RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद

December 19, 2021

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.1

प्रश्न 1.
उस वृत्त का संमीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका
(i) केन्द्र (-2, 3) तथा त्रिज्या 4 हो।
(ii) केन्द्र (a, b) तथा त्रिज्या a – b हो।
हल-
यदि किसी वृत्त का केन्द्र (h, k) तथा त्रिज्या r हो तो उस वृत्त का समीकरण होगा।
(x – h)² + (y – k)² = r²
(i) यहाँ h = – 2, k = 3 तथा r = 4
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण
{x – (-2)}² + (y – 3)² = 4²
(x + 2)² + (y – 3)² = 16
x² + 4 + 4x + y² + 9 – 16y = 16
x² + y² + 4x – 6y – 3 = 0

(ii) यहाँ h = a, k = b तथा r = a – b
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण
(x – a)² + (y – b)² = (a – b)²
x² + a² – 2ax + y² + b² – 2by = a² + b² – 2ab
x² + y² – 2ax – 2by + 2ab = 0

प्रश्न 2.
निम्न वृत्तों के केन्द्र के निर्देशांक तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए-
(i) x(x + y – 6) = (x – y + 8)
(ii)

$\sqrt { 1+{ k }^{ 2 } }$ (x² + y²) = 2ax + 2aky
(iii) 4(x² + y²) = 1
हल-
वृत्त का व्यापक समीकरण
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
यहाँ वृत्त का केन्द्र = (-g, -f)
वृत्त की क्रिया = $\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c }$

(i) वृत्त का दिया गया समीकरण,
x(x + y – 6) = y(x – y + 8)
x² + xy – 6x = xy – y² + 8y
x² + y² – 6x – 8y = 0
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(ii) वृत्त को दिया गया समीकरण
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= a

(iii) दिया गया वृत्त का समीकरण
4(x² + y²) = 1
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वृत्त जिसका केन्द्र (0, 0) व त्रिज्या r हो तो उसका समीकरण x² + y² = r² होता है। अतः अभीष्ट केन्द्र = (0, 0) तथा क्रिज्या = $\frac { 1 }{ 2 }$

प्रश्न 3.
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष को स्पर्श करे तथा x-अक्ष पर 2l लम्बाई का अन्त:खण्ड काटे ।
हल-
माना अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या r है तब चित्रानुसार y-अक्ष को स्पर्श करने वाले तथा x-अक्ष पर 2l लम्बाई का अन्त:खण्ड काटने वाले वृत्त के केन्द्र के
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प्रश्न 4.
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो x-अक्ष को मूल बिन्दु से +3 दूरी पर स्पर्श करता है तथा y-अक्ष पर 6 इकाई लम्बाई का अन्त:खण्ड काटता है।
हल-
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अभीष्ट वृत्त मूल बिन्दु से +3 दूरी पर स्पर्श करता है तब ऐसे दो वृत्त होंगे जो y-अक्ष पर 6 लम्बाई का अन्त:खण्ड काटें। वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्बे जीवा को समद्विभाजित करता है अतः चित्रानुसार
AD² = AC² + CD²
AD² = 3² + 3² = 2 x 3²
AD = ±3√2
अतः वृत्त की त्रिज्या = 3√2 एवं वृत्त के केन्द्र = (3,3√2) व (3,-3√2)
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प्रश्न 5.
वृत्त x² + y² – 8x + 10y – 12 = 0 का केन्द्र एवं त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल-
दिए गए समीकरण के अनुसार
x² + y² – 8x + 10y – 12 = 0
या (x² – 8x) + (y² + 10y) = 12
या (x² – 8x + 16) + (y² + 10y + 25) = 12 + 16 + 25
या (x – 4)² + (y + 5)² = 53
इसकी तुलना (x – h)² + (y – k)² = r² से करने पर
h = 4, k = – 5 तथा त्रिज्या r = √53
अतः वृत्त का केन्द्र (4, – 5) तथा त्रिज्या r = √53

प्रश्न 6.
वृत्त 2x² + 2y² – x = 0 का केन्द्र एवं क्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल-
दिए गए समीकरण के अनुसार
2x² + 2y² – x = 0
या x² + y² – $\frac { x }{ 2 }$ = 0
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प्रश्न 7.
बिन्दुओं (2, 3) और (- 1, 1) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र रेखा x – 3y – 11 = 0 पर स्थित है।
हल-
माना कि वृत्त का समीकरण (x – h)² + (y – k)² = r² है।
अतः बिन्दु (2, 3) तथा (-1, 1) से गुजरने वाले वृत्तों के समीकरण ।
(2 – h)² + (3 – k)² = r² …..(1)
तथा (-1 – h)² + (1 – k)² = r²…..(2)
क्योंकि इन वृत्तों का केन्द्र रेखा x – 3y – 11 = 0 पर स्थित है।
अतः
h – 3k = 11 …..(3)
समीकरण (1) को हल करने पर (2 – h)² + (3 – k)² = r²
या 4 – 4h + h² + 9 – 6k + k² = r²
या 13 – 4h + h² – 6k + k² = r² …..(4)
समीकरण (2) को हल करने पर (- 1 – h)² + (1 – k)² = r²
या 1 + 2h + h² + 1 – 2k + k² = r²
या 2 + 2h + h² – 2k + k² = r² …..(5)
समीकरण (4) व (5) से
13 – 4h + h² – 6k + k² = 2 + 2h + h² – 2k + k²
या 13 – 2 – 4h – 2h + h² – h² – 6k + 2k + k² – k² = 0
या 11 – 6h – 4k = 0
या 6h + 4k = 11 …..(6)
समीकरण (3) व (6) से अर्थात् h – 3k = 11
6h + 4k = 11
समीकरण (3) में 4 का व (6) में 3 का गुणा करने पर
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h का यह मान समीकरण (6) में रखने पर ।

k व h के ये मान समीकरण (1) में रखने पर

अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण
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या x² – 7x + y² + 5y = $\frac { 56 }{ 4 }$
या x² + y² – 7x + 5y – 14 = 0

प्रश्न 8.
त्रिज्या 5 के उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र x अक्ष पर हो और जो बिन्दु (2, 3) से जाता है।
हल-
माना कि वृत्त का समीकरण (x – h)² + (y – k)² = r है।
प्रश्नानुसार वृत्त बिन्दु (2, 3) से जाता है तथा इसकी त्रिज्या 5 है। अर्थात्
(2 – h)² + (3 – k)² = 25
या 4 – 4h + h² + 9 – 6k + k² = 25
या – 12 – 4h + h² – 6k + k² = 0 …..(1)
∵ इस वृत्त का केन्द्र भी x-अक्ष पर है ∴ k = 0 …..(2)
k का यह मान समीकरण (1) में रखने पर
– 12 – 4h + h² = 0
या h² – 4h – 12 = 0
या h² – 6h + 2h – 12 = 0
या h (h – 6) + 2 (h – 6) = 0
या (h – 6) (h + 2) = 0
∴ h = 6, – 2
अब समीकरण (x – h)² + (y – k)² = r² में h = 6, k = 0 तथा r = 5 रखने पर
(x – 6)² + (y – 0)² = 25
या x² – 12x + 36 + y² = 25
या x² + y² – 12x + 11 = 0
पुनः समीकरण (x – h)² + (y – k)² = r² में h = – 2, k = 0 तथा r = 5 रखने पर।
(x + 2)² + (y – 0)² = 25
या x² + 4x + 4 + y² = 25
या x² + y ²+ 4x – 21 = 0

प्रश्न 9.
(0, 0) से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों पर a और b अंत:खण्ड बनाता है।
हल-
प्रश्नानुसार वृत्त मूलबिन्दु (0, 0) से होकर जाता है तथा निर्देशांकों पर a और b अंत:खण्ड बनाता है।
∴ OA = a
∴ A के निर्देशांक = (a, 0)
तथा OB = b
∴ B के निर्देशांक = (0, b)
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∴ x² + y² – ax – by = 0
यही वृत्त का अभीष्ट समीकरण है।

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प्रश्न 1.
वृत्त x² + y² = 25 तथा रेखा 4x + 3y = 12 के प्रतिच्छेद बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए तथा प्रतिच्छेद जीवा की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।
हल-
दिये गये वृत्त का समीकरण
x² + y² = 25 ….(1)
रेखा का समीकरण
4x + 3y = 12
3y = 12 – 4x
$y=\frac { 12-4x }{ 3 }$ ….(2)
y का मान समीकरण (1) में रखने पर
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⇒ 9x² + (12 – 4x)² = 225
⇒ 9x² + 144 – 96x + 16x² = 225
⇒ 25x² – 96x = 225 – 144
⇒ 25x² – 96x = 81
⇒ 25x² – 96x – 81 = 0

प्रश्न 2.
यदि वृत्त x² + y² = a² सरल रेखा y = mx + c पर 2l लम्बाई का अन्त:खण्ड काटता हो, तो सिद्ध कीजिए–
c² = (1 + m²)(a² – l²)
हल-
हम जानते हैं कि जीवा के अन्त:खण्ड की लम्बाई
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l²(1 + m²) = a²(1 + m) – c²
c² = a²(1 + m²) – l²(1 + m²)
c² = (1 + m²)(a² – l²)
इतिसिद्धम्

प्रश्न 3.
वृत्त x² + y² = c² द्वारा रेखा $\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1$ पर काटे गये अन्त:खण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि वृत्त एवं रेखा के प्रतिच्छेद बिन्दु P तथा Q हैं।
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OM = बिन्दु O(0, 0) से रेखा $\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1$ लम्ब की लम्बाई

प्रश्न 4.
k के किस मान के लिए रेखा 3x + 4y = k वृत्त x² + y² = 10x को स्पर्श करती है।
हल-
दिये गये वृत्त के समीकरण से-
x² + y² – 10x = 0
केन्द्र (5, 0)
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वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखा पर डाला गया लम्ब वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगा।
स्पर्श रेखा का समीकरण-
3x + 4y – k = 0
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15 – k = ±25
धनात्मक चिह्न लेने पर
15 – k = 25
15 – 25 = k
∴ k = -10
ऋणात्मक चिह्न लेने पर
15 – k = – 25
15 + 25 = k
∴ k = 40

प्रश्न 5.
वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जब-
(i) रेखा y = mx + c वृत्त (x – a)² + (y – b)² = r² को स्पर्श करे।
(ii) रेखा lx + my + n = 0 वृत्त x² + y² = a² को स्पर्श करे।।
हल-
(i) सरल रेखा वृत्त को स्पर्श करेगी यदि केन्द्र से रेखा पर लम्ब = वृत्त की त्रिज्या
यहाँ (a, b) वृत्त का केन्द्र तथा r त्रिज्या है।
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वर्ग करने पर-
(b – am – c)² = r²(1 + m²)
(b – c – am)² = r² + r²m²
(b – c)² – 2a(b – c)m + a²m² = r² + r²m²
m²(a² – r²) – 2am(b – c) + (b – c)² = y

(ii) रेखा lx + my + n = 0 वृत्त x² + y² = a को स्पर्श करे।
स्पर्श करने का प्रतिबन्ध
c² = a²(1 + m²) ….(i)
रेखा के समीकरण से
lx + my = -n
my = – lx – n
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n² = a²(m² + l²)

प्रश्न 6.
(i) वृत्त x² + y² = 64 की उस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (4, 7) से गुजरती है।
(ii) वृत्त x² + y² = 4 की उस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष से 60° का कोण बनाती है।
हल-
(i) बिन्दु (4, 7) से गुजरने वाली स्पर्श रेखा का समीकरण
(y – y₁) = m(x – x₁)
(y – 7) = m(x – 4)
y – 7 = mx – 4m
mx – y – 4m + 7 = 0
समी. (1) की रेखा वृत्त x² + y² = 64 को स्पर्श करती है। इसलिए वृत्त के केन्द्र (0, 0) से स्पर्श रेखा पर डाला गया लम्ब वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगा
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⇒ (7 – 4m)² = 64(m² + 1)
⇒ 49 – 56m + 16m² = 64m² + 64
⇒ 64m² + 64 – 49 + 56m – 16m² = 0
⇒ 48m² + 56m + 15 = 0
⇒ 48m² + 36m + 20m + 15 = 0
⇒ 12m(4m + 3) + 5(4m + 3) = 0
⇒ (12m + 5)(4m + 3)= 0
यदि 12m + 5 = 0
∴ $m=\frac { -5 }{ 12 }$
या 4m + 3= 0
⇒ $m=\frac { -3 }{ 4 }$
समीकरण (1) में मान $m=\frac { -5 }{ 12 }$ रखने पर
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– 5x – 12y + 20 + 84 = 0
– 5x – 12 + 104 = 0
5x + 12y – 104 = 0
समीकरण (1) में $m=\frac { -3 }{ 4 }$ रखने पर
mx – y – 4m + 7 = 0

– 3x – 4y + 40 = 0
3x + 4y – 40 = 0

(ii) स्पर्श रेखा का समीकरण ढाल के रूप में
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प्रश्न 7.
c का मान ज्ञात कीजिए कि रेखा y = c वृत्त x² + y² – 2x + 2y – 2 = 0 के बिन्दु (1, 1) पर स्पर्श रेखा हो।
हल-
स्पर्श रेखा का समीकरण
xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0
x × 1 + y × 1 – 1(x + 1) + 1(y + 1) – 2 = 0
x + y – x – 1 + y + 1 – 2 = 0
2y – 2 = 0
y = 1….(1)
दी गई स्पर्श रेखा
y = c ….(2)
समीकरण (1) तथा (2) की तुलना करने पर
c = 1

प्रश्न 8.
वृत्त x² + y² = 169 के बिन्दुओं (5, 12) तथा (12, -5) पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि वे परस्पर लम्बवत् होंगी। इनके प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक भी
ज्ञात कीजिए।
हल-
x² + y² = 169 ….(1)
बिन्दु (5, 12) पर वृत्त (1) की स्पर्श रेखा का समीकरण
5x + 12y = 169 ….(2)
बिन्दु (12, -5) पर वृत्त (1) की स्पर्श रेखा का समीकरण
12x – 5y = 169 ….(3)
रेखा (2) का ढाल = $\frac { -5 }{ 12 }$ = m₁
रेखा (3) का ढाल = $\frac { 12 }{ 5 }$ = m₂
चूँकि m₁m₂ = – 1
अतः रेखा (2) तथा (3) एक-दूसरे को समकोण पर काटती
समीकरण (2) तथा (3) को हल करने पर
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अतः प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक–(17, 7)

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प्रश्न 1.
उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) नाभि (2, 3) तथा नियता x – 4y + 3 = 0 है।
(ii) नाभि (-3, 0) तथा नियता x + 5 = 0 है।
हल-
(i) माना परवलय पर कोई चर बिन्दु P(h, k) है। परवलय की परिभाषानुसार
SP = PM
जहाँ S नाभि तथा M, रेखा पर लम्बपाद है।
SP² = PM²
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17{h² + 4 – 4h + k² + 9 – 6k} = (h – 4k + 3)²
17{h² + 13 – 4h + k² – 6k} = h² + 16k² + 9 – 8hk – 24k + 6h
17h² + 221 – 68h + 17k² – 102k = h² + 16k + 9 – 8hk – 24k + 6h
16h² + 8hk + k² – 74h – 78k + 212 = 0
अतः बिन्दु P(h, k) का बिन्दुपथ 16x² + 8xy + y² – 74x – 78y + 212 = 0 है। जो कि अभीष्ट परवलय का समीकरण है।

(ii) माना परवलय पर कोई चर बिन्दु P(h, k) है। परवलय की परिभाषानुसार
SP = PM
जहाँ S परवलय की नाभि तथा M, रेखा पर P से डाले गए लम्ब का लम्बपाद है।
SP² = PM²
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(h + 3)² + k² = (h + 5)²
h² + 9 + 6h + k² = h² + 10h + 25
k² = h² + 10h + 25 – h² – 9 – 6h
k² = 4h + 16
अतः बिन्दु P(h, k) का बिन्दुपथ, y² = 4x + 16 है जो कि अभीष्ट परवलय का समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित परवलय के शीर्ष, अक्ष, नाभि तथा नाभिलम्ब ज्ञात कीजिए
(i) y² = 8x + 8y
(ii) x² + 2 = 8x – 7
हल-
(i) परवलय का दिया गया समीकरण-
y² = 8x + 8y
y² – 8y = 8x
y² – 8y + (4)² – (4) = 8x
(y – 4)² = x + 16
(y – 4)² = 8(x + 2) ….(1)
समीकरण (1) में y – 4 = Y एवं x + 2 = X रखने पर परवलय का नया समीकरण होगा।
Y² = 8X ….(2)
जो परवलय y² = 4ax रूप का है। अत: इसकी तुलना करने पर
4a = 8
a = 2
परवलय Y² = 8X के लिए
(a) शीर्ष (0, 0) अर्थात् X = 0, Y = 0
(b) नाभि (a, 0) = (2, 0) अर्थात् X = 2, Y = 0
(c) अक्ष Y = 0
(d) नाभिलम्ब = 4a = 4 x 2 = 8
उपरोक्त परिणामों में X = x + 2 तथा Y = y – 4 रखने पर दिये हुए परवलय के लिए।
(a) शीर्ष x + 2 = 0 ⇒ x = – 2, y – 4 = 0 = y = 4
अतः शीर्ष के निर्देशांक (-2, 4) हैं।
(b) नाभि x + 2 = 2 ⇒ x = 0, y – 4 = 0 ⇒ y = 4
अतः नाभि के निर्देशांक (0, 4)
(c) अक्ष y – 4 = 0 ⇒ y = 4
(d) नाभिलम्ब = 8

(ii) परवलय का दिया गया समीकरण
x² + 2y = 8x – 7
x² – 8x = – 2y – 7
x² – 8x (4)² = – 2y – 7 + (4)²
(x – 4)² = – 2y + 9

समीकरण (1) में x – 4 = X तथा y – $\frac { 9 }{ 2 }$ = Y रखने पर परवलय का नया समीकरण
X² = -2Y
जो परवलय x² = – 4ay रूप का है। अतः इसकी तुलना करने पर
4a = 2
a = $\frac { 2 }{ 4 }$
= $\frac { 1 }{ 2 }$
परवलय X² = -2Y के लिए
(a) शीर्ष : (0, 0) अर्थात् X = 0, Y = 0
(b) नाभि : (0, -a) = (0, $-\frac { 1 }{ 2 }$ ) अर्थात्, X = 0,Y = $-\frac { 1 }{ 2 }$
(c) अक्ष : X = 0
(d) नाभिलम्ब = 4a = 4 x $\frac { 1 }{ 2 }$ = 2
उपरोक्त परिणामों में X = x – 4 तथा Y = y – $\frac { 9 }{ 2 }$ रखने पर दिए हुए परवलय के लिए
(a) शीर्ष : x – 4 = 0 या x = 4
y – $\frac { 9 }{ 2 }$ या y = $\frac { 9 }{ 2 }$
अत: शीर्ष के निर्देशांक (4, $\frac { 9 }{ 2 }$ )
(b) नाभि : x – 4 = 0 या x = 4
$y-\frac { 9 }{ 2 }$ या y = 4
अतः नाभि के निर्देशांक (4, 4)
(c) अक्ष : x – 4 = 0 या x = 4
(d) नाभिलम्ब = 4a = 2

प्रश्न 3.
परवलय y² = 4ax की एक द्विकोटि की लम्बाई 8a है। सिद्ध कीजिये कि मूलबिन्दु से इस द्विकोटि के शीर्षों को मिलाने वाली रेखायें लम्बवत् होंगी।
हल-
दिया गया परवलय का समीकरण
y² = 4ax
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हम जानते हैं, वक्र के अक्ष के लम्बवत् जीवा, वक्र की द्विकोटि कहलाती है। माना बिन्दु B (h, 4a) तथा A (h, – 4a)
बिन्दु B परवलय के समीकरण को सन्तुष्ट करेगा,
अतः y² = 4ax
(4a)² = 4a x h
16a² = 4ah
h = 4a
अतः बिन्दु B (4a, 4a) तथा A (4a, – 4a) हमको यहाँ पर
∠BOA = 90° सिद्ध करना है।
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∴ द्विकोटि के शीर्ष को मिलाने वाली रेखायें लम्बवत् होंगी।

प्रश्न 4.
यदि परवलय का शीर्ष तथा नाभि x-अक्ष पर मूल बिन्दु से a तथा a’ दूरी पर हो, तो सिद्ध कीजिए कि परवलय की समीकरण y² = 4(a’ – a)(x – a) होगी।
हल-
माना कि P(x, y) परवलय पर स्थित कोई बिन्दु है।
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चित्रानुसार OA = a, OF = a’
अतः शीर्ष A तथा नाभि F के मध्य दूरी
AF = a’ – a
परवलय के समीकरण के ज्यामितीय रूप से हम जानते हैं कि
PN² = 4 AF . AN
या y² = 4 (a’ – a) (x – a)

प्रश्न 5.
PQ एक परवलय की द्विकोटि है। इसके समत्रिभाजन वाले बिन्दुओं का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना R तथा S द्विकोटि PQ के समत्रिभाजन वाले बिन्दु हैं।
माना R के निर्देशांक (h, k) हैं। तब OL = h और RL = k
∴ RS = RL + LS = k + k = 2k
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⇒ PR = RS = SQ = 2k
⇒ LP = LR + RP = k + 2k = 3k
इस प्रकार P के निर्देशांक = (h, 3k)
चूँकि (h, 3k) बिन्दु, परवलय y² = 4ax पर स्थित है अतः
(3k)² = 4a(h)
⇒ 9k² = 4ah
अतः अभीष्ट बिन्दु पथ
9y² = 4ax

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि परवलय y² = 4ax में शीर्ष से गुजरने वाली सभी जीवाओं के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ भी परवलय y² = 2ax होता है।
हल-
माना OA परवलय y² = 4ax की एक जीवा है तथा P(h, k) इसका मध्य बिन्दु है। माना A के निर्देशांक (X₁, Y₁) हैं। तब
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∵ A, परवलय y² = 4ax पर है अतः
(2k)² = 4a(2h)
⇒ 4k² = 8ah
⇒ k² = 2ah
अतः अभीष्ट बिन्दुपथ y² = 2ax

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4

प्रश्न 1.
उन प्रतिच्छेद बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ सरल रेखा 4y + 3x + 6 = 0 परवलय 2y² = 9x को काटती है।
हल-
सरल रेखा का समीकरण
4y + 3x + 6 = 0 ….(1)
परवलय को समीकरण-
2y² = 9x ….(2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) में रखने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4
⇒ 12y + 2y² + 18 = 0
⇒ 6y + y² + 9 = 0
⇒ (y + 3)² = 0
∴y = – 3
समीकरण (2) से,
⇒ 2[-3]² = 9x
⇒ 9x = 18
∴x = 2
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक–
(2,-3)

प्रश्न 2.
परवलय y² = 8 द्वारा रेखा 4y – 3x = 8 पर काटी गई जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल-
जीवा की लम्बाई

y² = 8x की तुलना y² = 4ax से करने पर 4a = 8
∴ a = 2
4y – 3x = 8
4y = 3x + 8
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि सरल रेखा x + 1 = 1 परवलय y = x – x² को स्पर्श करती है।
हुल-
सरल रेखा और परवलय के समीकरण को हल करने पर
x + y = 1 ….(1)
y = x – x² ….(2)
समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर-
x + x – x² = 1
x² – 2x + 1 = 0
यह समीकरण द्विघात का है। इसके मूल बराबर होंगे और संपाती होंगे।
B² – 4AC = 0
(-2)² – 4 x 1 x 1 = 0
4 – 4 = 0
0 = 0
अतः सरल रेखा x + y = 1 परवलय y = x – x² को स्पर्श करती है।

प्रश्न 4.
परवलय y² = 4ax को रेखा lx + my + n = 0 द्वारा स्पर्श करने का प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए।
हल-
रेखा व परवलय के समीकरणों से x को लुप्त करने पर-
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4
⇒ ly² = -4a(n + my)
⇒ ly² + 4amy + 4an = 0 ….(1)
यदि दी गई रेखा परवलय को स्पर्श करती है तो समीकरण (1) जो y में द्विघात है, के मूल समान होंगे ।
अतः (4am)² = 4.(l)(4an)
16a²m² = 16lan
⇒ am² = ln यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि x-अक्ष से “α” कोण बनाने वाली परवलय y² = 4ax की नाभीय जीवा की लम्बाई 4a cosec²α होगी।
हल-
x-अक्ष से कोण बनाने वाली जीवा का समीकरण
y = tan α . x + c ….(1)
समीकरण (1) नाभि से गुजरती है अतः
0 = tan α. a+c
c = – a tan α ….(2)
समीकरण (1) तथा (2) से नाभीय जीवा का समीकरण– |
y = tan α (x – a) ….(3)
मान लो नाभीय जीवा के छोर P(x₁, y₁) तथा Q(x₂, y₂) हैं, तो x₁, x₂ निम्न समीकरण के मूल होंगे-
tan² α (x – a)² = 4ax
tan² α(x² + a² – 2ax) = 4ax
tan² α. x² – 2ax(2 + tan² α) + a² tan² α = 0
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4

प्रश्न 6.
वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिससे रेखा x cos α + y sin α = p परवलय y² = 4ax को स्पर्श करे।
हल-
हम जानते हैं कि परवलय y² = 4ax को रेखा y = mx + c स्पर्श करे तो
$c=\frac { a }{ m }$
या a = mc ….(1)
दी गई रेखा से m तथा c के मान निकालने पर-
x cos α + y sin α = P

y = -x cot α + p cosec α
y = mx + c से तुलना करने पर
m = – cot α
c = p cosec α
समीकरण (1) में मान रखने पर-
a = [- cot α] p cosec α
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4
a sin²α = -p cos α

प्रश्न 7.
निम्न परवलयों पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) y² = 6x, जो रेखा 2x – 3y = 4 के समान्तर हो।
(ii) y² = 8x, जो रेखा 2x – y + 1 = 0 के लम्बवत् हो।
हल-
(i) y² = 6x जो रेखा 2x – 3y = 4 के समान्तर है।
रेखा 2x – 3y – 4 = 0 के समान्तर रेखा का समीकरण-
2x – 3y + k = 0 ….(1)
रेखा (i) परवलय y² = 6x को स्पर्श करती है।
हम जानते हैं कि परवलय y² = 4ax को केवल y = mx + c
स्पर्श करे तो।
$c=\frac { a }{ m }$ …(2)
परवलय y² = 6x से $a=\frac { 3 }{ 2 }$ तथा समीकरण (1) से $c=\frac { k }{ 3 }$
समीकरण (2) में रखने पर।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4
या 8x – 12y + 27 = 0

(ii) y² = 8x, जो रेखा 2x – y + 1 = 0 के लम्बवत् हो।
परवलय का समीकरण y² = 8x ….(1)
रेखा 2x – y + 1 = 0 ….(2)
रेखा (2) के लम्बवत् रेखा का समीकरण–
x + 2y + λ = 0 ..(3)
चूँकि समीकरण (3) परवलय (1) को स्पर्श करती है।
∴ a = mc सूत्र से –
परवलय से-
4a = 8
a = 2
रेखी के समी. से
2y = – x – λ
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4
x + 2y – 8 = 0

प्रश्न 8.
k के किस मान के लिए रेखा 2x – 3y – k परवलय y² = 6x को स्पर्श करेगी ?
हल-
दी गई रेखा का समीकरण
2x – 3y = k
3y = 2x – k
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4

प्रश्न 9.
स्पर्श रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिन्दु (4, 10) से परवलय y² = 8x पर खींची जाती है।
हल-
किसी बाह्य बिन्दु (x₁, y₁) से परवलय y² = 4ax पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के समीकरण
SS₁ = T²
(y² – 4ax)(y – 4ax₁) = [yy₁ – 2a(x + x₁)]²
यहाँ परवलय y² = 8x तथा बिन्दु (4, 10)
⇒ (y² – 8x)(10² – 8 x 4) = [y(10) – 2 x 2(x + 4)]²
⇒ (y² – 8x)(100 – 32) = (10y – 4(x + 4))²
⇒ 68(y² – 8x) = (10y – 4x – 16)²
⇒ 68y² – 544x = 100y² + 16x² + 256 – 80xy + 128x – 320y
⇒ 0 = 100y² – 68y² + 16x² + 544x + 128x + 256 – 80xy – 320y
⇒ 16x² + 32y² – 80xy + 672x – 320y + 256 = 0
⇒ 16[x² + 2y² – 5xy + 42x – 20y + 16] = 0
⇒ x² + 2y² – 5xy + 42x – 20y + 16 = 0

प्रश्न 10.
निम्न परवलयों पर अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) y² = 8x के बिन्दु (2, 4) पर
(ii) y² + 12x = 0 की नाभि के ऊपरी सिरे पर।
हल-
(i) y² = 8x के बिन्दु (2, 4) पर अभिलम्ब का समीकरण
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4
⇒ y – 4 = -1(x – 2)
⇒ y – 4 = – x + 2
⇒ x + y – 6 = 0

(ii) परवलय y² = -12x की ऊपरी सिरे पर अभिलम्ब का समी.
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.4
(y + 6) = – (x + 3)
y + 6 + x + 3 = 0
x + y + 9 = 0

प्रश्न 11.
निम्न परवलयों पर अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए–
(i) y² = 4x जो y – 2x + 5 = 0 के समान्तर हो।
(ii) y² = 4x जो x + 3y – 1 = 0 के लम्बवत् हो।
हल-
(i) रेखा y – 2x + 5 = 0 के समान्तर रेखा का समीकरण-
y – 2x + c = 0 ….(1)
रेखा (1) परवलय y² = 4x पर अभिलम्ब होगी यदि (1) समीकरण
y = mx – 2am – am³ प्रकार की होगी।
परवलय से 4a = 4 ∴ a = 1
a का मान रखने पर
y = mx – 2m – m³
y – mx + (2m + m³) = 0
गुणांकों की तुलना करने पर
– m = – 2
m = 2 और c = (2m + m³)
∴ c = 2 x 2 + (2)³
c = 4 + 8 = 12
अतः अभिलम्ब का समीकरण होगा
y – 2x + 12 = 0

(ii) y² = 4x जो x + 3y – 1 = 0 के लम्बवत् हो।
4a = 4 ∴a = 1
दी गई रेखा के लम्बवत् रेखा का समीकरण
3x – y + k = 0 ….(1)
अभिलम्ब का समीकरण होगा
y = mx – 2am – am³
a का मान रखने पर
y = mx – 2m – m³
mx – y – (2m + m³) = 0
समीकरण (1) तथा (2) के गुणांकों की तुलना करने पर
m = 3 और k = – (2m + m³)
∴ k = – (2 x 3 + (3)³)
k = – (6 + 27) = -33
समीकरण (1) में मान रखने पर
3x – y – 33 = 0

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि रेखा 2x + y – 12a = 0 परवलय y² = 4ax पर अभिलम्ब जीवा है तथा उसकी लम्बाई 5√5a इकाई है।
हल-
दी गयी रेखा 2x + y – 12a = 0 परवलय y² = 4ax पर अभिलम्ब जीवा है। इसलिए अभिलम्ब का समीकरण
y = mx – 2am – am³
y – mx + (2am + am³) = 0 ….(1)
समीकरण (1) की तुलना दी गई रेखा से करने पर–
m = -2
-12a = 2am + am³
m का मान रखने पर
-12a = 2a(-2) + (a)(-2)³
-12a = – 4 – 8a
-12a = -12a
जो सत्य है। अतः रेखा, परवलय पर अभिलम्ब है।
रेखा और परवलय के समीकरण को हल करने पर
y² = 4ax
2x + y – 12a = 0
y = 12a – 2x
मान रखने पर
(12a – 2x)² = 4ax
144a² – 48ax + 4x² = 4ax
36a² – 12ax + x² = ax
x² – 13ax + 36a² = 0
गुणनखण्ड करने पर-
(x – 4a)(x – 9a) = 0
x = 4a, 9a
∴ y के मान होंगे–
y = 120 – 2x
= 12a – 2 x 4a
= 12a – 8a = 4a
और y = 12a – 2 x 9a
y = – 6a
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु होंगे-
(9a, – 6a) तथा (4a, 4a)
इनके बीच की दूरी निकालने पर
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Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.5

प्रश्न 1.
उस दीर्घवृत्त की समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) नाभि (-1, 1), नियती x – y + 4 = 0 तथा उत्केन्द्रता e = $\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } }$ हो ।
(ii) नाभि (-2, 3), नियता 3x + 4y = 1 तथा उत्केन्द्रता e = $\frac { 1 }{ 3 }$ हो ।
हल-
(i) माना कि दोवृत्त पर कोई बिन्दु P(h, k) है तब परिभाषानुसार
P की नाभि से दूरी = e (P की नियता से दूरी)
PS = e(PM)
PS² = e²(PM)²
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10(h² + k² + 2h – 2k + 2) = h² + k² + 16 – 2hk – 8k + 8h
10h² + 10k² + 20h – 20k + 20 = h² + k² + 8h – 8k – 2hk + 16
9h² + 9k² + 12h – 12k + 4 + 2hk = 0
अतः बिन्दु Ph, k) का बिन्दुपथ
9x² + 9y² + 12x – 12y + 2xy + 4 = 0
अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण है।

(ii) माना कि दीर्घवृत्त पर कोई बिन्दु P(h, k) है तब परिभाषानुसार
PS = e(PM)
PS² = e²(PM)²
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.5
225(h² + k² + 4h – 6k + 13) = 9h² + 16k² + 1 + 24hk – 8k + 6h
216h² + 209k² + 906h – 1342k – 24hk + 2924 = 0
216h² + 209k² – 24hk + 906h – 1342k + 2924 = 0
अतः बिन्दु P(h, k) का बिन्दुपथ
216x² + 209y² – 24xy + 906x – 1342y + 2924 = 0
अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्न दीर्घवृत्तों की उत्केन्द्रता, नाभिलम्ब और नाभि के निर्देशांक ज्ञात करो।
(i) 4x² + 9y² = 1
(ii) 25x² + 4y² = 100
(iii) 3x² + 4y² – 12x – 8y + 4 = 0
हल-
(i) दिया गया दीर्घवृत्त है
4x² + 9y² = 1
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(ii) दिया गया दीर्घवृत्त है
25x² + 4y² = 100
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.5

(iii) 3x² + 4y² – 12x – 8y + 4 = 0
3x² – 12x + 4y² – 8y + 4 = 0
3(x² – 4x) + 4(y² – 2y) + 4 = 0
3(x² – 4x + 4 – 4) + 4(y² – 2y + 1 – 1) + 4 = 0
3(x² – 4x + 4) – 12 + 4(y² – 2y + 1) – 4 + 4 = 0
3(x – 2)² + 4(y – 1)² = 12
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प्रश्न 3.
उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके अक्ष निर्देश अक्ष हों तथा यह बिन्दुओं (6, 2) एवं (4, 3) के गुजरता हो।
या,
हल-
माना कि दीर्घवृत्त का समीकरण

यह बिन्दु (4, 3) और (6, 2) से होकर जाता है।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.5
समीकरण (1) को 4 से तथा (2) को 9 से गुणा करने पर

(4) में से (3) को घटाने पर

a² का यह मान समीकरण (1) में रखने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.5

प्रश्न 4.
उस दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए जिसकी नाभिलम्ब उसकी लघु अक्ष की आधी हो।
हल-
दीर्घवृत्त
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.5

प्रश्न 5.
एक बिन्दु का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो इस प्रकार गमन करे कि उसकी बिन्दु (1,0) तथा (-1, 0) से दूरियों का योग सदैव 3 रहता है। यह बिन्दुपथ कौनसा वक्र है ?
हल-
माना बिन्दु P(h, k) इस प्रकार गमन करता है कि उसकी बिन्दु (1, 0) तथा (-1, 0) से दूरियों का योग 3 है तब
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.5
जो कि एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.6

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि रेखा $y=x+\sqrt { \frac { 5 }{ 6 } }$ दीर्घवृत्त 2x² + 3y² = 1 को स्पर्श करती है। स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई रेखा
$y=x+\sqrt { \frac { 5 }{ 6 } }$
स्पष्ट है- m = 1 और $c=\sqrt { \frac { 5 }{ 6 } }$
दीर्घवृत्त का समीकरण
2x² + 3y² = 1
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.6
जब रेखा दीर्घवृत्त को स्पर्श करती है, तब उसका प्रतिबन्ध निम्न
c² = (a²m² + b²)
मान रखने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.6
इससे सिद्ध होता है कि रेखा $y=x+\sqrt { \frac { 5 }{ 6 } }$
दीर्घवृत्त के समीकरण 2x² + 3y² = 1 को स्पर्श करती है। स्पर्श बिन्दुओं के निर्देशांक-
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.6

प्रश्न 2.
प्रदर्शित कीजिए कि रेखा x – 2y – 4 = 0 दीर्घवृत्त 3x² + 4y² = 12 को स्पर्श करती है।
हल-
दी गयी रेखा का समीकरण
x – 2y – 4 = 0
∴ 2y = x – 4
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.6
c² = R.H.S. = L.H.S.
अतः रेखा x – 2y – 4 = 0 दीर्घवृत्त 3x² + 4y² = 12 को स्पर्श करती है।

प्रश्न 3.
k के किस मान के लिए रेखा 3x – 4y = k दीर्घवृत्त 5x² + 4y² = 20 को स्पर्श करती है ?
हल-
दी गयी रेखा के समीकरण से
3x – 4y = k
4y = 3x – k
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.6

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि रेखा $x+y=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }$ दीर्घवृत्त $\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1$ को स्पर्श करती है। स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल-
स्पर्श करने की प्रतिबन्ध
c² = a²m² + b² …..(1)
दी गई रेखा से मान निकालने पर
$x+y=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }$
$y=-x+\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }$ …(2)
समीकरण (2) की तुलना y = mx + c
से करने पर m = -1 और $c=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }$
सभी मानों को समी. (1) में रखने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.6

प्रश्न 5.
दीर्घवृत्त $\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1$ को रेखा lx + my = n द्वारा स्पर्श करने की शर्त ज्ञात कीजिये।
हल-
दी गई रेखा से
lx + my = n
my = – lx + n.
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.6
n² = a²l² + m²b²

प्रश्न 6.
दीर्घवृत्त 4x² + 3y² = 5 के लिए उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिये जो x-अक्ष के साथ 60° का कोण बनाती हैं । स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल-
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त $\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1$ पर किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण होता है।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.6

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.7

प्रश्न 1.
अतिपरवलय 9x² – 16y² = 144 के अक्षों की लम्बाइयाँ, नाभियाँ, उत्केन्द्रता, नाभिलम्बे तथा नियताओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया अतिपरवलय का समीकरण है–
9x² – 16y² = 144
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.7

प्रश्न 2.
अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) नाभि (2, 1) नियता x + 2y – 1 = 0 तथा उत्केन्द्रता 2 है।
(ii) नाभि (1, 2) नियता 2x + y = 1 तथा उत्केन्द्रता √3 है।
हल-
(i) माना अतिपरवलय पर कोई बिन्दु P(h, k) है। नाभि S(2, 1) और नियता का समीकरण दिया है
x + 2y – 1 = 0
∴ अतिपरवलय की परिभाषा से
SP = e(PM)
(SP)² = e²(PM)²
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.7
⇒ (h – 2)² + (k – 1)² = $\frac { 4 }{ 5 }$ (h + 2k – 1)²
⇒ 5[h² + 4 – 4h + k² + 1 – 2k = 4(h² + 4k² + 1 + 4hk – 4k – 2h)
⇒ 5[h² + k² – 4h – 2k + 5] = 4[h² + 4k² + 1 + 4hk – 4k – 2h]
⇒ 5h² + 5k² – 20h – 10k + 25 = 4h² + 16k² + 4 + 16hk – 16k – 8h
⇒ h² – 11k² – 12h + 6k + 21 – 16hk = 0
⇒ h² – 16hk – 11k² – 12h + 6k + 21 = 0
बिन्दु P(h, k) का बिन्दुपथ अभीष्ट अतिपरवलय है
x² – 16xy – 11y² – 12x + 6y + 21 = 0

(ii) माना अतिपरवलय का कोई बिन्दु P(h, k) है। दिया है
नाभि S(1, 2), नियता 2x + y – 1 = 0 और उत्केन्द्रता e = √3
अतिपरवलय की परिभाषा से
(SP) = e(PM)
(SP)² = e²(PM)²
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.7
⇒ (h – 1)² + (k – 2)² = $\frac { 3 }{ 5 }$ (2h + k – 1)²
⇒ 5[h + 1 – 2h + k² + 4 – 4k] = 3(4h² + k² + 1 + 4hk – 2k – 4h)
⇒ 5h² + 5 – 10h + 5k² + 20 – 20k = 12h² + 3k² + 3 + 12hk – 6k – 12h
⇒ 5h² + 5k² – 10h – 20k + 25 = 12h² + 3k² – 12h – 6k + 12hk + 3
⇒ 7h² – 2x² + 12hk – 2h + 14k – 22 = 0
अतः बिन्दु P(h, k) का अभीष्ट बिन्दु पथ जो कि एक अतिपरवलय है-
7x² – 2y² + 12xy – 2x + 14 – 22 = 0

प्रश्न 3.
अतिपरवलय x² – 6x – 4y² – 16y – 11 = 0 के शीर्ष, नाभियाँ, नाभिलम्ब तथा उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया अतिपरवलय है-
⇒ x² – 6x – 4y² – 16y – 11 = 0
⇒ x² – 6x + 9 – (4y² + 16y) – 11 – 9 = 0
⇒ x² – 6x + (3)² – 4(y² + 4y + 4 – 4) – 20 = 0
⇒ (x – 3)² – 4(y + 2)² + 16 – 20 = 0
⇒ (x – 3)² – 4(y + 2)² = 4
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.7

प्रश्न 4.
अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जबकि
(i) नाभिलम्ब की लम्बाई 8 तथा संयुग्मी अक्ष = $\frac { 1 }{ 2 }$ (नाभियों के मध्य की दूरी)
(ii) नाभियों के मध्य की दूरी 16 तथा संयुग्मी अक्ष √2 हो।
(iii) संयुग्मी अक्ष की लम्बाई 7 तथा बिन्दु (3, -2) से गुजरता हो ।
हल-
(i) यहाँ नाभिलम्ब की लम्बाई
$\frac { { 2b }^{ 2 } }{ a } =8$
b² = 4a ….(1)
तथा, संयुग्मी अक्ष = $\frac { 1 }{ 2 }$ x नाभियों के मध्य की दूरी
⇒ 2b = $\frac { 1 }{ 2 }$ (2ae) = ae
⇒ 2b = ae ….(2)
⇒ b² = a²(e² – 1)
⇒ b² = a²e² – a²
⇒ b² = (2b)² – a²
⇒ a² = 4b² – b² = 3b²
⇒ a² = 3b² …(3)
समीकरण (1) में मान रखने पर
$\frac { { a }^{ 2 } }{ 3 } =4a$
⇒ a = 12
a का मान समीकरण (3) में रखने पर—
(12)² = 3b²
⇒ $\frac { 144 }{ 3 }$ = b² ∴ b = 48
अभीष्ट अतिपरवलय का समीकरण
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Ex 12.7

(ii) नाभियों के बीच की दूरी 2ae = 16
तथा उत्केन्द्रता e = √2
2 x √2a = 16
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(iii) संयुग्मी अक्ष की लम्बाई = 2b = 7
∴ $b=\frac { 7 }{ 2 }$
अतः अतिपरवलय का समीकरण
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∵ अतिपरवलय (1) बिन्दु (3, -2) से गुजरता है, अतः

अभीष्ट अतिपरवलय का समीकरण

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि सरल रेखाओं $\frac { x }{ a } -\frac { y }{ b } =m$ तथा $\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =\frac { 1 }{ m }$ के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ अतिपरवलय होता है।
हल-
दी गई सरल रेखाएँ हैं
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जो अतिपरवलय का समीकरण है।

प्रश्न 6.
अतिपरवलय 5x² – 9y² = 45 तथा रेखा y = x + 2 के उभयनिष्ठ बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल-
अतिपरवलय का समीकरण
5x² – 9y² = 45 ……..(1)
रेखा का समीकरण-
y = x + 2 ……(2)
समीकरण (1) में y का मान रखने पर-
⇒ 5x² – 9(x + 2)² = 45
⇒ 5x² – 9(x² + 4x +4) = 45
⇒ 5x² – 9x² – 36x – 36 = 45
⇒ – 4x² – 36x – 36 – 45 = 0
⇒ – 4x² – 36x – 81 = 0
⇒ 4x² + 36x + 81 = 0
⇒ 4x² + 18x + 18x + 81 = 0
⇒ 2x(2x + 9) + 9(2x + 9) = 0
⇒ (2x + 9)(2x + 9) = 0
⇒ (2x + 9)² = 0
या 2x + 9 = 0
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प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि रेखा lx + my = 1 अतिपरवलय $\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1$ को स्पर्श करेगी यदि a²l² – b²m² = 1
हल-
अतिपरवलय में कोई रेखा y = mx + c अतिपरवलय को स्पर्श करती हो तो उसके लिए आवश्यक प्रतिबन्ध होता है
c² = a²m² – b²
रेखा के समीकरण से-
lx + my = 1
my = – lx + 1
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प्रश्न 8.
अतिपरवलय 4x² – 4y² = 1 की स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा 4y = 5x + 7 के समान्तर हो ।
हल-
माना रेखा 4y = 5x +7 के समान्तर रेखा का समीकरण है–
4y = 5x + k
चूँकि यह अतिपरवलय 4x² – 4y² = 1 को स्पर्श करती है, अतः
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⇒ 16x² – (5x + k)² = 4
⇒ 16x² – 25x² – 10xk – k² = 4
⇒ – 9x² – 10xk – k² – 4 = 0
या 9x² + 10x + k² + 4 = 0
के मूल समान होने चाहिए।
⇒ 100k² = 4 x 9 x (k² + 4)
⇒ 25k² = 9k² + 36
⇒ 16k² = 36
⇒ k = ± $\frac { 3 }{ 2 }$
अत: अभीष्ट समीकरण
4y = 5x ± $\frac { 3 }{ 2 }$

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि अतिपरवलय की किसी स्पर्श रेखा पर नाभि से डाले गये लम्ब के पाद का बिन्दुपथ वृत्त होता है।
हल-
माना अतिपरवलय है–
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समीकरण (2) व (3) का वर्ग करके जोड़ने पर
⇒ (y – mx)² + (x + my)² = a²m² – b² + c²
⇒ y² + m²x² – 2mry + x² + m²y² + 2mxy = a²m² – b² + c²
⇒ (1 + m)²y² + (1 + m)²x² = a²m² = c² – b²
⇒ (1 + m)² (x² + y²) = a²m² + a²(∵ c² = a² + b²)
⇒ (1 + m)²(x² + y²) = (1 + m²)a²
⇒ x² + y² = a²
जो कि एक वृत्त का समीकरण है।

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
वृत्त 9x² + y² + 8x = (x² – y²) की त्रिज्या है-
(A) 1
(B) 2
(C) $\frac { 4 }{ 5 }$
(D) $\frac { 5 }{ 4 }$
हल :
(C)

प्रश्न 2.
उस वृत्त को समीकरण जिसका केन्द्र प्रथम पाद में (α, β) है। तथा x-अक्ष को स्पर्श करता है, होगा-
(A) x² + y² – 2αx – 2βy + α² = 0
(B) x² + y² + 2αx – 2βy + α² = 0
(C) x² + y² – 2αx + 2βy + α² = 0
(D) x² + y² + 2αx + 2βy + α² = 0
हल :
(A)

प्रश्न 3.
यदि रेखा y = mx + c वृत्त x² + y² = 4y को स्पर्श करे तो c का मान है
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Miscellaneous Exercise
हल :
(C)

प्रश्न 4.
रेखा 3x + 4y = 25 वृत्त x² + y² = 25 को किस बिन्दु पर स्पर्श करती है
(A) (4, 3)
(B) (3, 4)
(C) (-3, -4)
(D) (3, -4)
हल :
(B)

प्रश्न 5.
एक शांकवीय परिच्छेद परवलय होगा, यदि
(A) e = 0
(B) e < 1
(C) e > 1
(D) e = 1
हल :
(C)

प्रश्न 6.
परवलय x² = – 8y की नियता को समीकरण है
(A) y = -2
(B) y = 2
(C) x = 2
(D) x = -2
हल :
(B)

प्रश्न 7.
परवलय x² + 4x + 2y = 0 का शीर्ष है
(A) (0, 0)
(B) (2, -2)
(C) (-2, -2)
(D) (-2, 2)
हल :
(D)

प्रश्न 8.
यदि किसी परवलय की नाभि (-3, 0) तथा नियता x + 5 = 0 हों तो इसका समीकरण होगा
(A) y² = 4(x + 4)
(B) y² + 4x + 16 = 0
(C) y² + 4x = 16
(D) x² = 4(y + 4)
हल :
(A)

प्रश्न 9.
किसी परवलय के शीर्ष एवं नाभि क्रमशः (2, 0) तथा (5, 0) हो, तो इसका समीकरण होगा
(A) y² = 12x + 24
(B) y² = 12x – 24
(C) y² = -12x – 24
(D) y² = -12x + 24
हल :
(B)

प्रश्न 10.
परवलय x² = -8y की नाभि है
(A) (2, 0)
(B) (0, 2)
(C) (-2, 0)
(D) (0, -2)
हल :
(D)

प्रश्न 11.
परवलय y² = x की किसी स्पर्श रेखा का समीकरण है-
(A) y = mx + 1/m
(B) y = mx + 1/4m
(C) y = mx + 4/m
(D) y = mx + 4m
हल :
(B)

प्रश्न 12.
यदि रेखा 2y – x = 2 परवलय y² = 2x को स्पर्श करती हो, तो स्पर्श बिन्दु है
(A) (4, 3)
(B) (-4, 1)
(C) (2, 2)
(D) (1, 4)
हल :
(C)

प्रश्न 13.
परवलय x² = 8y की रेखा x + 2y + 1 = 0 के समान्तर स्पर्श रेखा का समीकरण है-
(A) x + 2y + 1 = 0
(B) x – 2y + 1 = 0
(C) x + 2y – 1 = 0
(D) x – 2y + 1 = 0
हल :
(A)

प्रश्न 14.
परवलय y² = 4x का एक अभिलम्ब है
(A) y = x + 4
(B) y + x = 3
(C) y + x = 2
(D) y + x = 1
हल :
(B)

प्रश्न 15.
दीर्घवृत्त 3x² + 4y² = 12 के अर्द्धनाभिलम्ब की लम्बाई होगी-
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Miscellaneous Exercise
हल :
(A)

प्रश्न 16.
दीर्घवृत्त 3x² + 4y² = 12 की उत्केन्द्रता होगी–
(A) -2
(B) 1/2
(C) 1
(D) 2
हल :
(B)

प्रश्न 17.
यदि रेखा y = mx + c दीर्घवृत्त $\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1$ का स्पर्श करती है तो c का मान होगा-
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Miscellaneous Exercise
हल :
(C)

प्रश्न 18.
दीर्घवृत्त $\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1$ (b > a) के नाभियों के निर्देशांक होंगे-
(A) (±ae, 0)
(B) (±be, 0)
(C) (0, ±ae)
(D) (0, ±be)
हल :
(D)

प्रश्न 19.
आयतीय अतिपरवलय की उत्केन्द्रता होगी
(A) 0
(B) 1
(C) √2
(D) 2
हल :
(C)

प्रश्न 20.
अतिपरवलय 9x² – 16y² = 144 की उत्केन्द्रता होगी
(A) 1
(B) 0
(C) $\frac { 5 }{ 16 }$
(D) $\frac { 5 }{ 4 }$
हल :
(D)

प्रश्न 21.
उस वृत्त का समीकरण लिखिए जिसका केन्द्र (a cos α, a sin α) तथा त्रिज्या a है।
हुल-
केन्द्र (a cos α, a sin α) एवं त्रिज्या a वाले वृत्त का समीकरण
(x – a cos α)² + (y – a sin α)² = a² [∵ (x – h)² + (y – k)² = r²]
⇒ x² + a² cos² α – 2ax cos α + y² + a² sin² α – 2ay sin α = a²
⇒ x² – 2ax cos α – 2ay sin α + y² + a²(cos² α + sin² α) = a²
⇒ x² + y² – 2ax cos α – 2ay sin α + a² = a²
⇒ x² + y² – 2ax cos α – 2ay sin α = 0

प्रश्न 22.
यदि वृत्त x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 के बिन्दु (x₁, y₁) तथा (x₂, y₂) पर स्पर्श रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हों तो सिद्ध कीजिए.
x₁x₂ + y₁y₂ + g(x₁ + x₂) + f (y₁ + y₂) + g² + f² = 0
हल :
दिया गया वृत्त का समीकरण-
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
बिन्दु (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
xx₁ + yy₁ + g(x + x₁) + f(y + y₁) + c = 0
(x₁ + g)x + (y₁ + f)y + gx₁ + fy₁ + c = 0
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इसी तरह से (x₂, y₂) पर स्पर्श रेखा का समीकरण होगा
(x₂ + g)x + (y₂ + f)y + gx₂ + fy₂ + c = 0
रेखा का ढाल
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Miscellaneous Exercise
(x₁ + g)(x₂ + g) = -(y₁ + f)(y₂ + f)
x₁x₂ + x₁g + gx₂ + g² = – y₁y₂ – y₁f – fy₂ – f²
x₁x₂ + y₁y₂ + g(x₁ + x₂) + f(y₁ + y₂) + g² + f² = 0
इतिसिद्धम्

प्रश्न 23.
r त्रिज्या वाले उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र प्रथम पाद में स्थित है तथा y-अक्ष को मूल बिन्दु से h दूरी पर स्पर्श करता है। मूल बिन्दु से होकर जाने वाली दूसरी स्पर्श रेखा का समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
हल-
उस वृत्त का समीकरण जो y-अक्ष को मूल बिन्दु से h दूरी पर
स्पर्श करता है व जिसकी त्रिज्या r हो, होगा
(x – r)² + (y + h)² = r² ….(1)
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माना मूल बिन्दु से होकर जाने वाली दूसरी स्पर्श रेखा को समी. y = mx है।
चूँकि रेखा y= mx वृत्त (1) को स्पर्श करती है, अतः (1) के केन्द्र से रेखा y = mx पर डाले गए लम्ब की लम्बाई r होगी।
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या (r² – h²)x + 2rhy = 0

प्रश्न 24.
वृत्त x² + y² = a² के बिन्दु (α, β) पर खींची गई स्पर्श रेखा अक्षों को क्रमशः A एवं B बिन्दुओं पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल $\frac { { a }^{ 4 } }{ 2\alpha \beta }$ होगा, जहाँ O मूल बिन्दु है।
हल-
वृत्त पर बिन्दु (α, β) पर स्पर्श रेखा का समीकरण-
xα + yβ = a²
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प्रश्न 25.
वृत्त x² + y² = a² पर उस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो अक्षों के साथ a² क्षेत्रफल वाला त्रिभुज निर्मित करती है।
हल-
माना कि वृत्त पर स्थित बिन्दु P(a cos θ, a sin θ) हैं एवं P पर स्पर्श रेखा का समीकरण होता है
x × a cos θ + y × a sin θ = a²
x cos θ + y sin θ = a ….(1)
बिन्दु A रेखा (1) तथा x-अक्ष का प्रतिच्छेद बिन्दु है। अतः
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इसी प्रकार अन्य चतुर्थांशों में प्राप्त स्पर्श रेखाओं के समीकरण
x – y = √2a
-x + y = √2a
– x – y = √2a
संयुक्त रूप से
± x ± y = √2a

प्रश्न 26.
परवलय x² – 4x – 8y = 4 की नाभि के निर्देशांक लिखिए।
हल-
x² – 4x – 8y = 4.
⇒ x² – 4x = 4 + 8y
⇒ x² – 4x + 4 = 8 + 8y
⇒ (x – 2)² = 8(1 + y)
माना x – 2 = X
1 + y = Y
∴ X² = 8Y
∴ 4a = 8 ∴ a = 2
अतः नाभि (0, a) = (0, 2) लेकिन x – 2 = 0 ∴ x = 2
y + 1 = 2 ∴ y = 1
अतः नाभि के निर्देशांक (2, 1)

प्रश्न 27.
परवलय x² – 4x – 4y + 4 = 0 की उत्केन्द्रता लिखिए।
हल-
x² – 4x = 4y – 4
x² – 4x + 4 = 4y – 4 + 4
(x – 2)² = 4y ⇒ X² = 4Y
4a = 4 ∴ a = 1
नाभि (0, 1) अर्थात् X = 0, Y = 1
x – 2 = 0 ∴ x = 2
अत: y = 1
अतः उत्केन्द्रता e = 1

प्रश्न 28.
रेखा lx + my + n = 0 के परवलय y² = 4ax को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध लिखिए।
हल-
ln = am²

प्रश्न 29.
उसे परवलय का समीकरण लिखिए जिसका शीर्ष (0, 0) तथा नाभि (0, -a) हो।
हल-
x² = – 4ay

प्रश्न 30.
परवलय 9y² – 16x – 12y – 57 = 0 के अक्ष का समीकरण लिखिए।
हल-
दिया गया है
9y² – 16x – 12y – 57 = 0
⇒ 9y² – 12y = 16x + 57
⇒ 9y² – 12y + 4 = 16x + 57 + 4
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Miscellaneous Exercise
Y² = 16X
अक्ष का समीकरण Y = 0
∴ 3y – 2 = 0
या 3y = 2

प्रश्न 31.
दीर्घवृत्त
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Miscellaneous Exercise
के केन्द्र के निर्देशांक लिखिए।
हल :

पूर्ण वर्ग बनाने पर

अतः दीर्घवृत्त के केन्द्र के निर्देशांक ( $\frac { a }{ 2 }$ , $\frac { b }{ 2 }$ )

प्रश्न 32.
रेखा x cos α + y sin α = p के दीर्घवृत्त $\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1$ को स्पर्श करने का प्रतिबन्ध लिखिए।
हल :
p² = a² cos² α + b² sin² α

प्रश्न 33.
अतिपरवलय का समीकरण लिखिए जिसकी अनुप्रस्थ अक्ष और संयुग्मी अक्ष क्रमशः 4 तथा 5 हैं ।
हल-
दिया गया है– 2a = 4
∴ a = 2 और a² = 4
इसी प्रकार से— 2b = 5
b = $\frac { 5 }{ 2 }$
∴ b² = $\frac { 25 }{ 4 }$
अतः अतिपरवलय का समीकरण होगा
$\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1$
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Miscellaneous Exercise

प्रश्न 34.
अतिपरवलय

के केन्द्र के निर्देशांक लिखिए।
हल-
हम जानते हैं अतिपरवलय-
$\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1$ का केन्द्र (0, 0) होता है।
∴ x – 1 = 0 ∴ x = 1
इसी प्रकार से– y + 2 = 0 ∴ y = – 2
अतः केन्द्र के निर्देशांक = (1, -2)

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