RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय

December 19, 2021

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.1

निम्न ( प्रश्न 1 से 5 तक) में प्रत्येक व्यंजक का प्रसार कीजिए।

प्रश्न 1.
(2 – x)³
हल-
हम जानते हैं,

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प्रश्न 2.
${ \left( \frac { 2 }{ x } -\frac { x }{ 2 } \right) }^{ 5 }$
हल-
द्विपद प्रमेय से हम जानते हैं कि
(x + a)ⁿ = ⁿC₀ xⁿ a⁰ + ⁿC₁ x^n-1. a + ⁿC₂x^n-2a²+ ……… + ⁿC_rx^n-ra^r + ……… + aⁿ
प्रश्नानुर
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प्रश्न 3.
${ \left( \frac { x }{ 3 } +\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 6 }$
हल-
द्विपद प्रमेय के आधार पर हम जानते हैं कि
(x + a)ⁿ = ⁿC₀ xⁿ a⁰ + ⁿC₁ x^n-1. a + ⁿC₂x^n-2a²+ ……… + ⁿC_rx^n-ra^r + ……… + ⁿC_naⁿ
प्रश्नानुसार
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प्रश्न 4.
(3x + 2)⁴
हल-
द्विपद प्रमेय के आधार पर हम जानते हैं कि
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प्रश्न 5.
${ \left( \sqrt { \frac { x }{ a } } -\sqrt { \frac { a }{ x } } \right) }^{ 6 }$
हल-
द्विपद प्रमेय के आधार पर हम जानते हैं कि
(x + a)ⁿ = xⁿ – ⁿC₁ x^n-1. a + ⁿC₂x^n-2a²+ ……… +(-1)^r ⁿC_rx^n-ra^r + ……… +(-1)ⁿ aⁿ
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द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित ( प्रश्न 6-9) का मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 6.
(96)³
हल-
96 = 100 – 4 लिखने पर
(96)³ = (100 – 4)³
= ³C₀ (100)³ – ³C₁ (100)² (4) + ³C₂ (100)¹ (4)² – ³C₃ (4)³
= 1000000 – 3 (10000) (4) + 3 (100) 16 – 64
= 1000000 – 120000 + 4800 – 64
= 1004800 – 120064
= 884736

प्रश्न 7.
(101)⁴
हल-
101 = 100 + 1 लिखने पर
(100 + 1)⁴ = ⁴C₀ (100)⁴ + ⁴C₁ (100)³ (1) + ⁴C₂(100)² (1)² + ⁴C₃(100)¹ (1)³ + ⁴C₄ (1)⁴
= 100000000 + 4 (1000000) + 6 (10000) + 4 (100) + 1
= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 +1
= 104060401

प्रश्न 8.
(99)⁵
हल-
99 = 100 – 1 लिखने पर
(99)⁵ = (100 – 1)⁵
= ⁵C₀ (100)⁵ – ⁵C₁ (100)⁴. 1 + ⁵C₂ (100)³ . (1)² – ⁵C₃ (100)² . (1)³ + ⁵C₄ (100)¹ (1)⁴ – ⁵C₅ (1)⁵
= (100)⁵ – 5 x (100)⁴ + 10 x (100)³ – 10 x (100)² + 5 x 100 – 1
= 10000000000 – 500000000 + 10000000 – 100000 + 500 – 1
= 10010000500 – 500 100001
= 9509900499

प्रश्न 9.
(1.1)⁶
हल-
1.1 = 1 + 0.1 लिखने पर
(1.1)⁶ = (1 + 0.1)⁶
∴ (1 + 0.1)⁶ = ⁶C₀ (1)⁶ + ⁶C₁ (1)⁵.(0.1) + ⁶C₂ (1)⁴.(0.1)² + ⁶C₃ (1)³.(0.1)³ + ⁶C₄ (1)².(0.1)⁴ + ⁶C₅ (1)(0.1)⁵ + (0.1)⁶
= 1 + 6 x 1 x 0.1 + 15 x 1 x 0.01 + 20 x 1 x 0.001 + 15 x 1 x 0.0001 + 6 x 1 x 0.00001 + 0.000001
= 1 + 0.6 + 0.15 + 0.020 + 0.0015 + 0.00006 + 0.000001
= 1.771561

प्रश्न 10.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौनसी संख्या बड़ी है। (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ या 1000.
हल-
द्विपद प्रमेय की सहायता से (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ का विस्तार करने पर
(1.1)¹⁰⁰⁰⁰= (1 + 0.1)¹⁰⁰⁰⁰
= ¹⁰⁰⁰⁰C₀ + ¹⁰⁰⁰⁰C₁ (0.1) + ¹⁰⁰⁰⁰C₂ (0.1) + अन्य धनात्मक पद
= 1 + 10000 x (0.1) + अन्य धनात्मक पद्
= 1 + 1000 + अन्य धनात्मक पद
= 1001 + अन्य धनात्मक पद
जो कि 1000 से बड़ी संख्या प्राप्त होगी। अतः
(1.1)¹⁰⁰⁰⁰> 1000

प्रश्न 11.
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके (√3 + √2)⁴ – (√3 – √2)⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
प्रश्नानुसार (a + b)⁴ – (a – b)⁴
= [⁴C₀ a⁴ + ⁴C₁ a³b + ⁴C₂ a²b²+ ⁴C₁ ab³ + ⁴C₄.b⁴] – [⁴C₀ a⁴ – ⁴C₁ a³b + ⁴C₂ a²b² – ⁴C₃ab³ + ⁴C₄ b⁴]
= (a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴) – (a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴)
= 2 [4a³b – 4ab³]
= 8ab (a² + b²)
इसमें प्रश्नानुसार a = √3 तथा b = √2 रखने पर
(√3 + √2) – (√3 – √2)
= 8.√3.√2 [(√3)² + (√2)²]
= 8√6 (3 + 2)
= 8√6 (5)
= 40 √6

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित द्विपद प्रसारों में अंकित पद ज्ञात कीजिए।
(i) (a + 2x³)¹⁷ का 5 वाँ पद
हेल-
हम जानते हैं
T_r+1= ⁿC_r x^n-r a^r
यहाँ पर r = 4 होगा।
∴ T₄₊₁= T₅ = ¹⁷C₄ (a)^17-4. (2³)⁴
T₅ = ¹⁷C₄. a¹³. 2⁴. x¹²
= ¹⁷C₄. a¹³. 16x¹²

(ii) ${ \left( \frac { x }{ y } -\frac { 3y }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 12 }$ का 9 वाँ पद
हल-
हम जानते हैं ।
T_r+1= ⁿC_r x^n-r a^r
यहाँ पर r = 8 होगा।
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(iii) ${ \left( \frac { 2 }{ \sqrt { x } } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) }^{ 9 }$ का 9 वाँ पद
हम जानते हैं
T_r+1= ⁿC_r x^n-r a^r
यहाँ पर r = 5 होगा।
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प्रश्न 2.
गुणांक ज्ञात कीजिए
(i) ${ \left( ax-\frac { 1 }{ { bx }^{ 2 } } \right) }^{ 8 }$ के प्रसार में x^-7 का
हल-
माना कि x^-7, T_r+1 पद में आता है। तब
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(ii) ${ \left( { x }^{ 4 }-\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 15 }$ के प्रसार में x⁴ का
हल-
माना कि x⁴, T_r+1 पद में आता है। तब
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= 6435

(iii) (a – bx²)¹⁰ के प्रसार में x⁶ का
हल-
माना कि x⁶, T_r+1 पद में आता है। तब
T_r+1= ¹⁰C_r (a)^10-r. (-bx²)^r
= ¹⁰C_r (a)^10-r (-1)^r b^r. x^2r ……..(1)
इसमें x की घात 6 होनी चाहिए।
अतः 2r = 6 ∴ r = 3
r का मान समी. (1) में रखने पर, x⁶ का गुणांक
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प्रश्न 3.
निम्नलिखित के प्रसार में x रहित पद ज्ञात कीजिए
(i) ${ \left( { x }-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 12 }$
हल-
माना x रहित पद T_r+1 वाँ पद है।
∴ T_r+1= ⁿC_r x^n-r a^r
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(ii) ${ \left( { \sqrt { x } }-\frac { 3 }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 10 }$ ,x > 0
हल-
माना कि (r + 1)वाँ पद x रहित है।
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(iii) ${ \left( { \sqrt { \frac { x }{ 3 } } }+\frac { 3 }{ 2{ x }^{ 2 } } \right) }^{ 10 }$
हल-
माना, कि (r + 1)वाँ पद x रहित है।
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(iv) ${ \left( { { x }^{ 2 } }-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 10 }$
हल-
माना कि (r + 1) वाँ पद x रहित है।
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प्रश्न 4.
निम्नलिखित के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए
(i) ${ \left( \frac { x }{ 2 } +2y \right) }^{ 6 }$
हल-
${ \left( \frac { x }{ 2 } +2y \right) }^{ 6 }$ के प्रसार में पदों की संख्या = 6 + 1 = 7(विषम)
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= 20x³y³

(ii) ${ \left( 3a-\frac { { a }^{ 3 } }{ 6 } \right) }^{ 9 }$
हल-
${ \left( 3a-\frac { { a }^{ 3 } }{ 6 } \right) }^{ 9 }$ के प्रसार में पदों की संख्या
= 9 + 1 = 10 (सम)
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(iii) ${ \left( x+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 2n }$
हल।
${ \left( x+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 2n }$ प्रसार में पदों की संख्या = 2n + 1
जो कि एक विषम संख्या है। इसलिए
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(iv) ${ \left( 3x-\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 15 }$
हल-
${ \left( 3x-\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } \right) }^{ 15 }$ के प्रसार में पदों की संख्या
= 15 + 1 = 16 (सम)
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प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि यदि n सम हो, तब (1 + x)ⁿ के प्रसार में मध्य पद का गुणांक $\frac { 1.3.2.......(n-1) }{ 2.4.6......n }$ 2ⁿ होगा। यदि n
विषम हो, तो दोनों मध्य पदों का गुणांक $\frac { 1.3.5....n }{ 2.4.6 (n+1) }$ 2ⁿ होगा।
हल-
(i) n के सम होने पर माना n = 2k
∴ (1 + x)^2k के प्रसार में (2k + 1) पद होंगे, जिनका मध्य पद $\frac { 2k+1+1 }{ 2 }$
= (k + 1)वाँ पद होगा।
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(ii) यदि n विषम है तो माना n = 2k +1, अतः (1 + x)^2k+1 के विस्तार में (2k + 1) + 1 अर्थात् (2k + 2) पद होंगे।
इसलिए मध्य पद , $\frac { 2k+2 }{ 2 }$ = k + 1 वाँ पद
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प्रश्न 6.
यदि ${ \left( ax+\frac { 1 }{ bx } \right) }^{ 11 }$ के प्रसार में x⁷ का गुणांक तथा x^-7 का गुणांक बराबर है तब सिद्ध कीजिए ab – 1 = 0.
हल-
${ \left( ax+\frac { 1 }{ bx } \right) }^{ 11 }$ के प्रसार का व्यापक पद
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प्रश्न 7.
(1 + y)ⁿ के विस्तार में यदि 5 वें, 6 वें तथा 7 वें पदों के गुणांक स.श्रे. में हों, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
∵ (1 + y)ⁿ के प्रसार में T_r+1 = ⁿC_r y^r
∴ (r + 1)वें पद का गुणांक = ⁿC_r
∴ 5वें पद का गुणांक = ⁿC₄
6ठे पद का गुणांक = ⁿC₅
7वें पद का गुणांक = ⁿC₆
ⁿC₄, ⁿC₅, ⁿC₆, समान्तर श्रेणी में हों, तब
2ⁿC₅ = ⁿC₄ + ⁿC₆
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⇒ (17 – n) (n – 4) (n – 5) = 30 (h – 5)
⇒ (17 – n) (n – 4) = 30
⇒ 21n – 68 – n² = 30
⇒ n² – 21n + 98 = 0
⇒ (n – 14) (n – 7) = 0
⇒ n = 7 या 14
∴ n = 7 या 14

प्रश्न 8.
(x + a)ⁿ के द्विपद प्रसार के दूसरे, तीसरे और चौथे पद क्रमशः 240, 720 और 1080 हैं। x, a तथा n ज्ञात कीजिए।
हल-
हमें ज्ञात है कि दूसरा पद T₂ = 240
परन्तु T₂ = ⁿC₁ x^n-1. a
इसलिए ⁿC₁ x^n-1. a = 240 …. (1)
इसी प्रकार ⁿC₂ x^n-2 a² = 720 ….(2)
और ⁿC₂ x^n-3 a³ = 1080 ….. (3)
(2) को (1) से भाग करने पर हमें प्राप्त होता है,
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इन समीकरणों को हल करने से हम x = 2, a = 3 तथा n = 5 प्राप्त करते हैं।

प्रश्न 9.
यदि (1 + a)ⁿ के प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक 1 : 7 : 42 के अनुपात में हैं तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
मान लीजिए (1 + a)ⁿ के प्रसार में (r – 1)^वाँ, r^वाँतथा (r + 1)^वाँ पद, तीन क्रमागत पद हैं। (r – 1)^वाँ पद ⁿC_r-2a^r-2 है तथा इसका गुणांक ⁿC_r-2 है। इसी r^वें प्रकार तथा (r + 1)^वें पदों के गुणांक क्रमशः ⁿC_r-1 व ⁿC_r हैं। क्योंकि गुणांकों का अनुपात 1 : 7 : 42 है इसलिए
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⇒ 6r = n – r + 1
⇒ 7r – n – 1 = 0 ….(2)
समीकरण (1) में समीकरण (2) को घटाने पर।
– r + 8 = 0 ∴ r = 8
r का मान समीकरण (1) में रखने पर।
8 x 8 – n – 9 = 0
64 – n – 9 = 0
∴ n = 55

प्रश्न 10.
m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए (1 + x)^m के प्रसार में x² का गुणांक 6 हो।
हल-
हम जानते हैं कि
(1 + x)^m = ^mC₀ + ^mC₁x¹ + ^mC₂ x² + …….. + ^mC_m r^m
इस प्रसार में x² का गुणांक ^mC₂ होगा जो कि प्रश्नानुसार 6 के बराबर है।
∴ ^mC₂ = 6
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या m (m – 1) = 2 x 6
या m² – m = 12
या m² – m – 12 = 0
या m² – 4m² + 3m – 12 = 0
या m(m – 4) + 3(m – 4) = 0
या (m – 4) (m + 3) = 0
या m – 4 = 0
या m + 3 = 0
या m = 4 या m = – 3
नकारात्मक मान को उपेक्षणीय मानने पर m = 4.

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.3

प्रश्न 1.
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार के गुणांक क्रमशः C₀, C₁, C₂, ………. C_n हो, तो मान ज्ञात कीजिए-
(i) ⁸C₁ + ⁸C₂ + ⁸C₃ + …… ⁸C₈
(ii) ⁸C₁ + ⁸C₃ + ⁸C₅ + ⁸C₇ + ……..
हल-
(i) चूँकि हम जानते हैं कि
ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ….. + ⁿC_n = 2ⁿ
1 + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ +….. + ⁿC_n = 2ⁿ
∴ ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ + ….. + ⁿC_n = 2ⁿ – 1
n = 8 रखने पर
⁸C₁ + ⁸C₂ + ⁸C₃ + ….. + ⁸C₈ = 2⁸ – 1
= 256 – 1 = 255

(ii) द्विपद गुणांकों के गुणधर्म से हम जानते हैं ।
2(ⁿC₁ + ⁿC₃ + ⁿC₅ + ……) = 2ⁿ
या ⁿC₁ + ⁿC₃ + ⁿC₅ + …. $\frac { { 2 }^{ n } }{ 2 }$ = 2^n-1
n = 8 रखने पर
⁸C₁ + ⁸C₃ + ⁸C₅ + …… = 2^8-1 = 2⁷
= 128
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार के गुणांक क्रमशः C₀, C₁, C₂,…… C_n हो, तब सिद्ध कीजिए

प्रश्न 2.
C₀ + 3.C₁ + 5.C₂ +……. + (2n + 1). C_n = (n + 1)2ⁿ
हल-
L.H.S. C₀+ 3.C₁ + 5.C₂ + ……. + (2n + 1) . C_n
= (C₀ + C₁ + C₂ + C₃ + ….. + C_n) + (2.C₁ + 4.C₂ + 6.C₃ + …… + 2nC_n)
= 2ⁿ + 2(C₁ + 2C₂ + 3C₃ …… + n.C_n).
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= 2ⁿ + 2n[1 + ^n-1C₁ + ^n-1C₂ + ^n-1C₃ +….. ^n-1C_n-1].
= 2ⁿ + 2n.2^n-1
= 2ⁿ + n.2ⁿ
= (n + 1)2ⁿ
= R.H.S.
∴ L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 3.
C₀C₂ + C₁C₃ + C₂C₄ +…… + C_n-2C_n =
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हल :
(1 + x)ⁿ = (C₀ + C₁x + C₂x² + C₃x³ + ….. + C_nxⁿ) ….(1)
(x + 1)ⁿ = (C₀xⁿ + C₁x^n-1 + C₂x^n-2 + …… + C_n) …(2)
समी. (1) तथा (2) का गुणा करने पर
(1 + x)ⁿ × (x + 1)ⁿ
= (C₀ + C₁x + C₂x² + C₃x³ + ….. + C_nxⁿ) ×
(C₀xⁿ + C₁x^n-1 + C₂x^n-2 + …… + C_n)
दोनों पक्षों में x^n-r के गुणांकों की तुलना करने पर
²ⁿC_n-r = C₀C_r + C₁r_r+1 + …… + C_n-r C_r
r = 2 रखने पर
²ⁿC_n-2 = C₀C₂ + C₁C₃ + C₂C₄ …… C_n-2C_n
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प्रश्न 4.
C₀ + 2C₁ + 4C₂ + 6C₃ + ….. + 2nC_n = 1 + n2ⁿ
हल-
L.H.S.
C₀ + 2C₁ + 4C₂ + 6C₃ + ….. + 2ⁿC_n
= 1 + 2C₁ + 4C₂ + 6C₃ + …… + 2ⁿC_n
∵ C₀ = 1
= 1 + 2(C₁ + 2C₂ + 3C₃ +…….. + ⁿC_n)
= 1 + 2(ⁿC₁ + 2.ⁿC₂ + 3.ⁿC₃+ ……. + n.ⁿC_n)
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प्रश्न 5.
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हल-
सभी के मान निकालने पर

प्रश्न 6.
यदि (1 + x – 2x²)⁶ का पूर्ण प्रसार 1 + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …….. + a₁₂x¹² द्वारा निरूपित हो, तब सिद्ध कीजिए, a₂ + a₄ + a₆ + ……… a₁₂ = 31
हल-
x = -1 रखने पर
(1 – 1 – 2(-1)²)⁶ = 1 – a₁ + a₂ – a₃ + ….. + a₁₂
अर्थात् (-2)⁶ = 1 – a₁ + a₂– a₃ + a₄ – a₅ + …… + a₁₂
64 = 1 – a₁ + a₂ – a₃ + a₄ – a₅ + …… + a₁₂ ….(1)
अब x = 1 रखने पर
(1 + 1 – 2.1²)⁶ = 1 + a₁ + a₂ + a₃+ ……. + a₁₂
(2 – 2)⁶ = 1 + a₁ + a₂ + a₃ + …….. a₁₂
0 = 1 + a₁ + a₂ + a₃ + ……. + a₁₂ ….(2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
64 = 2 + 2a₂ + 2a₄ + …… + 2a₁₂
64 = 2(1 + a₂ + a₄ + …… + a₁₂)
या $\frac { 64 }{ 2 }$ = (1 + a₂ + a₄ + …… + a₁₂)
32 = 1 + a₂ + a₄ + ….. + a₁₂
या a₂ + a₄ + a₆ + ……. + a₁₂ = 32 – 1 = 31
अतः a₂ + a₄ + a₆ + ……. + a₁₂ = 31 इतिसिद्धम्

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित द्विपदों का चार पदों तक प्रसार कीजिए
(i) (1 + x²)^-2
हल-
(i) (1 + x²)^-2
हम जानते हैं।
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चार पदों तक प्रसार लेने पर
= 1 – 2x² + 3x⁴ – 4x⁶

(ii) ${ \left( 1-\frac { x }{ 2 } \right) }^{ 1/2 }$
हल-
${ \left( 1-\frac { x }{ 2 } \right) }^{ 1/2 }$
हम जानते हैं।
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(iii) (3 – 2x²)^-2/3
हल-
(3 – 2x²)^-2/3
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चार पदों तक प्रसार लेने पर

(iv) $\frac { 1 }{ \sqrt { 5+4x } }$
हल-
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प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रसारों में वांछित पद ज्ञात कीजिए
(i) (1 – 3x)^-1/3 का चौथा पद
हल-
(1 – x)^-n के प्रसार में व्यापक पद
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चौथा पद ज्ञात करने के लिए r = 3 रखने पर

(ii) (1 + x)^5/2 का सातवाँ पद
हल-
(1 + x)ⁿ के प्रसार में व्यापक पद
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सातवाँ पद ज्ञात करने के लिए r = 6 रखने पर

(iii) (1 + 2x)^-1/2 का आठवाँ पद
हल-
(1 + x)^-n का व्यापक पद

आठवाँ पद ज्ञात करने के लिए r = 7 लेने पर
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प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रसारों का व्यापक पद ज्ञात कीजिए।
(i) (a³ – x³)^2/3
हल-
(a³ – x³)^2/3
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(ii) (1 – 2x)^-3/2
हल-
(1 – 2x)^-3/2
हम जानते हैं
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(iii) (1 – x)^p/q
हल-
(1 – x)^p/q
हम जानते हैं (1 – x)^-n का व्यापक पद
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प्रश्न 4.
यदि x < 3 हो, तो (3 – x)^-8 के प्रसार में x⁵ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है- x < 3
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.4

प्रश्न 5.
(a + 2bx²)^-3 के प्रसार में x⁶ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल-
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.4

प्रश्न 6.
$\frac { { 1+3x }^{ 2 } }{ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ 3 } }$ के प्रसार में x¹⁰ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल :
$\frac { { 1+3x }^{ 2 } }{ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ 3 } }$
(1 + 3x²)(1 – x²)^-3
(1 + 3x²)(1 + 3x² + 6(x²)² + 10(x²)³ + 15(x²)⁴ + 21(x²)⁵ + ……
(1 + 3x²)(1 + 3x² + 6x⁴ + 10x⁶ + 15x⁸ + 21x¹⁰ + …..)
x¹⁰ के गुणांक का मान निकालने पर,
21 + 3 x 15 = 21 + 45 = 66

प्रश्न 7.
(1 – 2x + 3x² – 4x³ +….)ⁿ के विस्तार में x^r का गुणांक ज्ञात कीजिए तथा यदि x = $\frac { 1 }{ 2 }$ और n = 1 हो, तो व्यंजक का मान लिखिए।
हल-
माना S = 1 – 2x + 3x² – 4x³ + ……
xS = x – 2x² + 3x³ + ……
दोनों को जोड़ने पर
S(1 + x) = 1 – x + x² – x³ + ………
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प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए
(1 + x + x² + x³ + ……)² = 1 + 2x + 3x² + ……
हल-
L.H.S.
(1 + x + x² + x³ + ……)²
= [(1 – x)^-1]² ∵ (1 – x)^-1 = 1 + x + x² + x³ + ….. ∞
= (1 – x)^-2
= 1 + 2x + 3x² + ……… ∞
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए (1 + x + x² + x³ + …….∞)(1 + 3x + 6x² + ……∞) = (1 + 2x + 3x² + ……∞)²
हल-
L.H.S.
(1 + x + x² + x³ + …….∞)(1 + 3x + 6x² + ……∞) = (1 – x)^-1 x (1 – x)^-3
प्रसार से हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं
= (1 – x)^-4 = ((1 – x)^-2)²
मान रखने पर
= (1 + 2x + 3x² + 4x³ + …….∞)² = R.H.S.
अतः L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 10.
यदि x = 2y + 3y² + 4y³ +…… है, तो y को x की आरोही घातों की श्रेणी के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल-
दिया गया है
x = 2y + 3y² + 4y³ + ………
दोनों तरफ 1 जोड़ने पर
(1 + x) = 1 + 2y + 3y² + 4y³ + ……..
(1 + x) = (1 – y)^-2
या (1 – y) = (1 + x)^-1/2
या y = 1 – (1 + x)^-1/2
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Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5

प्रश्न 1.
यदि x की तुलना में y बहुत कम हो, तो सिद्ध कीजिए कि
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5
जहाँ y² एवं उच्च घात उपेक्षणीय है।
हल-

यहाँ पर y² एवं उच्च घात की उपेक्षणीय है।

पुनः y² एवं उच्च घात की उपेक्षणीय करने पर
= $1-2n\frac { y }{ x }$
= R.H.S.

प्रश्न 2.
यदि x इतना छोटा है कि x के वर्ग एवं अन्य उच्च घात उपेक्षणीय है, तो निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए-
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5
हल-

x² व अन्य उच्च घातों को छोड़ने पर

पुनः x² व अन्य उच्च घातों को छोड़ने पर

चूँकि दिया गया है कि x के वर्ग एवं अन्य उच्च घात उपेक्षणीय है। अतः उपरोक्त इस प्रकार से लिखा जा सकता है
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5
यहाँ पर x के वर्ग एवं अन्य उच्च घात उपेक्षणीय है।

चूँकि दिया गया है कि x के वर्ग एवं अन्य उच्च घात उपेक्षणीय है इसलिये इसे इस प्रकार से लिख सकते हैं
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5
x के वर्ग एवं अन्य उच्च घात उपेक्षणीय है।

x के वर्ग एवं अन्य उच्च घात उपेक्षणीय है।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5

प्रश्न 3.
मान ज्ञात कीजिए
(i) √30 का दशमलव कें 4 अंकों तक
(ii) (1.03)^1/3 का दशमलव के 4 अंकों तक
(iii) $\frac { 1 }{ { \left( 8.16 \right) }^{ 1/3 } }$ का दशमलव के 4 अंकों तक
(iv) 126 का घनमूल, दशमलव के 5 अंकों तक
हल-
(i) √30 = (30)^1/2
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5
= 5[1 + 0.1 – 0.005 + 0.00025]
= 5[1.10025 – 0.005]
= 5 x 1.09525
= 5.47625

(ii) (1.03)^1/3 = (1 + 0.03)^1/3
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= 1 + 0.1 – 0.0001
= 1.0099

(iii) $\frac { 1 }{ { \left( 8.16 \right) }^{ 1/3 } }$
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5
= $\frac { 1 }{ 2 }[1 - 0.00666 + 0.0000888 ....]$
= $\frac { 1 }{ 2 }[0.9934]$
= 0.4967

(iv) 126 को घनमूल
(126)^1/3 = (125 + 1)^1/3
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5
= 5 + 0.01333 – 0.000035 + ……….
= 5.01333 – 0.000035 = 5.013295
अतः दशमलव के 5 अंकों तक इसका मान होगा
= 5.01330

प्रश्न 4.
यदि x लगभग 1 के बराबर हो, तो सिद्ध कीजिए
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5
हल-

माना x = 1 + h, जहाँ h इतना छोटा है कि इसके वर्ग तथा अन्य घातों को उपेक्षणीय मानते हैं।

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5
माना x = 1 + h, जहाँ h इतना छोटा है कि इसके वर्ग तथा अन्य घांतों को उपेक्षणीय मानते हैं।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5

प्रश्न 5.
यदि p और q लगभग बराबर हैं, तो सिद्ध कीजिए
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5
हल-
चूँकि p और q लगभग बराबर हैं। अतः माना कि p = q+ h, जहाँ h बहुत छोटी राशि है। जिसके वर्ग तथा उच्च घातों को नगण्य मानकर छोड़ा जा सकता है।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.5
[h की उच्च घातों को नगण्य मानकर उपेक्षा करते हुए]

[h की उच्च घातों को नगण्य मानकर उपेक्षा करते हुए)

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6

निम्नलिखित अनन्त श्रेणियों का योग ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

हल-
श्रेणी

मानक श्रेणी
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6

प्रश्न 2.

हल-
दी गयी श्रेणी

मानक श्रेणी
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6
श्रेणी के पदों की तुलना करने पर

समी. (2) में समी. (1) का वर्ग करके भाग देने पर

प्रश्न 3.

हल-
श्रेणी

मानक श्रेणी
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6
श्रेणी के पदों की तुलना करने पर

समी. (2) में समी. (1) का वर्ग करके भाग देने पर

प्रश्न 4.

हल-
श्रेणी

मानक श्रेणी
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6
श्रेणी के पदों की तुलना करने पर

प्रश्न 5.
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6
हल-
श्रेणी

मानक श्रेणी

श्रेणी के पदों की तुलना करने पर

समीकरण (2) में समी. (1) का वर्ग करके भाग देने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6

प्रश्न 6.
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6
हल-
R.H.S.
श्रेणी

मानक श्रेणी

श्रेणी के पदों की तुलना करने पर

समी. (2) में समी. (1) का वर्ग करके भाग देने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6

प्रश्न 7.
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6
हल-

मानक श्रेणी

श्रेणी के पदों की तुलना करने पर

समी. (2) में समी. (1) का वर्ग करके भाग करने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6

प्रश्न 8.
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6
हल-
R.H.S.

मानक श्रेणी

श्रेणी के पदों से तुलना करने पर

समी. (2) में समी. (1) का वर्ग करके भाग देने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6

प्रश्न 9.
यदि

तब सिद्ध कीजिए y² + 2y – 2 = 0
हल-
दिया है

दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6
श्रेणी के पदों से तुलना करने पर

समी. (2) में समी. (1) का वर्ग करके भाग देने पर

⇒ 1 + 2Y + Y² = 3
∴ Y² + 2Y – 2 = 0
इतिसिद्धम्

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Ex 7.6
हल-
R.H.S.

इस आधार पर हम उपरोक्त को लिख सकते हैं

अतः L.H.S. = R.H.S.

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
${ \left( \frac { a }{ x } +bx \right) }^{ 12 }$ के विस्तार में कुल पदों की संख्या है
(A) 11
(B) 13
(C) 10
(D) 14
हल :
(B)

प्रश्न 2.
${ \left( \frac { 1 }{ 2 } +a \right) }^{ 8 }$ के विस्तार में 7 वाँ पद है
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Miscellaneous Exercise
हल :
(C)

प्रश्न 3.
(a – x)⁸ के प्रसार में मध्य पद है
(A) 56a³x⁵
(B) -56a³x⁵
(C) 70a⁴x⁴
(D) -70a⁴x⁴
हल :
(C)

प्रश्न 4.
${ \left( 2x+\frac { 1 }{ { 3x }^{ 2 } } \right) }^{ 9 }$ के प्रसार में अचर पद है
(A) पाँचवाँ
(B) चौथा
(C) छठवाँ
(D) सातवाँ
हल :
(B)

प्रश्न 5.
(x + a)ⁿ के प्रसार में व्यापक पद है
(A) ⁿC_r x^n-r. a^r
(B) ⁿC_r x^r. a^r
(C) ⁿC_n-r x^n-r. a^r
(D) ⁿC_n-r x^r. a^n-r
हल :
(A)

प्रश्न 6.
${ \left( { 2x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ x } \right) }^{ 12 }$ के विस्तार में x रहित पद का मान है
(A) 264
(B) -264
(C) 7920
(D) -7920
हल :
(C)

प्रश्न 7.
${ \left( { x }^{ 4 }-\frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } \right) }^{ 15 }$ के प्रसार में x^-17 का गुणांक है
(A) 1365
(B) -1365
(C) 3003
(D) -3003
हल :
(B)

प्रश्न 8.
यदि (1 + x)¹⁸ के प्रसार में (2r + 4) वें तथा (r – 2) वें पदों के गुणांक बराबर हों, तब r का मान है
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
हल :
(B)

प्रश्न 9.
यदि (a + b)ⁿ तथा (a + b)ⁿ⁺³ के प्रसार में क्रमशः दूसरे एवं तीसरे एवं चौथे पदों का अनुपात बराबर हो, तो n का मान है
(A) 5
(B) 6
(C) 3
(D) 4
हल :
(A)

प्रश्न 10.
यदि (1 + x)²ⁿ के विस्तार में 3r वें तथा (r + 2) वें पदों के गुणांक बराबर हो, तो
(A) n = 2r
(B) n = 2r – 1
(C) n = 2r + 1
(D) n = r + 1
हल :
(A)

प्रश्न 11.
${ \left( { 2x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ { x } } \right) }^{ 10 }$ के विस्तार में x रहित पद का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि (r + 1)वाँ पद x रहित है।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Miscellaneous Exercise
T_r+1 = (-1)^r ¹⁰C_r (2)^10-r . x^20-2r . x^-2r
= (-1)^r ¹⁰C_r (2)^10-r . x^20-4r
x रहित पद के लिए 20 – 4r = 0 ∴ r = 5
T₆ = (-1)⁵ ¹⁰C₅ (2)^10-5 = – ¹⁰C₅ x (2)⁵ = -8064

प्रश्न 12.
सरलीकरण के पश्चात् (x + a)²⁰⁰ + (x – a)²⁰⁰ के प्रसार में पदों की संख्या लिखिये ।
हल-
हम जानते हैं
(x + a)ⁿ = xⁿ + ⁿC₁ x^n-1 a + ⁿC₂ x^n-2 a² + …..
(x + a)ⁿ = xⁿ – ⁿC₁ x^n-1 a + ⁿC₂ x^n-2 a² – …..
(x + a)²⁰⁰ के प्रसार में कुल पदों की संख्या 201 होगी जिसमें 101 पद विषम होंगे और 100 पद सम होंगे। माना विषम पद P और सम पद Q हैं।
(x + a)²⁰⁰ = P + Q
इसी तरह से
(x – a)²⁰⁰ = P – Q
जोड़ने पर
(x + a)²⁰⁰ + (x – a)²⁰⁰ = 2P = 2 (सम पदों की संख्या)
अर्थात् पदों की संख्या = 101 होगी।

प्रश्न 13.
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार में C₀, C₁, C₂,…… C_n विभिन्न पदों के गुणांक हों, तब C₀ + C₂ + C₄ …… का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
हम जानते हैं
(1 + x)ⁿ = C₀ + C₁x + C₂x² + C₃x³ + ….. + C_nxⁿ
प्रसार में x = 1 रखने पर।
(1 + 1)ⁿ = C₀ + C₁ + C₂ + C₃ + ……. + C_n
⇒ 2ⁿ = C₀ + C₁ + C₂ + C₃ + ……. + C_n ….(1)
अब प्रसार में x = -1 रखने पर
(1 – 1)ⁿ = C₀ – C₁ + C₂ – C₃ + ……. + (-1)ⁿ C_n
0 = C₀ – C₁ + C₂ – C₃ + ……. + (-1)ⁿ C_n….(2)
समीकरण (1) तथा (2) का योग करने पर
2(C₀ + C₂ + C₄ + …..) = 2ⁿ
⇒ C₀ + C₂ + C₄ + ….. = 2^n-1

प्रश्न 14.
³⁰C₁ + ³⁰C₂ + ³⁰C₃ +….. + ³⁰C₃₀ का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
चूँकि ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ….. + ⁿC_n = 2ⁿ
यहाँ पर n = 30 रखने पर
³⁰C₀ + ³⁰C₁ + ³⁰C₂ + ….. + ³⁰C₃₀= 2³⁰
⇒ 1 + ³⁰C₁ + ³⁰C₂ + ³⁰C₃ + ….. + ³⁰C₃₀= 2³⁰∵ ³⁰C₀=1
∴ ³⁰C₁ + ³⁰C₂ + ³⁰C₃ + ….. + ³⁰C₃₀= 2³⁰ -1

प्रश्न 15.
${ \left( \frac { a }{ x } +\frac { x }{ a } \right) }^{ 10 }$ के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
हल-
मध्य पद = $\frac { 10 }{ 2 }+1$ = $\frac { 10+2 }{ 2 }$ = 6 वाँ पद
हम जानते हैं
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Miscellaneous Exercise
= 252

प्रश्न 16.
(1 + 2x)⁶ (1 – x)⁷ के प्रसार के गुणनफल में x⁵ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल-
द्विपद प्रमेय के आधार पर
(1 + 2x)⁶ = ⁶C₀ + ⁶C₁ (2x)¹ + ⁶C₂ (2x)² + ⁶C₃ (2x)³+ ⁶C₄ (2x)⁴ + ⁶C₅ (2x)⁵ + ⁶C₆ (2x)⁶
= 1 + 6 (2x) + 15 (4x²) + 20 (8x³) + 15 (16x⁴) + 6 (32) (5)⁵ + 64x⁶
= 1+ 12x + 60x² + 160x³ + 240x⁴ + 192x⁵+ 64x⁶
इसी प्रकार
(1 – x) = ⁷C₀ – ⁷C₁ x¹ + ⁷C₂ x² – ⁷C₃x³ +⁷C₄x⁴– ⁷C₅ x⁵ + ⁷C₆x⁶ – ⁷C₇ x⁷
= 1 – 7x + 21x² – 35x³ + 35x⁴ – 21x⁵ + 7x⁶ – x⁷
अतः प्रश्नानुसार (1 + 2x)⁶ . (1 – x)⁷
= (1 + 12x + 60x² + 160x³ + 240x⁴ + 192x⁵+ 64x⁶). (1 – 7x + 21x²– 35x³ + 35x⁴ – 21x⁵ + 7x⁶ – x⁷)
इनके गुणनफल में से x⁵ वाले पदों को लेने पर
1. (-21x⁵) + (12x) (35x⁴) + (60x²) (-35x²) + (160x³) (21x²) + (240x⁴) (-7x) + (192x⁵). 1
अत: x⁵ वाले पदों का गुणांक = (-21) + (12) (35) + (60) (-35) + (160) (21) + (240) (-7) + 192
= – 21 +420 – 2100 + 3360 – 1680 + 192
= 3972 – 3801
= 171

प्रश्न 17.
यदि (1 + x)²ⁿ के प्रसार में दूसरे, तीसरे और चौथे पदों के गुणांक समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिये कि 2n² – 9n + 7 = 0
हल-
(1 + x)²ⁿ = 1+ ²ⁿC₁x + ²ⁿC₂x² + ²ⁿC₃x³ +…..
दूसरे पद का गुणांक = ²ⁿC₁
तीसरे पद का गुणांक = ²ⁿC₂
चौथे पद का गुणांक = ²ⁿC₃
उपरोक्त पदों के गुणांक समान्तर श्रेणी में हैं।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Miscellaneous Exercise
⇒ 6(2n – 1) = 6 + (2n – 1)(2n – 2)
⇒ 6(2n – 1) – (2n – 1)(2n – 2) = 6
⇒ (2n – 1)(6 – 2n + 2) = 6
⇒ (2n – 1)(8 – 2n) = 6
⇒ 2(2n – 1)(4 – n) = 6
या (2n – 1)(4 – n) = 3
या 8n – 2n² – 4 + n = 3
या 2n² – 9n + 7 = 0 इतिसिद्धम्

प्रश्न 18.
${ \left( 1+\frac { x }{ 2 } -\frac { 2 }{ x } \right) }^{ 4 }$ x ≠ 0 का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
हल-
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Miscellaneous Exercise
अब

का प्रसार करने पर