3 জন বন্ধু বেশি থাকত তবে প্রত্যেকে 12 টাকা পেত। দাদারা কতজন মেলায় গিয়েছিল এবং দাদু মোট কত টাকা ওদের মধ্যে সমান ভাগ করে দিয়েছিলেন?
সমাধান : মনে করি x জন মেলায় গিয়েছিল ও p টাকা ভাগ করে দেওয়া হয়েছিল।
∴ 12 জন মেলায় গিয়েছিল ও 180 টাকা সমান ভাগে ভাগ করা হয়েছিল।
13. আমার দাদার একটি থলিতে 1 টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা মিলিয়ে মোট 350 টাকা আছে। আমার বোন ওই টাকার থলি থেকে এক তৃতীয়াংশ 50 পয়সা বের করে তার জায়গায় সমসংখ্যক। 1 টাকার মুদ্রা রেখে দিল এবং এখন ওই থলিতে মোট টাকার পরিমান 400 টাকা হলো। প্রথমে দাদার থলিতে আলাদাভাবে 1 টাকার মুদ্রা ও 50 পয়সার মুদ্রা কতগুলি ছিল?
সমাধান : মনে করি থলিতে x সংখ্যক 1 টাকার মুদ্রা ও y সংখ্যক 50 পয়সার মুদ্রা ছিল।
থলিতে 200টি 1 টাকার মুদ্রা ও 300টি 50 পয়সার মুদ্রা ছিল।
The Complete Educational Website