WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 12 ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য
WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 12 ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য
West Bengal Board 9th Class Math Solutions Chapter 12 ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য
West Bengal Board 9th Math Solutions
কযে দেখি 12
1. ABCD সামান্তরিকের AB এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q; প্রমাণ করি যে, APCQ চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
ধরাযাক ABCD সামান্তরিকের AB এবং CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q।
P, C; P, Q ও A, Q যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য : APCQ চতুর্ভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ABCD সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
প্রমাণ : APQD সামান্তরিক এবং ΔAPQ একই ভূমি AP এবং একই সমান্তরাল যুগল AP ও DQ এর মধ্যে অবস্থিত।
2. ABCD রম্বসের AB ও DC বাহুর মধ্যে দূরত্ব PQ এবং AD ও BC বাহুর মধ্যে দূরত্ব RS; প্রমাণ করি যে, PQ = RS
ধরা যাক ABCD রম্বসের AB ও DC বাহুর মধ্যে দূরত্ব PQ এবং AD ও BC বাহুর মধ্যে দূরত্ব RS
প্রামাণ্য PQ = RS
অঙ্কন : P, A ও P ও B যুক্ত করা হল। এবং S, D ও S, A যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : ΔABP ও সামান্তরিক ABCD (Θ রম্বস একটি সামান্তরিক)
একই ভূমি AB ও একই সমান্তরাল যুগল AB ও CD এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ Δ ABP = 1/2 সামান্তরিক ABCD
আবার ΔASD এবং সামান্তরিক ABCD একই ভূমি AD ও একই সমান্তরাল যুগল AD ও BC-এর মধ্যে অবস্থিত
∴ Δ ADS = 1/2 সামান্তরিক ABCD
∴ Δ ABP এর ক্ষেত্রফল = Δ ADS এর ক্ষেত্রফল
∴ 1/2 × AB × PQ = 1/2 × AD × RS
∴ PQ = RS [Θ AB = AD] (প্রমাণিত)
3. ABCD সামান্তরিকের AB এবং DC বাহুর মধ্য বিন্দু যথাক্রমে P ও Q; প্রমাণ করি যে, PBQD একটি সামান্তরিক এবং Δ PBC = 1/2 সামান্তরিক PBQD.
ধরা যাক ABCD সামান্তরিকের AB এবং DC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q । P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : (i) PBQD একটি সামান্তরিক। (ii) Δ PBC = 1/2 সামান্তরিক PBQD.
অঙ্কন :P, D ও B Q যুক্ত করা হল, এবং P, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণ : Θ ABCD একটি সামান্তরিক
∴ AB = DC
∴ AB = DC
∴ PB = DQ
Θ ABCD একটি সামান্তরিক
∴ AB || DC
∴ PB || DQ
এবং PB = DQ (প্রমাণিত)
∴ PBQD একটি সামান্তরিক (প্রমাণিত)
এখন Δ PBC ও সামান্তরিকতা `PBCQ একই ভূমি PB ও একই সমান্তরাল যুগল PB ও একই সমান্তরাল যুগল PB ও QC এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ ΔPBC = 1/2 সামান্তরিক PBCQ.
যেহেতু সামান্তরিক (PBCQ ও সামান্তরিক PBQD একই ভূমি PB ও একই সমান্তরাল যুগল PB ও DC-এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ সামান্তরিক PBCQ = সামান্তরিক PBOD
∴ Δ PBC = 1/2 সামান্তরিক PBQD. (প্রমাণিত)
4. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC এবং বর্ধিত BC বাহুর উপর P যেকোনো একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে AB এবং AC বাহুর উপর যথাক্রমে PQ ও PR লম্ব। B বিন্দু থেকে AC বাহুর লম্ব BS; প্রমাণ করি যে, PQ – PR = BS
ধরা যাক ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ যার AB = AC ।
বর্ধিত BC বাহুর উপর P যেকোনো একটি বিন্দু।
P বিন্দু থেকে AB ও AC বাহুর উপর যথাক্রমে PQ ও PR লম্ব।
B বিন্দু থেকে AC বাহুর লম্ব BS.
প্রমাণ : PQ – PR = BS
অঙ্কন : A, P যুক্ত করা হল।
5. ABC সমবাহু ত্রিভুজের বাইরে এবং ABC কৌণিক অঞ্চলের মধ্যে যেকোনো একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে AB, BC.এবং CA বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OP, OQ এবং OR; প্রমাণ করিলে ত্রিভুজটির উচ্চতা = OP + OQ – OR.
Ans. ABC সমবাহু ত্রিভুজের বাইরে কোনো একটি বিন্দু থেকে কখনই তিনটি বাহুর উপর লম্ব টানা সম্ভব নয়। অর্থাৎ যে প্রমাণ করতে দেওয়া আছে সেটি ভুল।
6. ABCD সামান্তরিকের AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AD, DC এবং BC কে বা তাদের বর্ধিত অংশকে E, F ও G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, ΔAEG = AFD.
ধরাযাক ABCD সামান্তরিকের AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AD, AC এবং BC বাহুকে যথাক্রমে E, F ও G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : ΔAEG = ΔAFD
অঙ্কন : F বিন্দু দিয়ে AD-এর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও DC কে যথাক্রমে G ও H বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : EG||AB||DC এবং AD||IH||BC
∴ AIFE, BIFG, CGFH এবং DEFH -এর প্রত্যেকেই সামান্তরিক।
ABCD সামান্তরিকে AC কর্ণ।
∴ ΔABC = ADC
∴ ΔABC = ΔADC
অনুরূপভাবে ΔAIF = ΔAFE
এবং ΔFGC = ΔFHC
∴ ΔABC – ΔAIF – ΔFGC
= ΔADC – ΔAEF – ΔFHC
∴ সামান্তরিক BIFG = সামান্তরিক DEFH
∴ সামান্তরিক BIFG + সামান্তরিক AIFE
= সামান্তরিক DEFH + সামান্তরিক AIFE
∴ সামান্তরিক ABGE = সামান্তরিক AIHD
Θ ΔADF ও ΔAIHD একই ভূমি AD ও একই সমান্তরাল যুগল AD ও IH-এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ Δ ADF = 1/2 সামান্তরিক AIHD.
আবার Θ AEG ও সামান্তরিক ABGE একই ভূমি AE ও একই সমান্তরাল যুগল AE ও BG-এর মধ্যে অবস্থিত
∴ Δ AEG = 1/2 সামান্তরিক ABGE.
∴ Δ AEI = ΔADF (প্রমাণিত)
[Θ ABGE ও AIHD-এর ক্ষেত্রফল সমান]
7. ABCD সামান্তরিকের DC বাহুর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু বর্ধিত AE, বর্ধিত BC-কে F বিন্দুতে ছেদ করে। D, F যুক্ত করা হল। প্রমাণ করি যে, (i) ΔADF = ΔABE (ii) ΔDEF= ΔBEC
ধরা যাক ABCD সামান্তরিকের DC বাহুর উপর E যে কোনো একটি বিন্দু।
বর্ধিত AE, বর্ধিত BC কে F বিন্দুতে ছেদ করে। D, F যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য : (i) ΔADF = ΔABE
(ii) ΔDEF = ΔBEC
অঙ্কন : E বিন্দু দিয়ে, AB ও BC-এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করা হল যা AB কে G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : ΔDF ও সামান্তরিক ABCD একই ভূমি AD ও একই সমান্তরাল যুগল AD ও BF-এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ ΔADF = 1/2 সামান্তরিক ABCD……..(i)
আবার, ΔABE ও সামান্তরিক ABCD একই ভূমি AB এবং একই সমান্তরাল যুগল AB ও CD-এর মধ্যে অবস্থিত
∴ ΔABE = 1/2 সামান্তরিক ABCD …….(ii)
(i) ও (ii) হতে আমরা লিখতে পারি
ΔADF = ΔABE (প্রমাণিত)
আবার, ΔADF = ΔABE
ΔDEF + ΔADE = ΔAEG + ΔEGB
∴ ΔDEF + ΔADE = ΔADE + ΔEGB [Θ ΔADE = AEG কারণ AGED সামন্তরিকের AE কৰ্ণ]
∴ ΔDEF = ΔEGB
ΔDEF = ΔBEC [Θ GBCE সামান্তরিকের BE কর্ণ ∴ ΔEGB = ΔBEC ] প্রমাণিত
৪. সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ABC এবং ABD দুটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র AB বাহুর বিপরীত দিকে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, AB, CD-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ধরা যাক ABC ও ΔABD এর ক্ষেত্রফল সমান এবং দুটি ত্রিভুজ AB বাহুর বিপরীত দিকে অবস্থিত।
প্রামাণ্য : AB, CD কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অঙ্কন : AB ও CD সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে O, বিন্দু দিকে AC ও DB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করা হল।
প্রমাণ : ∴ ΔADB-এর ক্ষেত্রফল সমান ক্ষেত্রফল সমান এবং উহার একই সমান্তরাল যুগল AC ও DB-এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ ADBC একটি সামান্তরিক
আবার ADBC সামান্তারিকের AB ও CD দুটি কর্ণ আমরা জানি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AB, CD কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (প্রমাণিত)
9. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যে বিন্দু D; CDEF সামান্তরিকটি DC বাহু এবং A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে অবস্থিত। প্রমাণ করি যে, ΔABC = সামান্তরিক CDEF.
ধরা যাক ABC ত্রিভূজের BC বাহুর মধ্য বিন্দু D; CDEF সামান্তরিকটি BC বাহু এবং A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিক CDEF।
অঙ্কন: A, D যুক্ত করা হল। প্রমাণ : ∴ ΔADC
প্রামাণ্য : ΔABC = সামান্তরিক CDEF একই ভূমি DC এবং একই সমান্তরাল যুগল DC ও AF এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ ΔADC = 1/2 সামান্তরিক CDEF
আবার, Θ AD, ΔABC -এর মধ্যমা
∴ ΔADC = 1/2 ΔABC
∴ ΔABC = সামান্তরিক CDEF. (প্রমাণিত)
10. ABCD সামান্তরিকের BD কর্ণের উপর P যেকোনো একটি বিন্দু প্রমাণ করো যে, ΔAPD = ΔCPD.
অঙ্কন : A ও C বিন্দু দুটি থেকে BD-এর উপর লম্ব অঙ্কন করা হল, যারা BD-কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : ΔADE ও ΔCBF-এর
∠ADE = একান্তর ∠CBF [ Θ AD || BC ও BD ছেদক]
∠AED = ∠CFB [প্রত্যেকেই সমকোণ]
AD = B C [সমান্তরিকের বিপরীত বাহু]
∴ ΔADE ≅ ΔCBF
∴ AE = CF [সর্বসম ত্রিভূজের অনরূপ বাহু]
এবার ΔAPD ও ΔCPD একই ভূমি DP এর উপর অবস্থিত এবং একই উচ্চতা বিশিষ্ট, কারণ AE = CF
∴ ΔAPD = ΔCPD (প্রমাণিত)
11. ABC ত্রিভুজের AD ও. BE মধ্যমা। প্রমাণ করি যে ΔACD = ΔBCE
অঙ্কণ : E, D যুক্ত করা হল। AD ও BE পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : Θ E ও D যথাক্রমে ΔABC এর AC ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ ED|| AB
ΔABE ও ΔABD একই ভূমি AB এবং একই সমান্তরাল যুগল AB ও ED-এর মধ্যে অবস্থিত
∴ ΔABE = ΔABD
∴ ΔABE – ΔAOB = ΔABD – ΔAOB
∴ ΔAOE = ΔBOD
∴ ΔAOE + চতুর্ভুজ EODC = চতুর্ভুজ EODC
ΔACD = ΔBCE (প্রমাণিত)
12. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB এবং AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। CP এবং BQ পরস্পরকে X বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে,
(i) ΔBPQ = ΔCPQ (ii) ΔBCP = ΔBCQ (iii) ΔACP = ΔABQ (iv) ΔBXP = ΔCXQ
প্রমাণ : ΔBPQ ও ΔCPQ একই ভূমি PQ ও একই সমান্তরাল যুগল PQ ও BC-এর মধ্যে অবস্থিত।
Θ ΔBPQ = ΔCPQ……..(i) (প্রমাণিত
ΔBCP ও ΔBCQ একই ভূমি BC ও একই সমান্তরাল যুগল BC ও PQ-এর মধ্যে অবস্থিত
∴ ΔBCQ = ΔBCQ ……..(i) (প্রমাণিত)
এখন ΔBCP = ΔBCQ
ΔBCP – ΔBCX = ΔBCQ – ΔBCX
∴ ΔBXP = CXQ ………(iv) (প্রমাণিত)
ΔB × P + BAP × Q = ΔC × Q + AP × Q
ΔABQ = ΔACP
∴ ΔACP = ΔABQ ………(iii) (প্রমাণিত)
13. ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু D এবং BC বাহুর উপর P যেকোনো একটি বিন্দু। P, A যুক্ত করি। D বিন্দু দিয়ে PA সরলরেখার চেয়ে সমান্তরাল সরলরেখা AB বাহুকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে,
(i) ΔADQ = ΔPDQ
(ii) ΔBPQ = 1/2 ΔABC
AD ও PQ পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : ΔADP ও ΔAPQ একই ভূমি AP ও একই সমান্তরাল যুগল AP ও QD-এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ ΔADP = ΔAPQ
∴ Δ ADP – Δ AOP = Δ APQ – Δ AOP
∴ DOP = Δ AOQ
∴ Δ DOP + Δ DOQ = Δ AOQ + Δ DOQ
Δ PDQ = Δ ADQ
∴ Δ ADQ = Δ. PDQ…….(1) (প্রমাণিত)
Δ BPQ = Δ BDQ + Δ PDQ
= Δ BDQ + Δ ADQ [Θ Δ PDQ = Δ ADQ]
∴ Δ BPQ = Δ ABD = 1/2 ΔABC (প্রমাণিত) [Θ Δ ABC-এর AD মধ্যমা]
14. ABC ত্রিভুজে AB = AC; B ও C বিন্দু থেকে AB ও AC বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে AC ও AB বাহুকে E ও F. বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, FE || BC
প্রমাণ : Δ ABC = 1/2 × AB × CF
এবং Δ ABC = 1/2 × AC × BF
∴ 1/2 × AB × CF = 1/2 × AC × BF
∴ CF = BF [Θ AB = AC]
Δ BCF ও Δ BCE এর
CF = BF (প্রমাণিত)
BC সাধারণ বাহু।
এখন Δ BCF ও Δ BCE-এর দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং তারা একই সাধারণ বাহু BC-এর একই পার্শে অবস্থিত।
∴ অবশিষ্ট BF = অবশিষ্ট CE।
∴ Δ BCF = Δ BCE
Θ Δ BCF ও Δ BCE-এর ক্ষেত্রফল সমান এবং ত্রিভুজ দুটি একই সাধারণ বাহু BC এর একই পার্শ্বে অবস্থিত।
∴ EF || BC (প্রমাণিত
15. ABC ত্রিভুজে ∠ABC = ∠ACB ; ∠ACB কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় AC ও AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, FE || BC
ধরা যাক Δ ABC-এর ∠ABC = ∠ACB | ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক AC বাহুকে E বিন্দুতে এবং ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্ৰমাণ্য : FE || BC
অঙ্কন : E, F যুক্ত করা হল। BE ও CF পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ : Θ ∠ABC = ∠ACB
∴ ΔBEC = ΔBFC
Θ ΔBEC ও ΔBFC-এর ক্ষেত্রফল সমান এবং উহারা একই ভূমি BC এর একই পার্শ্বে অবস্থিত।
∴ উহারা একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত হবে।
অর্থাৎ FE || BC (প্রমাণিত)
The Complete Educational Website