WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 22 পিথাগোরাসের উপপাদ্য
WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 22 পিথাগোরাসের উপপাদ্য
West Bengal Board 10th Class Math Solutions Chapter 22 পিথাগোরাসের উপপাদ্য
West Bengal Board 10th Math Solutions
কযে দেখি 22
1. যদি কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য নিম্নরূপ হয়, তবে কোন্ ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে হিসাব করে লিখি : (i) ৪ সেমি., 15 সেমি. ও17 সেমি. (ii) 9 সেমি., 11 সেমি. ও 6 সেমি.।
উত্তর : (i) 82 সেমি. = 64 সেমি., 152 সেমি. = 225 সেমি., 172 সেমি. = 289 সেমি.
আমরা পাই, 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী
(ii) 92 সেমি. = 81 সেমি., 112 সেমি. = 121 সেমি., 62 সেমি. = 36 সেমি.
আমরা পাই, 92 + 62 = 81 + 36 = 117 ≠ 121 অর্থাৎ 112
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী নয়
2. আমাদের পাড়ার রাস্তায় একটি 15 মিটার লম্বা মই এমনভাবে রাখা আছে যে মইটি ভূমি থেকে 9 মিটার উঁচুতে অবস্থিত মিলিদের জানালা স্পর্শ করেছে। এবার ওই রাস্তায় একই বিন্দুতে মইটির পাদদেশ রেখে মইটিকে ঘুরিয়ে এমনভাবে রাখা হলো যে মইটি রাস্তার অপর প্রান্তে অবস্থিত আমাদের জানালা স্পর্শ করল। আমাদের জানালা যদি ভূমি থেকে 12 মিটার উপরে থাকে, তবে পাড়ার ওই রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লিখি।
উত্তর : ধরি, AC ও AE মইয়ের দৈর্ঘ্য = 15 মিটার, BC = 9 মিটার এবং DE = 12 মিটার।
ΔABC সমকোণী ত্রিভুজে পীথাগোরাসের সূত্র থেকে পাই,
AB2 + BC2 = AC2
বা, AB2 + 92 = 152 বা, AB2 = 152 – 92 = 144
∴ AB = 12 মিটার।
আবার, ΔADE সমকোণী ত্রিভুজে পীথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
AD2 + DE2 = AE2
বা, AD2 + 122 = 152 বা, AD2 = 152 – 122 = 81
বা, AD = 9 মিটার
∴ BD = BA + AD = (12 + 9) মিটার = 21 মিটার।
∴ পাড়ার রাস্তাটি 21 মিটার চওড়া।
3. 10 সেমি. বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 12 সেমি, হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
উত্তর : ABCD রম্বসের AB = 10 সেমি.
এবং BD = 12 সেমি.। ∴ OB = 12/2 সেমি. = 6 সেমি.
∴ রম্বসের কর্নদ্বয় পরস্পর সমকোর্নে সমদ্বিখন্ডিত হয়
Δ AOB -এর ∠AOB = 1 সমকোণ।
∴ Δ AOB সমকোণী ত্রিভুজে পীথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
OA2 + OB2 = AB2
বা, OA2 + 62 = 102 বা, OA2 = 102 – 62 = 64
∴ OA = 8 সেমি. ∴ OC= 8 ∴ AC = 8 + 8 = 16
∴ রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 16 সেমি.।
4. একটি ত্রিভুজ PQR অঙ্কন করেছি যার ∠Q সমকোণ এবং QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু PS2 + QR2 = PR2 + QS2
উত্তরঃ প্রদত্তঃ ΔPOR-এর ∠Q = 1 সমকোণ এবং QR বাহুর উপর S যে-কোনো একটি বিন্দু হলে প্রমাণ করি যে,
5. প্রমাণ করি, যে-কোনো রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টি কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গদুটির সমষ্টির সমান হবে।
উত্তর : ABCD একটি রম্বস যার AC ও BD দুটি কর্ণ। AC ও BD কর্ণ দুটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে ABCD রম্বসের বাহুগুলির উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টি AC ও BD কর্ণ দুটির উপর অঙ্কিত বর্গ দুটির সমষ্টির সমান হবে।
6. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC বাহুর উপর লম্ব হলে, “প্রমাণ করি AB2 + BC2 + CA2 = 4AD2
প্রদত্ত : ABC সমবাহু ত্রিভুজে AD, BC বাহুর উপর লম্ব |
প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 + BC2 + CA2 =4AD2
প্রমাণ : যেহেতু AD ⊥ BC
ΔADB ও ΔADC উভয়েই সমকোণী ত্রিভুজ। যার ∠ADB = ∠ADC = 1 সমকোণ
ΔADB থেকে পাই, AB2 = BD2 + AD2 … (1) [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই ]
আবার, ΔADC থেকে পাই, BD
AC2 = DC2 + AD2 … (2) [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই ]
(1) ও (2) যোগ করে পাই,
AB2 + AC2 = BD2 + AD2 + DC2 + AD2
= BD2 + DC2 + 2AD2 = 2BD2 + 2AD2
∴ AB2 + AC2 + BC2 = 2BD2 + 2AD2 + BC2 = 2BD2 + 4BD2 + 2AD2
সমবাহু ত্রিভুজের যে কোন দুটি বাহুর কৌণিক বিন্দু থেকে তৃতীয় বাহুর উপর লম্ব টানলে উহা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে |
[‘.’ BC =2BD] = 6BD2 + 2AD2 = 6(AB2 – AD2) + 2AD2
বা, 4D2 = 6AB2 – (AB2 + AC2 + BC2) = 2(AB2 – AD2) + 2AD2
= 2(AB2 + AC2 + BC2) – (AB2 + AC2 + BC2) [ ‘.’ AB = BC = CA]
বা, 4D2 = AB2 + AC2 + BC2
∴ AB2 + BC2 + CA2 = 4D2 (প্রমাণিত)
7. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করলাম যার ∠A সমকোণ। AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু যথাক্রমে P ও Q নিলাম। P, Q, B, Q ও C, P যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, BQ2 + PC2 = BC2 + PQ2
প্রদত্ত : ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠A সমকোণ এবং P ও Q যথাক্রমে AB ও AC বাহুর উপর দুটি বিন্দু।
8. ABCD চতুর্ভুজের দুটি কর্ণ পরস্পকে লম্বভাবে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB2 + CD2 = BC2 + DA2
প্রদত্ত : ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD কর্ণ দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করেছে।
9. এটি ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করেছি যার উচ্চতা AD ; AB > AC হলে প্রমাণ করি যে
AB2 – AC2 = BD2 – CD2
প্রদত্ত : ΔABC-এর AD উচ্চতা এবং AB > AC
প্রমাণ করতে হবে : AB2 – AC2 = BD2 – CD2
প্রমাণ : যেহেতু ΔABC-এর AD উচ্চতা
10. ABC এর শীর্ষবিন্দু B ও C.বিন্দু থেকে AC ও AB (AC < AB) বাহুদুটির উপর দুটি লম্ব অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC2 + BP2 = AB2 + CP2
প্রদত্ত : ΔABC -এর শীর্ষবিন্দু থেকে AC ও AB বাহুদুটির উপর দুটি লম্ব পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ লম্ব দুটি যথাক্রমে AC ও AB কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে। AP যোগ করা হল। প্রমাণ করতে হবে : AC2 + BP2 = AB2 + CP2
প্রমাণ : যেহেতু BE ⊥ AC এবং CF ⊥ AB
∴ ΔAFC, ΔBFP, ΔAEB ও ΔCEP প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ এবং ∠AFC = ∠BEP = ∠AEB = ∠CEP = 1 সমকোণ।
11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার ∠C সমকোণ। D, AB-এর উপর যে-কোনো একটি বিন্দু হলে, প্রমাণ করি যে, AD2 + DB2 = 2CD2
প্রদত্ত : ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ∠C সমকোণ এবং D, AB-এর উপর যে কোনো একটি বিন্দু।
অঙ্কন: CD যোগ করা হল। D বিন্দু থেকে AC ও BC-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা AC ও BC কে যথাক্রমে F ও E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে AD2 + DB2 = 2CD2
প্রমাণ : যেহেতু ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং ∠ACB = 90°.
∴ ∠CBA = ∠CAB = 450°
আবার, যেহেতু FD ⊥ AC এবং DE ⊥ CB
∴ ΔFDC, ΔAFD ও ΔDEB প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ এবং ∠AFD = ∠DFC = ∠DEB = 90°
আবার, আমরা পাই, ΔAFD ও ΔDEB-এর ∠FAD = ∠EBD = 45°
12. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। CD মধ্যমা হলে, প্রমাণ করি যে, BC2 = CD2 + 3AD2
প্রদত্ত : ΔAFC-এর ∠A সমকোণ এবং CD মধ্যম।
13. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে OX, OY ও OZ লম্ব অঙ্কন করেছি। প্রমাণ করি যে, AZ2 + BX2 + CY2 = AY2 + CX2 + BZ2
প্রদত্ত : ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু O থেকে BC, CA ও AB বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OX, OY ও OZ |
অঙ্কন: OA, OB ও OC যোগ করা হল।
প্রমাণ করতে হবে,
14. RST ত্রিভুজের ∠S = 1 সমকোণ। RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y; প্রমাণ করি যে, RY2 + XT2 = 5XY2
প্রদত্ত : RST ত্রিভুজের ∠S সমকোণ এবং RS ও ST বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y ।
অঙ্কন: RY, XY ও XT যোগ করা হল।
প্রমাণ করতে হবে RY2 + XT2 = 5XY2
প্রমাণ : যেহেতু ΔRST-এর ∠S সমকোণ।
The Complete Educational Website