PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1
PSEB Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1
PSEB 10th Class Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1
प्रश्न 1.
सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊंचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।
हल :
मान लीजिए AB खंभे की ऊंचाई है।
AC = 20 m डोर की लंबाई है।
प्रश्न 2.
आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर ज़मीन को छने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर ज़मीन को छूता है, 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए आँधी से पहले पेड़ की लंबाई BD है।
आँधी के पश्चात् AD = AC = टूटे गए पेड़ को भाग की लंबाई।
आकृति में विभिन्न आयोजन दिखाए गए हैं।
प्रश्न 3.
एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष के कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए ?
हल :
स्थिति I. 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए
मान लीजिए AC = lm फिसलनपट्टी की लंबाई को निरूपित करता है और BC = 1.5 m फिसलनपट्टी की ऊँचाई है।
इस स्थिति में उन्नयन कोण 30° है।
आकृति में विभिन्न आयोजन दिखाए गए हैं।
स्थिति II. अधिक उम्र के बच्चों
मान लीजिए AC = l2 m फिसलन पट्टी की लंबाई को निरूपित करता है और BC = 3 m फिसलनपट्टी की ऊँचाई है।
इस स्थिति में उन्नयन कोण 60° का है।
आकृति में विभिन्न आयोजन दिखाए गए हैं।
अत: 5 वर्ष से कम उम्र तथा इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी की लंबाई है : 3 m और 2√3 m है।
प्रश्न 4.
भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। .
हल :
मान लीजिए BC = h m मीनार की ऊँचाई है और AB = 30 m भूमि स्तर पर दूरी है।
विभिन्न आयोजन आकृति में दिखाए गए हैं
प्रश्न 5.
भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बिंदु C पर पतंग की स्थिति है।
AC = 1 m पतंग के साथ लगी डोरी की लंबाई है। इस स्थिति में उन्नयन कोण 60° है।
विभिन्न आयोजन आकृति में दिखाए गए हैं।
प्रश्न 6.
1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊंचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन | कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की | ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
हल :
मान लीजिए ED = 30 m भवन की ऊँचाई है और EC = 1.5 m लड़के की ऊँचाई है।
विभिन्न स्थितियों में उन्नयन कोण क्रमश: 30° और 60° है।
आकृति में विभिन्न आयोजन दिखाए गए अनुसार हैं।
प्रश्न 7.
भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए BC = 20 m भवन की ऊँचाई है और DC = h m संचार भवन की ऊँचाई है।
भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 45° और 60° हैं।
विभन्न आयोजन आकृति में दिखाए अनुसार है
प्रश्न 8.
एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखिर का उन्नयन कोण60° है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए BC = h m पेडस्टल की ऊँचाई है और CD = 1.6 m मूर्ति की ऊँचाई है।
भूमि के बिंदु से मूर्ति के शिखर और पेडस्टल के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 45° हैं।
प्रश्न 9.
एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 m ऊंची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए BC = 50 m
मीनार की ऊँचाई है – और AD = h m भवन की ऊंचाई है।
मीनार के पाद-बिंदु से
भवन के शिखर का और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण क्रमश: 30° और 60° हैं।
विभिन्न आयोजन आकृति में दिखाए अनुसार हैं।
प्रश्न 10.
एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमनेसामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए BC = DE = h m दो बराबर खंभों की ऊँचाई है और बिंदु A अभीष्ट बिंदु है जहाँ से दोनों खंभों के उन्नयन कोण क्रमश: 30° और 60° हैं।
विभिन्न आयोजन आकृति में दिखाए अनुसार हैं।
प्रश्न 11.
एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 m दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। ( देखिए आकृति)।टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए BC = x m नहर की चौड़ाई है और CD = hm टीवी टॉवर की ऊँचाई है।
भिन्न-भिन्न स्थितियों में टॉवर के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 30° और 60° हैं।
विभिन्न आयोजन आकृति में दिखाए अनुसार हैं।
प्रश्न 12.
7m ऊंचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए BD = h m केबल टॉवर की ऊँचाई है और AE = 7 m भवन की ऊंचाई है।
केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण और पाद का अवनमन कोण क्रमशः 60° और 45° है।
विभिन्न आयोजन आकृति के अनुसार हैं।
प्रश्न 13.
समुद्र-तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
या x + 75 = 75√3
[(1) का प्रयोग करने पर]
x = 75√3 – 75
= 75 (√3 – 1)
= 75 (1.732 – 1)
= 75 ( .732)
x = 54.90
अतः दो जहाजों के बीच की दूरी 54.90 m है।
प्रश्न 14.
1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है (देखिए आकृति)। इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए 1.2 m लंबी लड़की की स्थिति ‘A’ है।
इस बिंदु से विभिन्न दूरियों पर गुब्बारे के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं।
साथ ही, BE = CD = 88.2 m गुब्बारे की ऊंचाई है।
विभिन्न आयोजन आकृति में दिखाए अनुसार हैं :
या y = 58.8√3m
y = 58.8 (1.732) = 101.8416 m
y = 101.90 m
अतः, इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी 101.90 m. है।
प्रश्न 15.
एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छः सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए CD = hm मीनार ऊँचाई है।
मान लीजिए ‘A’ कार की प्रारंभिक स्थिति है और छ: सेंकड के बाद कार B पर पहुँच जाती है।
A और B पर कार के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 60° हैं।
विभिन्न आयोजन आकृति में दिखाए अनुसार हैं।
प्रश्न 16.
मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4m और 9 m की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।
हल :
मान लीजिए CD = h m मीनार की ऊँचाई है और B ; A अभीष्ट बिंदु हैं जो मीनार से क्रमशः 4 m और 9 m की दूरी पर हैं।
विभिन्न आयोजन आकृति में दिखाए अनुसार हैं।
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