Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.1

प्रश्न 1.
बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए-
(i) (2,3), (4,1)
(ii) (-5, 7), (-1,3)
(iii) (a, b), (-a,-b)
हल :
(i) माना A(2, 3) व B(4, 1) है।
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी

(ii) माना A(-5, 7) व B(-1, 3) है।
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी

(iii) माना A(a, b) व B(-a,-b) है।
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी

प्रश्न 2.
बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं ?
[अनुच्छेद 7.2 एक शहर B एक अन्य शहर A से 36 km पूर्व और 15 km उत्तर की ओर है तो शहर B की शहर A से दूरी ज्ञात कीजिए]
हल :

माना P (0, 0) व Q(36, 15) है।
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी

अनुच्छेद 7.2 के अनुसार शहर B की शहर A से दूरी = 39 km

प्रश्न 3.
निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1,5), (2, 3) और (-2,-11) सरेखी हैं।
हल :
माना तीनों बिंदु A(1, 5), B(2, 3) और C (-2, -11) हैं। ये बिंदु तभी संरेखी हो सकते हैं, जब दो रेखाखंडों की लंबाई का योग तीसरे रेखाखंड की लंबाई के समान हो।
अब दूरी सूत्र द्वारा,

समीकरण (i), (ii) व (iii) से स्पष्ट है कि किन्हीं दो रेखाखंडों का योग तीसरे रेखाखंड के समान नहीं है। अतः बिंदु (1, 5), (2, 3) व (-2, -11) संरेखी नहीं हैं।

प्रश्न 4.
जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5,-2), (6, 4) और (7,-2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल :
माना तीन बिंदु A(5,-2), B(6, 4) और C (7,-2) हैं। ये बिंदु तभी समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष होंगे, यदि किन्हीं दो रेखाखंडों की लंबाई समान होगी।
अतः दूरी सूत्र द्वारा,

समीकरण (i) व (ii) से स्पष्ट है कि AB = BC
अतः बिंदु (5, -2), (6, 4) व (7,-2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 5.
किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C और
D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?’ चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें से कौन सा सही है।

हल :
यहाँ पर आकृति अनुसार, A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4) व D(6, 1) हैं।
अब दूरी सूत्र से,


समीकरण (i), (ii), (iii), (iv), (v) व (vi)
भुजा AB = भुजा BC = भुजा CD = भुजा DA
तथा विकर्ण AC = विकर्ण BD
अतः बिंदु A, B, C व D एक वर्ग है, जिससे पता चलता है कि चंपा सही है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए
(i) (-1, -2), (1,0), (-1, 2), (-3,0)
(ii) (-3,5), (3, 1), (0, 3), (-1,-4)
(iii) (4, 5), (7,6), (4,3), (1, 2)
हल :
(i) माना दिए गए बिंदु A(-1,-2), B(1, 0), C(-1, 2), व D(-3, 0) हैं।
अब दूरी सूत्र से,

अतः AC = BD
क्योंकि चतुर्भुज की सभी भुजाएँ व विकर्ण समान हैं इसलिए ये बिंदु एक वर्ग के हैं।

(ii) माना दिए गए बिंदु A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3), व D(-1,-4) हैं।
अब दूरी सूत्र से,


भुजाओं के माप से पता चलता है कि ABCD चतुर्भुज संभव नहीं है।

(iii) माना दिए गए बिंदु A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), व D(1, 2) हैं।
अब दूरी सूत्र से,

क्योंकि AB = CD = √10
तथा BC = DA = √18
चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।

क्योंकि AC ≠ BD
अतः ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2,-5) और (-2, 9) से समदूरस्थ हैं।
हल :
माना x-अक्ष पर बिंदु A(x, 0) है जो B(2,-5) तथा C(-2, 9) से समदूरस्थ हैं।
AB = AC
AB² = AC²
(2-x)² + (-5-0)² = (-2-x)² + (9-0)²
4 + x² – 4x + 25 = 4 + x² + 4x + 81
29 – 85 = 4x + 4x
-56 = 8x
x = -56/8 =-7
अतः x-अक्ष पर वांछित बिंदु = (-7, 0)

प्रश्न 8.
y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु P(2,-3) और Q(10,y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल :
प्रश्नानुसार, P(2,-3), Q(10, y) तथा PQ = 10 मात्रक अब
PQ = 10
(PQ)² = 100
(10-2)² + (y + 3)² = 100
64 + y² +9+ 6y = 100
y² + 6y + 73 – 100 = 0
y² + 6y – 27 = 0
y + 9y – 3y – 27 = 0
y(y +9)-3(+ 9) = 0
(y + 9) (y – 3) = 0
y + 9 = 0 या y – 3 = 0
y = -9 या y = 3
अतः y का वांछित मान =-9 व 3 है।

प्रश्न 9.
यदि Q(0, 1) बिंदुओं P(5,-3) और Rx, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि बिंदु Q(0, 1) बिंदुओं P(5,-3) व R(x, 6) से समदूरस्थ है।
PQ = RQ
PQ² = RQ²
(0-5)² + [1 – (-3)]² = (0 –x)² + (1 – 6)²
(-5) + (4)² = (-x) + (-5)²
25 + 16 = x² + 25
x² = 16
x = ±4
अतः R के निर्देशांक (±4, 6) हैं। .

प्रश्न 10.
x और ” में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x,y) बिंदुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो।
हल :
माना बिंदु P(x, y) बिंदुओं A(3, 6) व B(-3, 4) से समदूरस्थ है तो
AP = BP
AP² = BP²
(x-3)² + (y-6)² = [x – (-3)]² + (y-4)²
या x² + 9 – 6x + y² + 36 – 12y = x² + 9 + 6x + y² + 16 – 8y
या x² +y² – 6x – 12y + 45 = x² + y² + 6x – 8y + 25
या 6x + 6x – 8y + 12y + 25 – 45 = 0
या 12x + 4y – 20 = 0
या 3x + y – 5 = 0