WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 25 ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব

1. একটি নারকেল গাছের গোড়া থেকে অনুভূমিক 20 মিটার দূরের একটি বিন্দু সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি 60° হয়, তবে গাছটির উচ্চতা কত?

উত্তর : মনে করি, AB নারকেল গাছ। গাছটির গোড়া B থেকে অনুভূমিক তলে (BC); C বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির উন্নতি কোণ ∠BCA = 60°

2. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30° তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

উত্তর : S সূর্যের অবস্থান।

3. 150 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে উড়তে থাকে তবে ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উঁচুতে রয়েছে হিসাব করে লিখি।

উত্তর : ΔABC-এর, AC, 150 মিটার লম্বা সুতো।

4. একটি নদীর ওপারের একটি তালগাছের সোজাসুজি এপারে একটি খুঁটি পোঁতা হল। এবার নদীর পার ধরে, ওই খুঁটি থেকে 7√3 মিটার সরে গিয়ে দেখা গেল নদীর পারের পরিপ্রেক্ষিতে গাছটি পাদদেশে এখন 60° কোণে রয়েছে। নদীটি কত মিটার চওড়া নির্ণয় করি।

উত্তর : মনে করি গাছটির পাদদেশ A বিন্দু, খুঁটির গোড়া B বিন্দু

নদীর পার বরাবর BE = 7√3 মিটার সরে গিয়ে দেখা গেল নদীর পারের সহিত 60° কোণে করেছে, অর্থাৎ ∠AEB = 60° AB = ?

5. ঝড়ে একটি টেলিগ্রাফ পোস্ট মাটি থেকে কিছু উপরে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে 8√3 মিটার দূরে স্পর্শ করেছে এবং অনুভূমিক রেখার সহিত 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। পোস্টটি মাটি থেকে কত উপরে মচকে ছিল এবং পোস্টটির কত ছিল হিসাব করে লিখি।

উত্তর : AB = টেলিগ্রাফ পোস্ট।

পোস্টটি ঝড়ে C বিন্দুতে মচকে গেছে এবং BC অংশে CD-রূপে ভূমিতে D বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

∴ পোষ্টটের উচ্চতা AC + CD = 8 + 16 = 24 মি.

∴ পোস্টটি মাটি থেকে ৪ মিটার উপরে মচকে দিল এবং খুঁটিটি (16 + 8) মিটার = 24 মিটার উঁচু ছিল।

6. আমাদের পাড়ার রাস্তার দু-পাশে পরস্পর বিপরীত দিকে দুটি বাড়ি আছে। প্রথম বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে 6 মিটার দূরে একটি মই-এর গোড়া রেখে যদি মইটিকে দেয়ালে ঠেকানো যায়, তবে তা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করে। কিন্তু মইটিকে যদি একটি জায়গায় রেখে বাড়ির দেয়ালে লাগানো যায়, তবে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ উৎপন্ন করে।

(i) মইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি?

(ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেওয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া কত দূরে রয়েছে হিসাব করে লিখি।

(iii) রাস্তাটি কত চওড়া নির্ণয় করি।

(iv) দ্বিতীয় বাড়ির কত উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে নির্ণয় করি।

উত্তর : ধরি, AB ও CD দুটি বাড়ি। BD রাস্তাটির দৈর্ঘ্য। প্রথম বাড়ির … থেকে 6 মিটার (BE) দূরে মইটি রাখা আছে। AE বা EC মইটির দৈর্ঘ্য। ∠BEA = 30° এবং দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালে ঠেকানো আছে ∠DEC = 60° করে।

(i) AE = EC ?

(ii) ED = ?

(iii) BD = ?

(iv) CD ? =

∴ দ্বিতীয় বাড়ির 6 মিটার উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করেছিল।

7. একটি চিমনির গোড়ার সঙ্গে সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দু সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ যদি 60° হয় এবং সেই বিন্দু এবং চিমনির গোড়ার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত আরও 24 মিটার দূরে অপর একটি বিন্দু সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 30° হয়, তবে চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি। (√3 -এর আসন্ন মান 1·732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি।)

উত্তর : ধরি, AB একটি চিমনি। চিমনির গোড়া B থেকে একটি সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দু D | ∠BDA = 60° এবং আরও 24 মিটার এগিয়ে গেলে অর্থাৎ DC = 24 মিটার চিমনির চুড়ার উন্নতি কোণ ∠BCA = 30°

∴ চিমনির উচ্চতা (AB) ?

৪. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 45° থেকে 60°-তে বেড়ে যায়, তখন একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুঁটিটির উচ্চতা কত? (√3 = 1·732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করো।)

উত্তর : AB = খুঁটির দৈর্ঘ্য

9. 9√3 মিটার উঁচু তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে 30 মিটার দূরে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির উন্নতি কোণ 30° হয়। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

উত্তর : ধরা যাক,

10. একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুল যদি লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দূরে থাকে, তবে দূরের জাহাজের মাস্তুল কত দূরে রয়েছে এবং লাইট হাউসটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি?

উত্তর : মনে করি, AB = লাইট হাউস। C ও D দুটি জাহাজের অবস্থান। লাইট হাউসের গোড়া B থেকে প্রথম জাহাজের দূরত্ব 150 মিটার অর্থাৎ BC = 150 মিটার। LB = ? এবং AB = ?

মনেকরি AB লাইটহাউসের উচ্চতা h

প্রথম জাহাজটির অবস্থান C বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় জাহাজের অবস্থানে D বিন্দুতে। CD = x মনে করি লাইট হাউসের A বিন্দু থেকে প্রথম জাহাজের অবনতি কোণ ∠EAC = 60° = একাত্তর ∠ACB এবং দ্বিতীয় জাহাজের অবনতি কোণ ∠EAD = 30° = ∠ADB

11. একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের কোনো বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ এবং অবনতি কোণ যদি যথাক্রমে 60° ও 30° হয় বাড়িটির উচ্চতা যদি 16 মিটার হয়, তবে মনুমেন্টের উচ্চতা কত এবং বাড়িটি মুনমেন্ট থেকে কত দূরে অবস্থিত হিসাব করে লিখি?

উত্তর : AB = পাঁচতলা বাড়ি = 16 মিটার।

CD = মনুমেন্ট AE = BD, AB = ED

∠EAC = 60° এবং ∠EAD = 30°

CD = ? এবং BD = ?

12. 250 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে। সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে থাকে তখন ঘুড়িটি কত উঁচুতে থাকে। সুতোটি যদি 45° কোণ করে থাকে তবে ঘুড়িটি কত উঁচুতে থাকবে? এদের মধ্যে কোন্ ক্ষেত্রে ঘুড়িটি মাটি থেকে বেশি উঁচুতে থাকবে নির্ণয় করি।

উত্তর : K = ঘুড়ি, OK = সুতোর দৈর্ঘ্য = 250 মিটার।

(1) নং চিত্রে ∠KOH₁ = 60° এবং (2) নং চিত্রে ∠KOH₂ = 45°

ΔKOH সমকোণী [ চিত্র নং (1) ]

∴ উন্নতি কোণ 45° হলে উচ্চতা 176·75 মিটার। ∴ উন্নতি কোণ 60° হলে উচ্চতা 216·50 মিটার।

13. উড়োজাহাজের একজন যাত্রী কোনো এক সময় তাঁর এক পাশে হাওড়া স্টেশনটি ও ঠিক বিপরীত পাশে শহীদ মিনারটি যথাক্রমে 60°ও 30° অবনতি কোণে দেখতে পান। ওই সময়ে উড়োজাহাজটি যদি 545√3 ‘মিটার উঁচুতে থাকে, তবে হাওড়া স্টেশন ও শহীদ মিনারের দূরত্ব কত?

উত্তর : A = উড়ো জাহাজের যাত্রীর অবস্থান।

H = হাওড়া স্টেশন ও S = শহীদ মিনার।

∴ হাওড়া স্টেশন থেকে শহীদ মিনারের দূরত্ব = (545 + 1635) মিটার = 2180 মিটার = 2·18 কিমি।

14. একটি তিনতলা রাস্তার ছাদের উপর যে পতাকা দণ্ডটি আছে তার দৈর্ঘ্য 3.3 মিটার। রাস্তার কোনো স্থান থেকে দেখলে পতাকা দণ্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ 50° ও 45° হয়। তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি। (ধরি, tan 50° = 1·192)

D বিন্দুটি রাস্তার এক স্থান। পতাকা দণ্ডটির চূড়ার উন্নতি কোণ

∠CDA = 50° এবং ∠CDB = 45°, BC = ?

15. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ কত হবে?

উত্তর : AB ও CD দুটি স্তম্ভ।

AB = 180 মিটার ও CD = 60 মিটার।

দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চুড়ার উন্নতি কোণ ∠BDA = 60°

মনে করি, প্রথম স্তম্ভটির গোড়া থেকে দ্বিতীয় স্তম্ভটির চূড়ার উন্নতি কোণ x°

অর্থাৎ, ∠CBD = x°

উত্তর : S = সূর্যের অবস্থান

AB = স্তম্ভটি

যখন উন্নতি কোণ 45° অর্থাৎ,

∠BCA = 45° তখন ছায়ার দৈর্ঘ্য যা হয়, উন্নতি কোণ 30° হলে ছায়ার দৈর্ঘ্য 60 মিটার বেশি হয়।

স্তম্ভটির উচ্চতা AB = ?

ΔABC সমকোণী ত্রিভুজে,

17. একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অনুভূমিক সরলরেখার কোনো এক বিন্দু থেকে চিমনির দিকে 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তার চূড়ার উন্নতি কোণ 30° থেকে 60° হল। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি?

উত্তর : AB = চিমনির উচ্চতা।

BC সমতলে C বিন্দু থেকে 50 মিটার অর্থাৎ CD = 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তার চূড়ার উন্নতি কোণ ∠BCA = 30° থেকে 60° অর্থাৎ ∠BDA = 60° হল। AB = ?

18. 126 ডেসিমি উঁচু একটি উল্লম্ব খুঁটি মাটি থেকে কিছু উপরে দুমড়ে গিয়ে উপরের অংশটি কাত ইয়ে পড়ায় তার অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে কত দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল হিসাব করে লিখি।

উত্তর : মনেকরি খুঁটিটির B বিন্দুতে দুমড়ে গিয়ে অগ্রভাগ মটিতে C বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

19. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে এক … একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পর দক্ষিণদিকে 60° উন্নতি কোণে দেখতে পান। পাখিটি যদি বরাবর 50√3 মিটার উঁচুতে একই সরলরেখায় উড়ে থাকে, তবে তার গতিবেগ কিলোমিটার প্রতি ঘণ্টায় নির্ণয় করি।

উত্তর : A মাঠের মাঝখানে অবস্থিত এক ব্যক্তি।

N বিন্দু প্রথমে উত্তরদিকে এবং পরে

S বিন্দু দক্ষিণদিকে পাখির অবস্থান।

20. 5√3 মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভার ব্রিজে দাঁড়িয়ে অমিতাদিদি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30° অবনতি কোণে দেখলেন, কিন্তু 2 সেকেন্ড পরই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45° অবনতি কোণে দেখলেন। ট্রেনটির গতিবেগ মিটার প্রতি সেকেণ্ডে হিসাব করে লিখি।

উত্তর : PQ রেলওয়ে ওভার ব্রিজ। A একজন দর্শক। B ট্রেনটির প্রথম অবস্থান এবং C ট্রেনটির দ্বিতীয় অবস্থান।

অবনতি ∠QAB = 30° = একান্তর ∠ABD এবং অবনতি কোণ।

21. একটি নদীর পারের সঙ্গে লম্বভাবে একটি সেতু আছে। সেতুটির এপারের প্রান্ত থেকে নদীর পার ধরে কিছুদূর গেলে সেতুর অপর প্রান্তটি 30° কোণে দেখা যায়। সেতুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি?

উত্তর : AB নদীর উপর সেতু। সেতুর A প্রান্ত থেকে C বিন্দু গেলে C বিন্দু গেলে C বিন্দুতে সেতুটির সঙ্গে 45° কোণ উৎপন্ন করেছে অর্থাৎ, ∠ACB = 45° আবার, B বিন্দুতে সেতুটি 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। ∠ADB = 30° এবং CD = 400 মিটার।

22. একটি পার্কের অবস্থিত 15 মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ ও পাদদেশ থেকে পার্কের অপর পারে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির পাদদেশ ও অগ্রভাগ যথাক্রমে 30° অবনতি কোণ ও60° উন্নতি কোণে দেখা যায়। চিমনিটির উচ্চতা কত এবং চিমনি ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।

উত্তর : AB = বাড়ির উচ্চতা, BD = x₁ = বাড়ি ও চিমনির দূরত্ব CD = চিমনির উচ্চতা x₂ + x₃

23. একটি উড়োজাহাজ থেকে রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60°ও.30° হলে, উড়োজাহাজটির উচ্চতা নির্ণয় করি। (i) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে অবস্থিত (ii) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের একই পাশে অবস্থিত।

উত্তর: ধরি, উড়োজাহাজটি h কিমি উচ্চতা দিয়ে যাচ্ছিল এবং B বিন্দুটিকে 60° অবনতি, কোণে এবং C বিন্দুটি 30° অবনতি কোণে দেখেছিল।

(ii) যখন ফুলক্ দুটি উড়োজাহাজের একই দিকে থাকবে তখন ধরা যাক উড়োজাহাজের উচ্চতা = h মি. এবং C বিন্দু এবং D বিন্দু উড়োজাহাজের একই দিকে দুটি ফলক।

চিত্রানুযায়ী,

∴ ২য় ক্ষেত্রে উড়োজাহাজটি 500√3 মিটার উচ্চতায় যাইতেছিল।