WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 7 বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য
WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 7 বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য
West Bengal Board 10th Class Math Solutions Chapter 7 বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য
West Bengal Board 10th Math Solutions
কযে দেখি 7.1
1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত। ∠BOC = 100° হলে ∠ABC ও ∠ABO -এর মান হিসাব করে লিখি।
4. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35°; ∠BCO ও ∠BOD এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
উত্তর : AB বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠AOB = ∠ACB = 2 × 35° = 70°
∴ ∠BOD = ∠BOA + ∠AOD = 70° +40° = 110°
এখন Δ BOC তে ∠BOD বহিঃস্থ কোণ
∴ ∠BOD = ∠OBC + ∠OCB
∴ 110° = 2 ∠OCB
∴ [OB = OC (বৃত্তের ব্যাসার্ধ ) ∠OBC = ∠OCB]
∠OCB = 55°
∴ ∠BCO = 55°, ∠BOD 110⁰
5. পাশের চিত্রের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80° হলে ∠AOB ও ∠COD এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।
উত্তর : অঙ্কন : BC যোগ করা হল।
AB চাপের ওপর ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠AOB = 2 ∠ACB
আবার, CD চাপের ওপর ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠DBC বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠COD = 2 ∠DBC
∴ ∠AOB + ∠COD = 2. ∠ACB + ∠DBC
= 2 (∠ACB + ∠DBC)
= 2 (∠PCB + ∠PBC) ……… (i)
Δ PBC তে ∠APB বহিঃস্থ কোণ
∴ ∠PBC + ∠PCB = ∠APB = 80°
(i) নং থেকে পাই,
∠AOB + ∠COD = 2×80° = 160°
(6) পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, (i) ∠PBQ = ∠CAD (ii) ∠BPC = ∠BQD
উত্তর। দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দু দিয়ে যে কোনো একটি সরল রেখা টানায় সেটি বৃত্তদ্বয়কে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, (i) ∠PBQ = ∠CAD (ii) ∠PBC = ∠BQD.
অঙ্কন: AB, PC, PB, CB, AD, BD, DQ ও BQ যোগ করা হল।
প্রমাণ : PA চাপের ওপর ∠ACP কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠PBA বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠PCB = 2 ∠PBA ………..(i)
আবার AQ চাপের ওপর ∠ADQ কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠ABQ বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ADQ = 2 ∠ABQ
∴ ∠PCA + ∠ADQ = 2 (∠DBA + ∠ABQ)
= 2 ∠PBQ
Δ APC তে ∠APC = ∠PAC [∴ CP = CA ব্যাসার্ধ]
এখন, ∠PCA + ∠APC + ∠PAC = 180°
বা, ∠PCA + 2 ∠PAC = 180°
বা, ∠PCA = 180° – 2 ∠PAC
অনুরূপে, Δ ADQ ∠ADQ = 180° – 2 ∠DAQ
∴ 3 নং থেকে পাই,
180° – 2 ∠PAC + 180°-2 ∠DAQ = 2 ∠PBQ
বা, 180° – (∠PAC + ∠DAQ) = ∠PBQ –
বা, ∠CAD = ∠PBQ
∴ 1 নং প্রমাণিত হল।
আবার, Δ ACB তে ∠CAB = ∠CBA [ ∴ CA = CB]
Δ ADB তে ∠DAB = ∠DBA [ ∴ CA = CB]
∴ ∠CAB + ∠DAB = ∠CAB + ∠DBA
বা, ∠CAD = ∠CBD
কিন্তু ∠CAD = ∠PBQ
∠CBD = ∠PBQ
∴ ∠CBD – ∠PBD = ∠PBQ – ∠PBD
বা, ∠PBC = ∠DBQ
বা, ∠CPB = ∠DQB [∴ ∠PBC = ∠CBP এবং ∠DBQ = ∠DQB]
∴ 2 নং প্রমাণিত হল।
7 ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O প্রমাণ করি যে, ∠OBC + ∠BAC = 90°
উত্তর। ∴ ΔABC-এর পরিকেন্দ্র O
∴ OB = OC = OA
∴ ΔOBC-এর ∠OBC = ∠OCB
ΔOAB-এর ∠OAB = ∠OBA
এবং ΔOAC-এর ∠OAC = ∠OCA
∴ ∠BAC = 180° – (∠ABC + ∠ACB)
= 180° – (∠OBA + ∠OBC + ∠OCA + ∠OCB)
= 180° – (∠OAB + ∠OBC + ∠OAC + ∠OBC)
বা, ∠BAC + 2∠OBC = 180° – (∠OAB + ∠OAC)
বা, ∠BAC + 2∠OBC = 180° – ∠BAC
বা, 2∠BAC + 2∠OBC = 180° বা, ∠BAC + ∠OBC = 90°
∴ ∠OBC + ∠BAC = 90°
৪. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে: A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, Δ BCD সমবাহু ত্রিভুজ।
উত্তর : বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রদ্বয় O এবং R যেহেতু প্রত্যেক বৃত্তের পরিধি অপর বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়,
∴ বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ সমান
বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা বৃত্তদুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, Δ BCD সমবাহু
অঙ্কন: AO, OR, CO, BO, BR, RD, BC ও BD যোগ করা হল।
প্রমাণ : AO = BO= OR RA RB ( সমান ব্যাসার্ধ বলে)। ww
∴ Δ AOR সমবাহু।
∴ ∠AOR = 60°
∴ BO= OR RB
∴ Δ BOR সমবাহু।
∴ ∠BOR = 60°
∴ ∠AOB = ∠AOR + ∠BOR = 60° + 60° = 120°
এখন, ARB চাপের ওপর ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোন এবং ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠AOB = 2 ∴ ∠ACB
∴ 120⁰ = ∠ACB
∴ ∠ACB = 60°
আবার, AOB চাপের উপর ∠ARB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ADB বৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ARB = 2 ∠ADB
∴ 120° = 2 ∠ADB
∴ ∠ADB = 60°
∴ Δ BDC এর অবশিষ্ট ∠DBC = 180° – (60° + 60°) = 60°
∴ Δ BDC সমবাহু
9. Δ ABC এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD ⊥ BC হলে, প্রমাণ করি যে ∠BAD = ∠SAC
∴ ∠AOD + ∠BOC = 2 (∠ABD + ∠BDC) = 2 (∠PBD + ∠BDP) = 2 ∠BPC
[∴ ∠BPC, Δ BPD এর একটি বহিঃস্থ কোণ ∴ ∠BPC = ∠PDB + ∠PBD]
যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূবক হয়, তাহলে ∠AOD + ∠BOC = 180°
∴ 2 ∠BPC = 180°
∴ ∠BPC = 90°
∴ জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।
(11) O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা- কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠AOC – ∠BOD = 2 ∠BPC
কষে দেখি 7.2
1. পাশের ছবিতে ∠DBA = 40°, BAC = 60° এবং ∠CAD = 20°; ∠DCA ও ∠BCA -এর মান নির্ণয় করি। ∠BAD ও ∠DCB -এর মানের সমষ্টি কত হবে হিসাব করে দেখি।
উত্তর : যেহেতু AD বৃত্তচাপের ∠ACD ও ∠ABD বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ACD = ∠ABD = 40⁰
∴ ∠DCA = 40⁰
ΔBDA-এর ∠BDA = 1800 – (∠DBA – ∠BAD)
= 180° – (40° + 60° + 20°)
= 180° – 120° = 60°
এখন, AB বৃত্তচাপের ∠ADB ও ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ACB = ∠ADB = 60°
∴ ∠BCA = 60⁰
∴ ∠BAD + ∠DCB = (∠BAC + ∠CAD) + (∠DCA + ∠ACB)
= (60⁰ + 20°) + (40⁰ + 60°)
= 80° + 100° = 180⁰
2. পাশের চিত্রে AOB বৃত্তের ব্যাস এবং O বৃত্তের কেন্দ্র। OC ব্যাসার্ধ AB-এর উপর লম্ব। যদি উপচাপ CB-এর উপর কোনো বিন্দু P হয়, তবে ∠BAC ও ∠APC-এর মান হিসাব করে লিখি।
যেহেতু OC ব্যাসার্ধ AB-এর উপর লম্ব।
∴ ΔAOC-এ OC ⊥ OA এবং OA = OC
∴ ∠OCA = ∠OAC = 45° [¨.¨ ∠AOC = 90° এবং ∠OAC + ∠OCA = 90°]
∴ ∠BAC = 45°
একইভাবে পাই, ∠ABC = 45⁰
আবার, AC বৃত্তচাপের উপর ∠ABC ও ∠APC বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ABC = ∠APC
∴ ∠APC = 45°
3. ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD কে বর্ধিত করলে ΔABC -এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OD: = DG
O, ABC-এর লম্ববিন্দু। BO যোগ করে বর্ধিত করা হল। সেটি যেন AC কে E বিন্দুতে ছেদ-করল।
প্রমাণ করতে হবে যে, OD = DG.
প্রমাণ : AD ⊥ BC এবং BE ⊥ AC
আবার, AB বৃত্তচাপের ওপর ∠ACB ও ∠AGB বৃত্তস্থ কোণ।
∠ACB = ∠AGB
অর্থাৎ ∠ECD = ∠AGB
∴ ∠BOD = ∠AGB
এখন ΔBGD ও ΔBOD-এর মধ্যে,
∠BOD = ∠BGD
¨.¨ AD ⊥ BC
∠BDO = ∠BDG (সমকোণ)
এবং BD সাধারণ বাহু।
ΔBGD ≅ ΔBOD
∴ OD = DG
4. ΔABC-এর অর্ন্তবৃত্তের কেন্দ্র I। বর্ধিত AI ত্রিভুজের পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PB = PC = PI
ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র I, বর্ধিত AI পরিধি P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, PB = PC PI
অঙ্কন : PB, PC, PI ও CI যোগ করা হল।
∴ ∠APF = ∠PDF ……..(1).
এখন, AC চাপের উপর ∠ADC ও ∠ABC বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ADC = ∠ABC
অর্থাৎ, ∠PDF = ∠PBC ……….(2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই, ∠APE = ∠PBC
আবার, ∠APF = ∠BPE (বিপ্রতীপ)
∴ ∠BPE = ∠PBE ∴ PE = EB
এখন, PBC সমকোণী ত্রিভুজে
∠CPB = ∠PBC + ∠PCB
বা, ∠CPE + ∠EPB = ∠PBC + ∠PCB
∴ ∠CPE = ∠PCB [¨.¨ ∠EPB = ∠PBC]
∴ PE = CE
∴ PE = EB = CE
∴ E, BC-এর মধ্যবিন্দু
7. যদি ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC হয়, তবে প্রমাণ করি যে, AC = BD হবে।
উত্তর : ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC
প্রমাণ করতে হবে যে, AC = BD
AC ও BD যোগ করা হল। AC ও BD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ : AD চাপের ওপর ∠ABD ও ∠ACD বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ABD = ∠ACD
BC চাপের ওপর-∠BAC ও ∠BDC বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠BAC = ∠BDC
এখন, ΔAPB ও ΔCPD-এর মধ্যে,
∠ABP = ∠PCD,
∠BAP = ∠PDC,
এবং AB = DC
∴ ΔAPB = ΔCPD
∴ AP = DP এবং CP = BP
∴ AP + CP = DP + BP
∴ AC = BD
8..O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা-কে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CP = PQ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা।”বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যাকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে, CP = PQ.
অঙ্কন: CQ, CA ও CO যোগ করা হল।
প্রমাণ : O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপের ওপর
∠AQC বৃত্তস্থ কোণ ও ∠AOC কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴ ∠AOC = 2∠AQC
আবার, AC চাপের ওপর ∠APC ও ∠AOC দুটি বৃত্তস্থ কোণ |
∴ ∠AOC = ∠APC
∴ 2∠AQC = ∠APC
বা, 2∠PQC = ∠PCQ + ∠PQC [ΔPCQ-এর বহিঃস্থ ∠APC = ∠PCQ + ∠PQC]
বা, 2∠PQC = ∠PQC = ∠PCQ
য, ∠PQC = ∠PCQ
∴ ∠PQC-এর ∠PQC = ∠PCQ
∴ PC = PQ অর্থাৎ CP = PQ
9. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তলিখিত। AX, BY এবং CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখন্ডক এবং বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, AX, YZ-এর উপর লম্ব।
উত্তর। বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তলিখিত। AX, BY ও CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে, AX, YZ-এর উপর লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে, Δ XYZ-এর ∠YXZ = 90⁰ – ∠BAC/2
প্রমাণ : ΔXYZ থেকে পাই, ∠YXZ = 180° -(∠XZY + ∠XYZ)
= 180°–(∠XBY + ∠ZCX) [‘.’ XY চাপের ওপর ∠XYZ ও ∠XBY বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠XZY = ∠XBY অনুরূপে ∠XYZ-∠ZCX]
বা, ∠YXZ = 180°(∠XBC + ∠CBY + ∠ZCB + ∠BCX)
= 180°–(∠XBC + ∠BCX) – (∠CBY + ∠ZCB)
= ∠BXC–(∠CBY + ∠ZCB[‘.’ ΔBXC-এর ∠BXC + ∠XBC + ∠BCX=180°]
= 180°—∠BAC-(∠CBY + ∠ZCB) [‘.’ ABXC-বৃত্তস্থ -চতুর্ভুজ।
∠BXX + ∠BAC = 180°]
∴ ∠ABD + ∠AED = 180°
∴ ABDE চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক।
সুতরাং A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
কষে দেখি 7.3
1. ABC ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ। যদি AC-কে ব্যাস করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি যা AB-কে D বিন্দুতে ছেদ করে, তবে নীচের তথ্যগুলির মধ্যে কোন্টি ঠিক লিখি
(i) AB > AD (ii) AB = AD (iii) AB < AD
আমরা জানি যে, যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক বিন্দু দিয়ে যাবে।
∴ ABC ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ এবং AC -কে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি AB -কে D বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ সমকৌণিক বিন্দু B বিন্দু দিয়ে যাবে।
অতএব এখানে, AB = AD.
∴ (i) AB = AD.
2. প্রমাণ করি যে, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদুটির যে-কোনোটিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত অসমান বাহুটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। এর AB = AC, AC বাহুকে ব্যাস করে ADC বৃত্ত আঁকা হল। এই বৃত্তের কেন্দ্র O। বৃত্তটি BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, D বিন্দু BC -কে সমদ্বিখন্ডিত করে অর্থাৎ BD = DC
অঙ্কন : ‘.’ ∠ADC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ADC = 1 সমকোণ।
∴ ∠ADB = 1 সমকোণ।
ΔADC ও ΔADB-এর মধ্যে,
∠ADC = ∠ADB (সমকোণ)
AC = AB এবং ∠ACD = ∠ABD
∴ ΔADC ≅ ΔADB ∴ DC = BD
∴ D বিন্দু BC কে সমদ্বিখন্ডিত করে।
3. সাহানা দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, A, Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস।
প্রমাণ করতে হবে, A, Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
অঙ্কন : AQ, BQ ও PQ যোগ করা হল।
প্রমাণ : ‘.’ ∠PQA অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴∠PQA = 1 সমকোণ।
∴ ∠PQA + ∠PQB = 2 সমকোণ।
∴ ∠AQB = 180⁰
∴ A, Q, B একই সরলরেখায় অবস্থিত।
4. রজত একটি সরলরেখাংশ PQ অঙ্কন করেছে যার মধ্যবিন্দু R এবং সে PR ও PQ -কে ব্যাস করে দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে। আমি P বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা প্রথম বৃত্তকে S বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে PS = ST
PQ রেখাংশের মধ্যবিন্দু R, PR ও PQ -কে ব্যাস ধরে দুটি বৃত্ত আঁকা হল। P বিন্দুগামী যে-কোনো রেখা এই বৃত্তদুটিকে যথাক্রমে T ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
অঙ্কন : SR ও TQ যোগ করা হল।
প্রমাণ করতে হবে, PS = ST.
প্রমাণ : ‘.’ ∠PSR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠PSR = 1 সমকোণ।
∴ ∠PTQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠PTQ = 1 সমকোণ।
∴ ∠PSR = ∠PTQ
∴ SR ও TQ উভয়েই PT সরলরেখার উপর লম্ব।
∴ SR || TQ
এখন, ΔPTQ-এ PQ বাহুর মধ্যবিন্দু R এবং RS || QT
∴ S, PT-এর মধ্যবিন্দু।
∴ PS = ST
5. একটি বৃত্তের উপর তিনটি বিন্দু P, Q ও R অবস্থিত। PQ ও PR -এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্বদুটি বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ ST
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিধির উপর P, Q, R তিনটি বিন্দু। PQ ও PR -এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্বদুটি বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, RQ = ST
অঙ্কন: QS, RT ও ST যোগ করা হল।
প্রমাণ: ‘.’ ∠QPS = 1 সমকোণ
∴ ∠QPS অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ QS বৃত্তের একটি ব্যাস।
আবার, ‘.’ ∠RPT = 1 সমকোণ।
∴ ∠RPT অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ RT বৃত্তের একটি ব্যাস।
এখন, ΔSOT ও ΔQOR-এর মধ্যে,
OT = OR [বৃত্তের ব্যাসার্থ]
OS = OQ [বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অন্তর্ভুক্ত ∠SOT = অন্তর্ভুক্ত ∠ROQ (বিপ্রতীপ)
∴ ΔSOT = ΔQOR
∴ ST = QR ⇒ RO = ST
6. ABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, BPCQ একটি সামান্তরিক।
ABC সূক্ষ্মকোণী ত্রিভূজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, BPCQ একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন : BP, PC যোগ করা হল।
প্রমাণ: ‘.’ AB চাপের ওপর ∠BPA ও ∠BCA বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠BPA = ∠BCA
আবার, ‘.’ AC চাপের ওপর ∠APC ও ∠ABC বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠APC = ∠ABC
∴ ∠BPC = ∠BPA + ∠APC
= ∠BCA + ∠ABC
= 180° – ∠BAC [‘.’ ΔABC-এর ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°] = 180° – ∠FAE
= 180° – {360° – (∠AFQ + ∠FQE + ∠AFQ}
= 180° – {360° – (90° + FQE + AEQ)} [CF ⊥ AB এবং BE ⊥ AC
∴ ∠AFQ = ∠AEQ = 90°]
= 1800 – {180° – ∠FQE) = ∠FQE
∴ ∠BPC = ∠FQE
∴ BPCQ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
∴ BPCQ একটি সামান্তরিক।
7. একটি ত্রিভুজের শীর্ষকোণের অন্তসমদ্বিখন্ডক ও বর্হিসমদ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PQ বৃত্তের একটি ব্যাস।
ΔABC-এর শীর্বকোপ A-এর অন্তসমদ্বিখন্ডক AP ও বর্হিসমদ্বিখন্ডক AQ ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে, PQ বৃত্তের ব্যাস।
অঙ্কন : PQ, QC ও PC যোগ করা হল।
∠BAP = ∠PAC = ∠CAQ
∴ ∠BAC এর অস্তসমদ্বিখন্ডক
দুটি ∠BAP এবং ∠PAC
বহিঃসমদ্বিখন্ডক দুটি ∠PAC = ∠CAQ
ΔAPQ-থেকে পাই,
∠PAQ + ∠APQ + ∠AQP = 180⁰
বা, ∠PAC + ∠CAQ + ∠APQ + ∠AQP = 180° [‘.’ ∠PAQ = ∠PAC + ∠CAQ
[‘.’ AQ চাপের ওপর ∠APQ ও ∠ACQ বৃত্তস্থ কোণ। ∴ ∠APQ = ∠ACQ]
[‘.’ AP চাপের ওপর ∠AQP ও ∠ACP বৃত্তস্থ কোণ। ∴ ∠AQP = ∠ACP]
বা, ∠PAC + ∠CAQ + ∠ACQ + ∠ACP = 180°
বা, ∠BAC + ∠QAP = 180°
∴ PQ জ্যার উপর পরিধিস্থ কোণ 90°
∴ PQ বৃত্তটির ব্যাস
8. AB এবং CD একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস। প্রমাণ করি যে, ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।
প্রদত্ত : AB এবং CD বৃত্তের দুটি ব্যাস।
প্রমাণ করতে হবে, ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।
অঙ্কন : AC, CB, BD ও DA যোগ করা হল।
প্রমাণ : ‘.’ ∠CAD, ∠BCA, ∠CBD ও
∠ADB প্রত্যেকেই অর্ধবৃত্তস্থ কোণ = 90° |
∴ ACBD চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি কোণ 90° অর্থাৎ সমান।
∴ ABCD একটি আয়তাকার চিত্র।
9. প্রমাণ করি, একটি রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।
ABCD রম্বসের AB, BC, CD ও DA বাহুগুলিকে ব্যাস করে চারটি বৃত্ত অঙ্কন তৈরী করা হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে, চারটি বৃত্ত নির্দিষ্ট বিন্দু P দিয়ে যায়।
অঙ্কন : AC ও BD কর্ণ অঙ্কন করলাম যা P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ : যেহেতু ABCD রম্বসের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্ব সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ ∠APB = ∠APD = ∠DPC = ∠CPB = 90°, AP = PC এবং DP = PB
∴ আমরা পাই,
O1 কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ব্যাসের ওপর ∠APB = 90″ অর্থাৎ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
O2 কেন্দ্রীয় বৃত্তে BC ব্যাসের ওপর ∠BPC = 90° অর্থাৎ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
O3 কেন্দ্রীয় বৃত্তে DC ব্যাসের ওপর ∠DPC = 90° অর্থাৎ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
O4 কেন্দ্রীয় বৃত্তে AD ব্যাসের ওপর ∠APD = 90° অর্থাৎ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ O1, O2, O3, ও O4 কেন্দ্রীয় বৃত্তগুলি প্রত্যেকেই P বিন্দুতে অর্ধবৃত্তস্থ কোণ উৎপন্ন করেছে অর্থাৎ P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ একটি রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।
The Complete Educational Website