WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 7 বহুপদী সংখ্যামালা
WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 7 বহুপদী সংখ্যামালা
West Bengal Board 9th Class Math Solutions Chapter 7 বহুপদী সংখ্যামালা
West Bengal Board 9th Math Solutions
কযে দেখি 7.1
1. নীচের কোন কোন ক্ষেত্রে বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি বহুপদী সংখ্যামালা লিখি। যেগুলি বহুপদী সংখ্যামালা তাদের প্রত্যেকের মাত্রা লিখি।
(i) বহুপদী সংখ্যামালা, মাত্রা = 6
(ii) বহুপদী সংখ্যামালা নয়
(iii) বহুপদী সংখ্যামালা, মাত্রা = 3
(iv) বহুপদী সংখ্যামালা নয়
(v) বহুপদী সংখ্যামালা, মাত্রা = 5
(vi) বহুপদী সংখ্যামালা নয়
(vii) বহুপদী সংখ্যামালা, মাত্রা = 1
(viii) বহুপদী সংখ্যামালা নয়
(ix) বহুপদী সংখ্যামালা নয়
(x) বহুপদী সংখ্যামালা, মাত্রা = 3
(xi) বহুপদী সংখ্যামালা, মাত্রা = 2
2. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি একচল বিশিষ্ট একঘাত সংখ্যামালা, কোন্টি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সংখ্যামালা এবং কোনটি একচলবিশিষ্ট ত্রিঘাত সংখ্যামালা লিখি।
(i) 2x + 17
(ii) x3 + x2 + x + 1
(iii) –3 + 2y2 + 5xy
(iv) 5 – x – x3
(v) √2 + t – t2
(vi) √5x
Ans. (i) একচল বিশিষ্ট একঘাত সংখ্যামালা
(ii) একচল বিশিষ্ট ত্রিঘাত সংখ্যামালা
(iii) দ্বিচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সংখ্যামালা
(iv) একচল বিশিষ্ট ত্রিঘাত সংখ্যামালা
(v) একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সংখ্যামালা
(vi) একচল বিশিষ্ট একঘাত সংখ্যামালা
3. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির নির্দেশ অনুযায়ী সহগ লিখি।
(i) 5x3 – 13x2 + 2-এর x3 -এর সহগ
(ii) x2 – x + 2 -এ x-এর সহগ
(iii) 8x – 19-এর x2-এর সহগ
(iv) √11 – 3√11x + x2 -এর x°-এর সহগ
Ans. (i) x3 -এর সহগ 5
(ii) x-এর সহগ – 1
(iii) x2 -এর সহগ 0
(iv) x° -এর সহগ √11
4. আমি নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলিকে প্রত্যেকটির মাত্রা লিখি
(i) x4 + 2x3 + x2 + x (ii) 7x – 5 (iii) 16 (iv) 2 – y – y3 (v) 7t (vi) 5 – x2 + x19
Ans. (i) মাত্রা = 4
(ii) মাত্রা = 1
(iii) মাত্রা = 0
(iv) মাত্রা = 3
(v) মাত্রা = 1
(vi) মাত্রা = 19
5. আমি দুটি আলাদা একচলবিশিষ্ট দ্বিপদী সংখ্যামালা লিখি যাদের মাত্রা 17
Ans. x17 + 10, 5x17 – 9.
6. আমি দুটি আলাদা একচলবিশিষ্ট একপদী সংখ্যামালা লিখি যাদের মাত্রা 4
Ans. 5x4, 10x4.
7. আমি দুটি আলাদা একচলবিশিষ্ট ত্রিপদী সংখ্যামালা লিখি যাদের মাত্রা 3
Ans. 3x3 + 2x + 4, 5x3 – x + 10
৪. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনগুলি একচলবিশিষ্ট, কোনগুলি দুইচলবিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা এবং কোনগুলি বহুপদী সংখ্যামালা নয় তা লিখি
(i) x2 + 3x + 2 (ii) x2 + y2 + a2 (iii) y2 – 4ax (iv) x + y + 2 (v) x8 + y4 + x5y9 (vi) x + 5/x
Ans. (i) একচল বিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা
(ii) দুইচল বিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা
(iii) দুইচল বিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা
(iv) দুইচল বিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা
(v) দুইচল বিশিষ্ট বহুপদী সংখ্যামালা
(vi) বহুপদী সংখ্যামালা নয়
কষে দেখি 7.2
1. যদি f(x) = x2 + 9x – 6 হয়, তাহলে f(0), f(1) ও f(3)-এর মান হিসাব করে লিখি।
Ans. f(x) = x2 + 9x – 6
∴ f (0) = 0 + 0.0 – 6 = – 6
∴ f(1) = 12 + 9.1 – 6 = 1 + 9 – 6 = 4
∴ f(3) = 3² + 9.3 – 6 = 9 + 27 – 6 = 30
2. নীচের বহুপদী সংখ্যামালা f(x)-এর f(1) ও f(− 1) -এর মান হিসাব করে লিখি-
(i) f(x) = 2x3 + x2 + x + 4
(ii) f(x) =3x4 – 5x3 + x2 + 8
(iii) f(x) = 4 + 3x – x3 + 5x6
(iv) f(x) = 6 + 10x – 7x2
Ans. (i) f(x) = 2.12 + 12 + 1 + 4 = 8
3. নীচের বিবৃতগুলি যাচাই করি-
(i) P(x) = x – 1 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 1
(ii) P(x) = 3 – x বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 3
(iii) P(x) = 5x + 1 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য – 1/5
(iv) P(x) = x2 – 9 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্যদ্বয় 3 ও − 3
(v) P(x) = x2 – 5x বহুপদী সংখ্যামালার শূন্যদ্বয় 0 এবং 5
(vi) P(x) = x2 – 2x – 8 বহুপদী সংখ্যামালার শূন্যদ্বয় 4 এবং (– 2)
Ans. (i) x − 1 = 0 (ii) 3 – x = 0 (iii) 5x + 1 = 0
কষে দেখি 7.3
2. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে (x – 1) দ্বারা নীচের বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করলে কী কী ভাগশেষ পাব হিসাব করে লিখি।
(i) x3 – 6x2 + 13x + 60
(ii) x3 – 3x2 + 4x + 50
(iii) 4x3 + 4x2 – x − 1
(iv) 11x3 – 12x2 – x + 7
Ans. x − 1 = 0
বা, x = 1
(i) 1³ – 6.1² + 13.1 + 60
= 13 – 6 + 13 + 60 = 1 − 6 + 13 + 60 = 68
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = 68
(ii) নির্ণেয় ভাগশেষ = 13 – 3.12 + 4.1 + 50 = 1 – 3 + 4 + 50 = 52
(iii) নির্ণেয় ভাগশেষ = 4.13 + 4.12 – 1 – 1 = 4 + 4 – 2 = 6
(iv) নির্ণেয় ভাগশেষ = 11.13 – 12.12 – 1 + 7 = 11 – 12 – 1 + 7 = 5
3. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে ভাগশেষ লিখি যখন-
(i) (x – 3) দ্বারা (x3 – 6x2 + 9x – 8) বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করা হয়।
(ii) (x – a) দ্বারা (x3 – ax2 + 2x – a) বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করা হয়।
Ans. (i) x − 3 = 0
বা, x = 3
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = 3³ – 6.3² + 9.3 – 8 = 27 – 54 + 27 – 8 = – 8
(ii) x − a = 0
বা, x = a
4. ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে p(x) = 4x3 + 4x2 – x − 1 বহুপদী সংখ্যামালা (2x + 1)-এর গুনিতক কিনা হিসাব করি।
5. (x – 4) দ্বারা (9x3 + 3x2 – 3) এবং (2x3 – 5x + a) বহুপদী সংখ্যামালাদ্বয়কে ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে তবে a-এর মান কী হবে হিসাব করি।
Ans. x – 4 = 0
বা, x = 4
ধরি p(x) = ax3 + 3x2 – 3
বা, p(4) = a.43 + 3.42 – 3 = 64a + 48 – 3 = 64a + 45………..(i)
ধরিq (x) = 2x3 – 5x + a
∴ q(4) = 2.43 – 5.4 + a = 128 – 20 + a = a + 108……….(ii)
শর্তানুসারে,
64a + 45 = a + 108
বা, 63a = 63
বা, a = 1
∴ a = 1
6. x3 + 2x2 – px – 7 এবং x3 + px2 – 12x + 6 এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালাকে যথাক্রমে (x + 1) ও (x – 2) – দ্বারা ভাগ করলে যদি R1 ও R2 ভাগশেষ পাওয়া যায় এবং যদি 2R1 +R2 = 6 হয় তবে p-এর মান হিসাব করি।
Ans. x + 1 = 0
বা, x = – 1
ধরি p(x) = x3 + 2x2 – px – 7
∴ p(− 1) = (− 1)3 + 2.(− 1)2 – p(– 1) – 7 = − 1 + 2 + p – 7 = p – 6
x – 2 = 0
বা, x = 2
ধরি q(x) = x3 + px2 – 12x + 6
∴ q(z) = 23 + p.22 – 12.2 + 6 = 8 + 4p – 24 + 6 = 4p – 10
শর্তানুসারে,
2(p – 6) + 4p – 10 = 6
7. x4 – 2x3 + 3x2 – ax + b বহুপদী সংখ্যামালাকে (x – 1) এবং (x + 1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ যথাক্রমে 5 এবং 19 হয়। ওই বহুপদী সংখ্যামালাকে x + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে হিসাব করি।
Ans. ধরি f(x) = x4 – 2x3 + 3x2 – ax + 6
x − 1 = 0
বা, x = 1
f(1) = 14 – 2.13 + 3.12 – a.l + b = 1 – 2 + 3 – a + b = 2 – a + b
x + 1 = 0
বা, x = – 1
∴ f(− 1) = (− 1)4 – 2(−1)3 + 3(– 1)2 – a.(− 1) + b
= 1 + 2 + 2 + a + b = a + b + 6
শর্তানুসারে,
2 – a + b = 5
বা, – a + b = 3 ……….(i)
এবং a + b + 6 = 19
বা, a + b = 13 ………..(ii)
(i) এবং (ii) কে সমাধান করে পাই
a = 5, b = 8
∴ f(x) = x4 – 2x3 + 3x2 – 5x + 8
এখন x + 2 = 0
বা, x = – 2
∴ f(–2) = (–2)4 – 2.(–2)3 + 3.(–2)2 – 5(–2) + 8
= 16 + 16 + 12 + 10 + 8 = 62
∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = 62
8. f(x) = ax + b এবং f(0) = 3, f(2) = 5 হলে a ও b-এর মান নির্ণয় করি।
Ans. f(x) = ax + b
∴ f(0) = a.0 + b = b
শর্তানুসারে, f(0) = 3
বা, b = 3
শর্তানুসারে, f(2) = 5
বা, 2a + 3 = 5
বা, a = 1
∴ a = 1, b = 3
কষে দেখি 7.4
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলির মধ্যে কোনগুলির একটি উৎপাদক (x + 1) হিসাব করে লিখি।
(i) 2x3 + 3x2 – 1
(ii) x4 + x3 – x2 + 4x + 5
(iii) 7x3 + x2 + 7x + 1
(iv) 3 + 3x – 5x3 – 5x4
(v) x4 + x2 + x + 1
(vi) x3 + x2 + x + 1
Ans. x + 1 = 0
বা, x = – 1
(i) 2(− 1)³ + 3.(− 1)² – 1 = − 2 + 3 − 1 = 0
∴ (x + 1), 2x3 + 3x2 – 1-এর উৎপাদক।
(ii) (− 1)4 + (− 1)³ − (− 1)² + 4.(− 1) + 5
= 1 − 1 − 1 − 4 + 5 = 0
∴ (x + 1), x4 + x3 − x2 + 4x + 5 এর উৎপাদক।
(iii) 7(− 1)³ + (− 1)² + 7(− 1) + 1
= − 7 + 1 − 7 + 1 = − 12
∴ (x + 1), 7x3 + x2 + 7x + 1 এর উৎপাদক নয়।
(iv) 3 + 3.(− 1) − 5.(−1)³ − 5.(− 1)4
= 3 − 3 + 5 − 5 = 0
∴ (x + 1), 3 + 3x – 5x3 – 5x4 এর উৎপাদক।
(v) (− 1)4 + (− 1)² + (− 1) + 1
= 1 + 1 − 1 + 1 = 2
∴ (x + 1), x4 + x2 + x + 1 এর উৎপাদক নয়।
(vi) (– 1)3 + (– 1)2 + (− 1) + 1
= − 1 + 1 − 1 + 1 = 0
∴ (x + 1), x3 + x2 + x + 1 এর উৎপাদক।
2. গুণনীয়ক উপপাদ্য ব্যবহার করে নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি f(x)-এর একটি উৎপাদক g(x) কিনা লিখি।
(i) f(x) = x4 – x2 – 12 এবং g(x) = x + 2
(ii) f(x) = 2x3 + 9x2 – 11x – 30 এবং g(x)
= x + 5
(iii) f(x) = 2x3 + 7x2 – 24x – 45 এবং g(x)
= x – 3
(iv) f(x) = 3x3 + x2 – 20x + 12 এবং g(x)
= 3x – 2
Ans. f(x) = x4 – x2 – 12 এবংg ( x )
= x + 2
ধরি g(x) = 0
∴ x + 2 = 0
বা, x = – 2
∴ f(–2) = (–2)4 – (–2)² – 12
= 16 – 4 – 12 = 0
∴ g(x) = x + 2; f(x) = x4 – x2 – 12 এর উৎপাদক।
(ii) f(x) = 2x3 + 9x2 – 11x – 30 এবংg (x)
= x + 5
ধরি g(x) = 0
∴ x + 5 = 0
বা, x = – 5
এখন f(−5) = 2(– 5)3 + 9.(– 5)2 – 11 (– 5) − 30
= − 250 + 225 + 55 − 30
= 280 − 280 = 0
∴ g(x) = x + 5, f(x) = 2x3 + 9x2 – 11x – 30 এর উৎপাদক। T
(iii) f(x) = 2x3 + 7x2 – 24x − 45 এবং g (x)
= x − 3
ধরি g(x) = x − 3 = 0
∴ x = 3
∴ f(3) = 2.33 + 7.32 − 24.3 − 45
= 54 + 63 − 72 − 45
= 117 − 117 = 0
∴ g(x) = x − 3, f(x) = 2x3 + 7x2 – 24x − 45 এর উৎপাদক।
(iv) f(x) = 3x3 + x2 – 20x + 12 এবং g(x)
= 3x − 2
মনেকরি g(x) = 0
∴ 3x − 2 = 0
∴ g(x) = 3x – 2, f(x) = 3x3 + x2 – 20x + 12 এর উৎপাদক।
3.k-এর মান কত হলে x + 2 দ্বারা 2x4 + 3x3 + 2kx2 + 3x + 6 বহুপদী সংখ্যামালাটি বিভাজ্য হবে হিসাব করে লিখি।
Ans. x + 2 = 0
বা, x = – 2
∴ f (− 2) = 2.(− 2)4 + 2.(− 2)³ + 2.k.(− 2)² + 3.(−2) + 6
যদি (x + 2), f(x) এর উৎপাদক হয় তবে f(− 2) = 0 হবে
∴ 16 + 8k = 0
বা, k = – 2
∴ k এর মান = – 2
4. k-এর মান কত হলে নীচের বহুপদী সংখ্যামালাগুলি f(x)-এর একটি উৎপাদক g(x) হবে হিসাব করি-
(i) f(x) = 2x3 + 9x2 + x + k এবং g(x) = x − 1
(ii) f(x) = kx2 – 3x + k এবং g(x) = x – 1
(iii) f(x) = 2x4 + x3 – kx2 – x + 6 এবং g(x) = 2x – 3
(iv) f(x) = 2x3 + kx2 + 11x + k + 3 এবং g(x) = 2x – 1
5. ax4 + 2x3 – 3x2 +bx – 4 বহুপদী সংখ্যামালার উৎপাদক x2 – 4 হলে a ও b এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।
Ans. x2 – 4 = 0
বা, (x + 2) (x – 2) = 0
বা, x = – 2, 2
মনেকরি, f(x) = ax4 + 2x3 – 3x2 + bx – 4
∴ f(–2) = a.(–2)4 + 2.(−2)³ – 3.(− 2)² + b.(–2) – 4
= 16a – 16 – 12 – 2b – 4
= 16a – 2b – 32
f(2)=a.24 +2.2³ – 3.2² + b.2 – 4
= 16a + 16 – 12 + 2b – 4
= 16a + 2b.
শর্তানুসারে, 16a – 2b – 32 = 0
বা, 16a – 2b = 32
বা, 8a – b = 16………(i)
এবং 16a + 2b = 0
বা, ৪a + b = 0..……………..(ii)
(i) নং (ii) নং সমীকরণের সমাধান করে পাই,
a = 1, b = – 8
∴ a = 1, b = – 8
6. x3 + 3x2 + 2ax + b বহুপদী সংখ্যামালার দুটি উৎপাদক (x + 1) এবং (x + 2) হলে, a ও b এর মান কত হবে হিসাব করে লিখি।
Ans. x + 1 = 0
বা, x = − 1
x + 2 = 0
বা, x = – 2
মনেকরি, f(x) = x3 + 3x2 + 2ax + b
∴ f(− 1) = (− 1)3 + 3.(− 1)2 + 2a.(−1) + b
= − 1 + 3 – 2a + b
= − 2a + b + 2
f(− 2) = (−2)³ + 3.(− 2)² + 2.a.(− 2) + b
= − 8 + 12 − 4a + b
= − 4a + b + 4
শর্তানুসারে, – 2a + b + 2 = 0
বা, 2a – b = 2……..(i)
এবং − 4a + b + 4 = 0
বা, 4a – b = 4……….(ii)
(i) নং (ii) নং সমীকরণের সমাধান করে পাই,
a = 1, b = 0
∴ a = 1, b = 0
7. ax3 + bx2 + x – 6 বহুপদী সংখ্যামালাকে (x – 2 ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হয় এবং এই বহুপদী সংখ্যামালার একটি উৎপাদক x + 2 হলে a ও b-এর মান কত হবে হিসাব করি।
Ans. x − 2 = 0
বা, x = 2
মনেকরি, f(x) = ax3 + bx2 + x – 6
∴ f(2) = a.23 + b22 + 2 − 6
= 8a + 4b − 4
x + 2 = 0
বা, x = − 2
∴ f(– 2) = a.(– 2)3 + b.(−2)2 + (−2) – 6
= − 8a + 4b − 2 − 6
= − 8a + 4b − 8
শর্তানুসারে, ৪a + 4b – 4 = 4
বা, 8a + 4b = 8 ……….(i)
এবং − 8a + 4b − 8 = 0
বা, – 2a + b − 2 = 0
বা, – 2a – b = 2
বা, 2a – b = – 2………(ii)
(i) নং (ii) নং সমীকরণের সমাধান করে পাই,
a = 0, b = 2
∴ a = 0, b = 2
8. n যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে দেখাই যে xn – yn বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক x − y.
Ans. x – y = 0
বা, x = y
মনেকরি, f(x, y) = xn – yn
∴ f(x, x) = xn – xn = 0
∴ x – y, xn – yn এর উৎপাদক।
9. n যেকোনো অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে দেখাই যে xn + yn বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক x + y.
Ans. x + y = 0
বা, x = − y
মনেকরি, f(x, y) = xn + yn
বা, f(x, y) = (–y)n + yn
= − yn + yn (যেহেতু n অযুগ্ম)
= 0
∴ x – y, xn – yn এর উৎপাদক।
10. n যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (যুগ্ম বা অযুগ্ম) হলে দেখাই যে xn + yn বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক কখনই x – y হবে না।
Ans. x – y = 0
বা, x = y
মনেকরি, f(x, y) = xn + yn
বা, f(y, y) = yn + yn
= 2yn ≠ 0
∴ x – y, xn + yn এর উৎপাদক।
The Complete Educational Website