RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Miscellaneous Exercise

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 7 द्विपद प्रमेय Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
${(\frac{\mathrm{a/}}{x}+bx)}^{12}$ के विस्तार में कुल पदों की संख्या है
(A) 11
(B) 13
(C) 10
(D) 14
हल :
(B)

प्रश्न 2.
${(\frac{\mathrm{1/}}{2}+a)}^8$ के विस्तार में 7 वाँ पद है

हल :
(C)

प्रश्न 3.
(a – x)⁸ के प्रसार में मध्य पद है
(A) 56a³x⁵
(B) -56a³x⁵
(C) 70a⁴x⁴
(D) -70a⁴x⁴
हल :
(C)

प्रश्न 4.
${(2x+\frac{\mathrm{1/}}{{}^{}})}^9$ के प्रसार में अचर पद है
(A) पाँचवाँ
(B) चौथा
(C) छठवाँ
(D) सातवाँ
हल :
(B)

प्रश्न 5.
(x + a)ⁿ के प्रसार में व्यापक पद है
(A) ⁿC_r x^n-r . a^r
(B) ⁿC_r x^r . a^r
(C) ⁿC_n-r x^n-r . a^r
(D) ⁿC_n-r x^r . a^n-r
हल :
(A)

प्रश्न 6.
${({}^{}-\frac{\mathrm{1/}}{x})}^{12}$ के विस्तार में x रहित पद का मान है
(A) 264
(B) -264
(C) 7920
(D) -7920
हल :
(C)

प्रश्न 7.
${({}^{}-\frac{\mathrm{1/}}{{}^{}})}^{15}$ के प्रसार में x^-17 का गुणांक है
(A) 1365
(B) -1365
(C) 3003
(D) -3003
हल :
(B)

प्रश्न 8.
यदि (1 + x)¹⁸ के प्रसार में (2r + 4) वें तथा (r – 2) वें पदों के गुणांक बराबर हों, तब r का मान है
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
हल :
(B)

प्रश्न 9.
यदि (a + b)ⁿ तथा (a + b)ⁿ⁺³ के प्रसार में क्रमशः दूसरे एवं तीसरे एवं चौथे पदों का अनुपात बराबर हो, तो n का मान है
(A) 5
(B) 6
(C) 3
(D) 4
हल :
(A)

प्रश्न 10.
यदि (1 + x)²ⁿ के विस्तार में 3r वें तथा (r + 2) वें पदों के गुणांक बराबर हो, तो
(A) n = 2r
(B) n = 2r – 1
(C) n = 2r + 1
(D) n = r + 1
हल :
(A)

प्रश्न 11.
${({}^{}-\frac{\mathrm{1/}}{x})}^{10}$ के विस्तार में x रहित पद का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि (r + 1)वाँ पद x रहित है।

T_r+1 = (-1)^r 10C_r (2)^10-r . x^20-2r . x^-2r
= (-1)^r 10C_r (2)^10-r . x^20-4r
x रहित पद के लिए 20 – 4r = 0 ∴ r = 5
T₆ = (-1)^5 10C₅ (2)^10-5 = – ¹⁰C₅ x (2)⁵ = -8064

प्रश्न 12.
सरलीकरण के पश्चात् (x + a)²⁰⁰ + (x – a)²⁰⁰ के प्रसार में पदों की संख्या लिखिये ।
हल-
हम जानते हैं
(x + a)ⁿ = xⁿ + ⁿC₁ x^n-1 a + ⁿC₂ x^n-2 a² + …..
(x + a)ⁿ = xⁿ – ⁿC₁ x^n-1 a + ⁿC₂ x^n-2 a² – …..
(x + a)²⁰⁰ के प्रसार में कुल पदों की संख्या 201 होगी जिसमें 101 पद विषम होंगे और 100 पद सम होंगे। माना विषम पद P और सम पद Q हैं।
(x + a)²⁰⁰ = P + Q
इसी तरह से
(x – a)²⁰⁰ = P – Q
जोड़ने पर
(x + a)²⁰⁰ + (x – a)²⁰⁰ = 2P = 2 (सम पदों की संख्या)
अर्थात् पदों की संख्या = 101 होगी।

प्रश्न 13.
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार में C₀, C₁, C₂ ,…… C_n विभिन्न पदों के गुणांक हों, तब C₀ + C₂ + C₄ …… का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
हम जानते हैं
(1 + x)ⁿ = C₀ + C₁x + C₂x² + C₃x³ + ….. + C_nxⁿ
प्रसार में x = 1 रखने पर।
(1 + 1)ⁿ = C₀ + C₁ + C₂ + C₃ + ……. + C_n
⇒ 2ⁿ = C₀ + C₁ + C₂ + C₃ + ……. + C_n ….(1)
अब प्रसार में x = -1 रखने पर
(1 – 1)ⁿ = C₀ – C₁ + C₂ – C₃ + ……. + (-1)ⁿ C_n
0 = C₀ – C₁ + C₂ – C₃ + ……. + (-1)ⁿ C_n….(2)
समीकरण (1) तथा (2) का योग करने पर
2(C₀ + C₂ + C₄ + …..) = 2ⁿ
⇒ C₀ + C₂ + C₄ + ….. = 2^n-1

प्रश्न 14.
³⁰C₁ + ³⁰C₂ + ³⁰C₃ +….. + ³⁰C₃₀ का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
चूँकि ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + ….. + ⁿC_n = 2ⁿ
यहाँ पर n = 30 रखने पर
³⁰C₀ + ³⁰C₁ + ³⁰C₂ + ….. + ³⁰C₃₀ = 2³⁰
⇒ 1 + ³⁰C₁ + ³⁰C₂ + ³⁰C₃ + ….. + ³⁰C₃₀ = 2³⁰ ∵ ³⁰C₀ =1
∴ ³⁰C₁ + ³⁰C₂ + ³⁰C₃ + ….. + ³⁰C₃₀ = 2³⁰ -1

प्रश्न 15.
${(\frac{\mathrm{a/}}{x}+\frac{\mathrm{x/}}{a})}^{10}$ के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
हल-
मध्य पद = $\frac{\mathrm{10/}}{2}+1$ = $\frac{10+\mathrm{2/}}{2}$ = 6 वाँ पद
हम जानते हैं

= 252

प्रश्न 16.
(1 + 2x)⁶ (1 – x)⁷ के प्रसार के गुणनफल में x⁵ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल-
द्विपद प्रमेय के आधार पर
(1 + 2x)⁶ = ⁶C₀ + ⁶C₁ (2x)¹ + ⁶C₂ (2x)² + ⁶C₃ (2x)³ + ⁶C₄ (2x)⁴ + ⁶C₅ (2x)⁵ + ⁶C₆ (2x)⁶
= 1 + 6 (2x) + 15 (4x²) + 20 (8x³) + 15 (16x⁴) + 6 (32) (5)⁵ + 64x⁶
= 1+ 12x + 60x² + 160x³ + 240x⁴ + 192x⁵ + 64x⁶
इसी प्रकार
(1 – x) = ⁷C₀ – ⁷C₁ x¹ + ⁷C₂ x² – ⁷C₃ x³ +⁷C₄ x⁴ – ⁷C₅ x⁵ + ⁷C₆ x⁶ – ⁷C₇ x⁷
= 1 – 7x + 21x² – 35x³ + 35x⁴ – 21x⁵ + 7x⁶ – x⁷
अतः प्रश्नानुसार (1 + 2x)⁶ . (1 – x)⁷
= (1 + 12x + 60x² + 160x³ + 240x⁴ + 192x⁵ + 64x⁶). (1 – 7x + 21x² – 35x³ + 35x⁴ – 21x⁵ + 7x⁶ – x⁷)
इनके गुणनफल में से x⁵ वाले पदों को लेने पर
1. (-21x⁵) + (12x) (35x⁴) + (60x²) (-35x²) + (160x³) (21x²) + (240x⁴) (-7x) + (192x⁵). 1
अत: x⁵ वाले पदों का गुणांक = (-21) + (12) (35) + (60) (-35) + (160) (21) + (240) (-7) + 192
= – 21 +420 – 2100 + 3360 – 1680 + 192
= 3972 – 3801
= 171

प्रश्न 17.
यदि (1 + x)²ⁿ के प्रसार में दूसरे, तीसरे और चौथे पदों के गुणांक समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिये कि 2n² – 9n + 7 = 0
हल-
(1 + x)²ⁿ = 1+ ²ⁿC₁x + ²ⁿC₂x² + ²ⁿC₃x³ +…..
दूसरे पद का गुणांक = ²ⁿC₁
तीसरे पद का गुणांक = ²ⁿC₂
चौथे पद का गुणांक = ²ⁿC₃
उपरोक्त पदों के गुणांक समान्तर श्रेणी में हैं।

⇒ 6(2n – 1) = 6 + (2n – 1)(2n – 2)
⇒ 6(2n – 1) – (2n – 1)(2n – 2) = 6
⇒ (2n – 1)(6 – 2n + 2) = 6
⇒ (2n – 1)(8 – 2n) = 6
⇒ 2(2n – 1)(4 – n) = 6
या (2n – 1)(4 – n) = 3
या 8n – 2n² – 4 + n = 3
या 2n² – 9n + 7 = 0 इतिसिद्धम्

प्रश्न 18.
${(1+\frac{\mathrm{x/}}{2}-\frac{\mathrm{2/}}{x})}^4$ x ≠ 0 का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
हल-

अब

का प्रसार करने पर

SabDekho

The Complete Educational Website

Bihar Board

UP Board

IAS Notes

Jac Board

MP Board

सम्पूर्ण व्याकरण

जीवनी

निबंध

टेन्स

सामान्य ज्ञान

Rajasthan Board

NCERT Solutions in Hindi

NCERT Solutions in English