WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 1 একচলবিশিষ্ট চিহ্নিত সমীকরণ

WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 1 একচলবিশিষ্ট চিহ্নিত সমীকরণ

West Bengal Board 10th Class Math Solutions Chapter 1 একচলবিশিষ্ট চিহ্নিত সমীকরণ

West Bengal Board 10th Math Solutions

কযে দেখি 1.1

(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তাঁর লাভ হলো।

(v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘন্টা সময় লাগে।

(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘন্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘন্টায় শেষ করতে পারে।

(vii) ”ই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।

(vii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গমিটার।

উত্তর। (iv) ধরি, ক্রয়মূল্য = x টাকা, লাভ = x%

যত টাকায় কিনেছিলেন শতকরা তত লাভ

100 টাকায় লাভ x টাকা X

(vii) মনে করি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানের অঙ্কটি হল x

∴ একক স্থানের অঙ্কটি হল (x + 6)

∴ সংখ্যাটি (x + 6) + 10x ∴ অঙ্কদুটির গুণফল x(x + 6) )

প্রশ্নানুসারে, (x + 6) x = (x + 6) + 10x – 12

বা, x² + 6x = 11x – 6

বা, x² + 6x – 11x + 6 = 0

বা, x² – 5x + 6 = 0

ইহাই নিৰ্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ,

(viii) আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য 45 মিটার এবং প্রস্থ 40 মিটার

∴ আয়তাকার খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল (45× 40) বর্গমিটার।

মনে করি, আয়তাকার খেলার মাঠের চারদিকে x মিটার চওড়া পথ আছে।

পথসহ মাঠের দৈর্ঘ্য (45 + 2 × x) মিটার = (45+2x) মিটার।

পথসহ মাঠের প্রস্থ = (40 + 2 × x) মিটার (40 + 2x) মিটার।

∴ পথসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (45+2x) ( 40 + 2x) বর্গমিটার।

∴ পথের ক্ষেত্রফল = {(45 + 2x) (40 + 2x) – (45 × 40)} বর্গমিটার।

প্রশ্নানুসারে, (45 + 2x) ( 40 + 2x) – 45 × 40 = 450

বা, 45(40 + 2x) + 2x(40 + 2x) – 45 x 40 = 450

বা, 1800 +90x + 80x + 4x² – 1800 = 450

বা, 4x² + 170x = 450

বা, 2x² + 85 – 225 = 0

কযে দেখি 1.2

1. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মানগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখি।

2. (i) k-এর কোন্ মানের জন্য 7x² + kx − 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 2/3 হবে হিসাব করে লিখি।

(ii) k-এর কোন্ মানের জন্য .x2 + 3ax + k = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ – a হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর। (i) x-এর পরিবর্তে 2/3 বসিয়ে পাই,

4. সমাধান করি :

কষে দেখি 1.3

1. দুটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117, সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।

1. ধরি দুটি ধনাত্মক সংখ্যা = x, x + 3

প্রশানুসারে, x² + (x + 3)² = 117

or, x² + x² + 6x + 9 = 117

or, 2x² + 6x + 9 – 117 = 0

or, 2x² + 6x – 108 = 0

or, x² + 3x – 54 = 0

or, x² + (9 – 6) x – 54 = 0

or, x² + 9x – 6x – 54 = 0

or, x(x + 9) – 6 (x + 9 ) = 0

or, (x + 9) (x – 6 )

দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে উহাদের যেকোন একটি রাশির মান অবশ্যই শূন্য হবে

x + 9 = 0 or x – 6 = 0 or, x = – 9 or x = 6

সংখ্যা দুটি ধনাত্মক x = – 9 মানটি অগ্রাহ্য করা হল

সংখ্যা দুটি = 6, 6 + 3 = 6, 9

2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 360 বর্গ মিটার হলে তার উচ্চতা নির্ণয় করি।

3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।

ধরা যাক অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি = x পাঁচগুণ 5x, বর্গের দ্বিগুণ = 2x²

প্রশ্নানুসারে, 5x – 2x² – 3                5x = 2x² – 3

বা, 2x² – 5x – 3 = 0

বা, 2x² – (6 – 1) x – 3 = 0

4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি, এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘন্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি. বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।

উত্তর : মনে করি মোটরগাড়ির গতিবেগ x কিমি / ঘন্টা।

জিপগাড়ির গতিবেগ (x + 5) কিমি / ঘন্টা।

5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গ মিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

উত্তর : মনে করি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মি।

6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।

উত্তর। ধরি একক x, দশক x = – 3

সংখ্যাটি x + 10(x – 3 )

শর্তানুসারে, 11 + 10(x − 3) – (x) (x − 3) = 15

বা, 11x – 30 – x² + 3x = 15

বা, – x² + 14x – 30 – 15 = 0

বা, x² – 14x + 45 = 0

বা, x² – (9+ 5)x + 45 = 0

বা, x² – 9x – 5x + 45 = 0

বা, x(x – 9) – 5 (x – 9 ) = 0

বা, (x – 9) (x – 5) = 0

দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে উহাদের একটি রাশির মান উহাদের একটি রাশির মান অবশ্যই শূন্য হবে

x – 9 = 0 বা, x – 5 = 0

x = 9 বা, x = 5

∴ সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক 5 অথবা 9

7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি 11 1/9 মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নলদুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর। ধরা যাক, ১ম নলটি পৃথকভাবে x মিনিটে পূর্ণ করতে পারে।

∴ দ্বিতীয় নলটি পৃথকভাবে x + 5 মিনিটে পূর্ণ করতে পারে।

প্রথম নলটি 1 মিনিটে 1/x অংশ পূর্ণ করে।

∴ ১ম নলটি 20 মিনিটে এবং ২য় নলটি 20 + 5 = 25 মিনিটে পৃথকভাবে পূর্ণ করতে পারবে।

৪. পর্ণা ও পীযূষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীযূষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।

বা, x² – 6.x – 720 = 0 বা, x² – 30x + 24x – 720 = 0

বা, x(x − 30) + 24 (x – 30) = 0 বা, (x – 30 ) (x + 24 ) = 0

∴ হয়, x − 30 = 0 বা, x = 30

অথবা, x + 24 = 0 বা, x = 24

x ≠–24 কারণ মূল্য ঋণাত্মক নয়।      ∴ x = 30

∴ প্রতি ডজন কলমের বর্তমান 30 মূল্য টাকা

কষে দেখি 1.4

1. (i) 4x² + (2 x −1)(2x + 1) = 4x(2x −1) এই সমীকরণটির, সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি।

(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি বুঝে লিখি।

(iii) 5x² + 2x -7 = 0 এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে x = k ± 12/10 পাওয়া গেলে k -এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর। 1. (1) 4x² + 4x² – 1 = 8x² – 4x

or, 8x² – 8x² + 4x − 1 = 0

∴ 4x – 1 = 0

∴ সমীকরণটি শ্রীধর আচার্য্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব না কারণ সমীকরণটি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত নয়।

(ii) সমীকরণটি ax² + bx + c = 0 যখন a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং ‘a ≠ 0 এবং b² – 4ac = 0 হলে তবেই সমীকরণটি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত হলেই শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুসারে সমাধান করা সম্ভব।

(ii) 5x² + 2x – 7 = 0

শ্রীধর আচার্য্যের দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর সহিত তুলনা করে পাই,

2. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণগুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করি।

3. নিম্নলিখিত গাণিতিক সমস্যাগুলি একচলাবিশিষ্ট সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে না বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করি।

(i) সাথী একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি বেশি।যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্যের থেকে 2 সেমি কম হয়, তবে সাথীর আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

(ii) যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল, 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি।

উত্তর। ধরি, এককের ঘরের অঙ্কটি = x

(iii) সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে 1মি./সেকেন্ড বেশি। 180 মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অনিকের থেকে 2 সেকেন্ড আগে পৌঁছায়। অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে ‘কত মিটার হিসাব করে লিখি।

ধরা যাক, অনিকের গতিবেগ x মি./সেকেন্ড

∴ অনিক x মি. যায় 1 সেকেন্ডে

(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গাক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মি. কম প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গাক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গ মিটার কম হলে বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350 টি লঙ্কার চারা কিনলেন। সারি ধরে চারাগাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে, প্রত্যেক সারিতে সারির সংখ্যা থেকে 24টি করে বেশী গাছ লাগানো আরও সারির সংখ্যা কত?

উত্তর : মনে করি, সারির সংখ্যা x

প্রত্যেক সারিতে চারা সংখ্যা হবে (x + 24) টি।

∴ xটি সারিতে মোট লংকা গাছ লাগানো হয়েছে x(x + 24) টি।

প্রশ্নানুসারে, x(x + 24) + 10 = 350

বা, x² + 24x + 10 – 350 = 0

বা, x² + 24x – 340 = 0

বা, x² + 34x – 10x – 340 = 0

বা, x(x + 34) − 10(x + 34) = 0

বা, (x + 34) (x – 10) = 0

(x + 34) ও (x – 10) -এর একটি অবশ্যই শূন্য হবে।

হয়, x + 34 = 0

বা, x = – 34

অথবা, x – 10 = 0

বা, x = 10

x ≠ – 34 কারণ, লংকাচারার সংখ্যা ঋণাত্মক নয়।

x = 10

∴ সারির সংখ্যা 10 টি।

(vi) জোসেফ এবং কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে। জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের চেয়ে 5 মিনিট কম সময় নেয়। 6 ঘন্টা কাজ করে জোসেফ, কুন্তলের চেয়ে 6 টি জিনিস বেশি তৈরি করে। কুন্তল ওই সময়ে কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি।

উত্তর : মনে করি, একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের সময় লাগে x মিনিটি।

জোসেফের সময় লাগে (x – 5) মিনিট

(vii) স্থির জলে একটি নৌকার গতিবেগ ৪ কিমি/ঘন্টা। নৌকাটি 5 ঘন্টায় স্রোতের অনুকুলে 15 কিমি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি. গেলে, স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।

(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘন্টায় 15 কিমি. একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে 180 কিমি. দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় কত কিমি. ছিল নির্ণয় করি।

উত্তর : মনে করি, এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ x কিমি/ঘন্টা।

বা, (x + 60 ) (x – 45) = 0

∴ (x + 60 ) ও (x –45)-এর একটি অবশ্যই শূন্য হবে।

হয়, x + 60 = 0 বা, x = – 60

অথবা, x – 45 = 0 বা, x = 45

x ≠ –60 কারণ গতিবেগ ঋণাত্মক নয়। ∴ x = 45

এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ 45 কিমি/ঘন্টা এবং সুপার ফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ (45+15) কিমি/ঘন্টা = 60 কিমি/ঘন্টা

(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কিগ্রা. মাছের যা দাম, ডালের দাম তা থেকে প্রতি কিগ্রা. 20 টাকা কম এভং চালের দাম প্রতি কিগ্রা. 40 টাকা কম। রেহানা 240 টাকার মাছ ও 240 টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমাণ মাছ ও ডাল পেল তা 280 টাকায় চাল কেনার পরিমাণের সমান। রেহানা প্রতি কিগ্রা, মাছ কী দামে কিনেছিল হিসাব করি।

কষে দেখি 1.5

1. নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি :

(i) 2x² + 7x + 3 = 0

(ii) 3x² – 2√6x + 2 = 0

(iii) 2x² – 7x + 9 = 0

(iv) 2/5x² – 2/3x + 1 = 0

2. k-এর কোন মান/মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি :

(i) 49x² + kx + 1 = 0

(ii) 3x² – 5x + 2k = 0

(iii) 9x² – 24x + k = 0

(iv) 2x² + 3x + k = 0

(v) x² – 2 (5 +2k)x + 3(7+10k) = 0

(vi) (3k + 1)x² + 2(k + 1)x + k = 0

3. নীচের প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :

(i) 4, 2 (ii) – 4, – 3, (iii) – 4, 3 (iv) 5, – 3

4. m-এর মান কত হলে 4x² + 4(3m-1)x+(n+7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে।

5. (b −c)x² + (c−a)x+(a – b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে,প্রমাণ করি যে, 2b = a+c

6. (a² + b²)x² −2(ac+bd)x+(c² + d²) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, a/b = c/d

7. প্রমাণ করি যে, 2(a² + b²)x² + 2(a+b)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি a ≠ b হয়।

∴ বীজদ্বয় সমান

∴ নিরুপক b² – 4ac = 0

বা, 3² – 4.2.k = 0

বা, –8k = –9  ∴ k = 9/8

(v) x² – 2(5 +2k)x + 3(7 + 10k) = 0

a = 1, b = 2(5 +2k), c =3(7+10K)

উত্তর। (a) x² – 2.(5 + 2k)x + 3.(7 + 10k) = 0

ওপরের সমীকরণের নিরূপক অর্থাৎ b2 – 4ac = [{-2(5 + 2k)}² – 4.1.3(7 + 10k)] = 0 হলে সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

∴ {-2(5 + 2k}² – 4.3 (7 + 10k) = 0

বা, 4(25 + 20k + 4k²) – 84 – 120k = 0

বা, 100 + 80k + 16k² – 84 – 120k = 0

বা, 16k² – 40k + 16 = 0

বা, 2k² – 5k + 2 = 0

বা, (2k – 1) (k – 2) = 0

বা, (2k – 1) = 0 এবং k – 2 = 0

∴ k = 1/2 অথবা, 2

(vi) (3k +1)x² + 2(k + 1)x + k = 0

∴ বীজদ্বয় সমান      ∴ a = (3k + 1), b = 2 (k + 1), c = k

∴ নিরুপক b² – 4ac = 0

∴ 2(k+1)² –4.(3k+1).k = 0

বা, 4(k² +2k+1)-4(3k² + k) = 0

বা, 4(k² +2k+1-3k² – k) = 0

বা, −2k² +k +1 = 0

বা, 2k² −k −1 = 0

বা, 2k² –(2−1)k – 1 = 0

বা, 2k²–2k + k− 1 = 0

বা, 2k(k−1) +1 (k – 1) = 0

বা, (k-1) (2k+1) = 0

দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে উহাদের যেকোন একটি রাশির মান অবশ্যই শূন্য

∴ k-1 = 0 বা, 2k + 1 = 0

∴ k = 1   বা, k = – 1/2

(ii) উৎপাদক দুটি (x + 4)(x + 3) = 0

বা, x² +7x + 12 = 0

(iii) –4, 3 বীজ দুটি সমীকরণের উৎপাদক হবে (x – 4)(x + 3)

বা, x² + x – 12 = 0

(iv) 5, −3 সমীকরণটি হবে x² – 2x−15 = 0

4. m এর মান কত হলে 4x² + 4(3m – 1)x + (m + 7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণে বীজদ্বয় অন্যোনক হবে। মনেকরি একটি বীজ = α

5. (b – c) x² + (c – a)x + (a – b) = 0

যেহেতু উপরের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান

∴ (c – a)² – 4 (b – c) (a – b) = 0

বা, (a – c)² – 4(b – c) (a – b) = 0

বা, {(a – b) + (bc)}² – 4 (b – c) (a – b) = 0

বা, {(a – b) – (b – c)}² = 0 [ ¨.¨ (a + b)² – 4ab = (a – b)²]

বা, (a – b) – (b − c) = 0

বা, a – b = b – c

বা, a + c = b + b = 2b

∴ 2b = a + c

যদি। a = b হয়

তবে 4(a – b)² = 4(a – b)² = 0

0 হলে সমান ও বাস্তব মান থাকবে। কিন্তু এক্ষেত্রে a ≠ b

∴ সমীকরণটির কোন বাস্তব মান নেই।

∴ যদি a ≠ b হয় তাহলে (i) নং সমীকরণে নিরূপকটি < 0 হবে অর্থাৎ বাস্তব বীজ থাকবে না।

SabDekho

The Complete Educational Website

Bihar Board

UP Board

IAS Notes

Jac Board

MP Board

सम्पूर्ण व्याकरण

जीवनी

निबंध

टेन्स

सामान्य ज्ञान