WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 15 ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
WBBSE 9th Class Math Solutions Chapter 15 ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
West Bengal Board 9th Class Math Solutions Chapter 15 ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল
West Bengal Board 9th Math Solutions
কযে দেখি 15.1
1. কামালদের বাড়ির ছবি দেখি ও উত্তর খোঁজ।
(i) কামালদের বাগানের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখ।
(ii) প্রতি বর্গমিটারে 30 টাকা হিসাবে কামালদের বারান্দার মেঝে মেরামত করতে কত খরচ হবে হিসাব করে লেখ।
(iii) কামাল তার পড়ার ঘরের মেঝেতে টালি বসাতে চায়। যদি প্রতিটি টালি 25 সেমি × 25 সেমি হয়, তবে তার পড়ার মেঝেতে টালি বসাতে কতগুলি টালি লাগবে হিসাব করে লেখ।
Ans. (i) কামালদের বাগানের দৈর্ঘ্য = 20 মি. এবং প্রস্থ = 20 মি.
∴ কামালদের বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ (20 × 20) বর্গমিটার = 400 বর্গমিটার
(ii) কামালদের বারান্দার ক্ষেত্রফল (10 × 5) বর্গমিটার = 50 বর্গমিটার
∴ প্রতি বর্গমিটারে 30 টাকা হিসাবে কামালদের বারান্দার মেঝে মেরামত করতে খরচ হবে = (50 × 30) টাকা = 1500 টাকা
(iii) পড়ার ঘরের দৈর্ঘ্য = 6 মি. এবং প্রস্থ = 5 মি.
∴ পড়ার ঘরের ক্ষেত্রফল = (6 × 5) বর্গমিটার = 30 বর্গমিটার = 30 × 100 × 100 বর্গসেমি
1টি টালির ক্ষেত্রফল = (25 × 25) বর্গসেমি
2. নীচের ছবি দেখি ও রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
(i) ABCD-এর ক্ষেত্রফল = (12 × 8) বর্গমিটার = 96 বর্গমিটার
আবার EBGF-এর ক্ষেত্রফল = {(12 – 3) × (8 – 3)} বর্গমিটার = (9 × 5) বর্গমিটার 45 বর্গমিটার
∴ রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = (96 – 45) বর্গমি = 51 বর্গমিটার
(ii) ABCD-এর ক্ষেত্রফল = (26 × 14) বর্গমি. = 364 বর্গমি.
রঙিন অংশ বাদে মাঠটির ক্ষেত্রফল = {(26 – 3) × (14 – 3)} বর্গমি. = (23 × 11) বর্গমি. = 253 বর্গমি.
∴ রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = (364 – 253) বর্গমিটার = 111 বর্গমিটার
(iii) EH = FG = 16 মি.
EF = GH = 9 মি.
∴ EFGH-এর ক্ষেত্রফল = (16 × 9) বর্গমি. = 14.4 বর্গমি.
AB = (EF + 4 + 4) মি. = (9 + 8) মি. = 17 মি.
BC = (FG + 4 + 4) মি. = (16 + 8) মি. = 24 মি.
∴ ABCD-এর ক্ষেত্রফল = (17 × 24) বর্গমিটার = 408 বর্গমিটার
∴ রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = (408–144) বর্গমিটার = 264 বর্গমিটার
(iv) ABCD-এর ক্ষেত্রফল = (28 × 20) বর্গমিটার = 560 বর্গমিটার
এখন EF = GH = {20 – (3 + 3)} মি. = 14 মিটার
এবং EH = FG = {28 – (3 + 3)} মি. 22 মিটার
∴ EFGH অংশের ক্ষেত্রফল = (14 × 22) বর্গমিটার = 308 বর্গমিটার
∴ রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = (560 – 308) বর্গমিটার = 252 বর্গমিটার
(v) চিত্রে আমরা দেখতে পাচ্ছি মাঠটির দৈর্ঘ্য = 120 সেমি.
∴ রঙিন অংশ বাদে মাঠটির দৈর্ঘ্য = 120 – (3 + 3) = 114 সেমি মাঠটির প্রস্থ = 90 সেমি
∴ রঙিন অংশ বাদে মাঠটির প্রস্থ = (90–3) সেমি = 87 সেমি
∴ মাঠটির ক্ষেত্রফল = (120 × 90) বর্গসেমি = 10800 বর্গসেমি
∴ রঙিন অংশ বাদে মাঠটির ক্ষেত্রফল = (114 × 87) বর্গসেমি = 9918 বর্গসেমি
∴ রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল = (10800 – 9918) বর্গসেমি = 882 বর্গসেমি
3. বিরাটি মহাজাতি সঙ্ঘের আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4 : 3। মাঠটির চারদিকে একবার হেঁটে এলে 336 মিটার পথ অতিক্রম করা যায়। মাঠটির মোষণ হিসাব করে লেখ।
Ans. আয়তকার মাঠটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3
মনেকরি মাঠটির দৈর্ঘ্য 4x মিটার এবং প্রত্য 3x মিটার
∴ মাঠটির পরিসীমা = 2 × (4x + 3x) মিটার = 14x মিটার
শর্তানুযায়ী, 14x = 336
∴ মাঠটির দৈর্ঘ্য = (4 × 24) মি. = 96 মি.
এবং প্রস্থ = (3 × 24) মি. = 72.মি.
∴ মাঠটির ক্ষেত্রফল = (96 × 72) বর্গমি. = 6912 বর্গমিটার
4. প্রতি বর্গমিটারে 3.50 টাকা হিসাবে সমরদের একটি বর্গাকার জমি চাষ করতে খরচ হয় 1400 টাকা। প্রতি মিটারে 8.50 টাকা হিসাবে সমরদের জমিটির চারধারে একই উচ্চতার তার বেড়া দিতে কত খরচ হবে হিসাব করে লেখো।
Ans. প্রতি বর্গমিটার 3.50 টাকা হিসাবে সমরদের জমিটি চাষ করতে খরচ হয় 1400 টাকা
জমিটির ক্ষেত্রফল = 1400/3.50 = 400 বর্গমিটার
যেহেতু জমিটি বর্গাকার
∴ জমিটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = √400 মিটার = 20 মিটার
∴ বর্গাকার জমিটির পরিসীমা = ( 4 ×20) মি. 80 মিটার
∴ প্রতি বর্গমিটার 8.50 টাকা হিসাবে জমিটি বেড়া দিতে খরচ পড়বে = (8.50 × 80) টাকা = 680 টাকা
5. সুহাসদের আয়তকার জমির ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 2 মিটার বাড়ালে জমিটি বর্গাকার হয়। সুতরাং জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লেখো।
Ans. মনেকরি আয়তাকার জমিটির দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার
∴ শর্তানুযায়ী, xy = 500………………(i)
আবার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমালে অর্থাৎ (x – 3) মিটার হলে এবং প্রস্থ 2 মিটার বাড়ালে অর্থাৎ (y + 2) মিটার হলে, জমিটি বর্গাকার হবে।
অর্থাৎ, x – 3 = y + 2
বা, x = y + 5
(i) নং সমীকরণে x = y + 5 বসিয়ে পাই, y(y + 5) = 500
বা, y2 + 5y – 500 = 0
বা, y2 + 25y – 20y – 500 = 0
বা, y(y + 25) – 20 (y+25) = 0
বা, (y + 25) (y – 20 = 0
∴ y – 20 = 0 ‘.’ y + 25 ≠ 0
বা, y = 20
∴ x = 20 + 5 = 25 সুহাসদের জমির দৈর্ঘ্য 25 মিটার ও প্রস্থ 20 মিটার।
6. আমাদের গ্রামে একটি বর্গাকার জমির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 300 মিটার। এই বর্গাকার জমির চারধারে একই উচ্চতায় 3 ডেসিমি চওড়া দেওয়াল দিয়ে ঘিরব। হিসাব করে দেখো প্রতি 100 বর্গমিটার জমিতে 5000 টাকা হিসাবে দেওয়ালের জন্য কত খরচ পড়বে?
Ans. বর্গাকার জমিটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 300 মিটার
∴ বর্গাকার জমিটির ক্ষেত্রফল = (300)2 বর্গমিটার = 90000 বর্গমিটার
বর্গাকার জমিটির চারধারে 3 ডেসিমিটার চওড়া দেওয়াল দিয়ে ঘিরলে, দেওয়াল সমতে জমিটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 300.6 মিটার
∴ দেওয়াল সমেত জমিটির ক্ষেত্রফল = (300.6)2 বর্গমিটার = 90360.36 বর্গমিটার
∴ দেওয়ালটির ক্ষেত্রফল = 360.36 বর্গমিটার
সুতরাং প্রতি 100 বর্গমিটার জমিতে 5000 টাকা হিসাবে দেওয়ালের জন্য খরচ পড়বে 18018 টাকা।
7. রেহানাদের আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য 14 মিটার এবং প্রস্থ 12 মিটার। বাগানটির ভিতরে চারদিকে সমান চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে প্রতি বর্গমিটারে 20 টাকা হিসাবে মোট 1380 টাকা খরচ হলে, রাস্তাটি কত চওড়া হিসাব করে লেখো।
Ans. আয়তকার বাগানটির দৈর্ঘ্য = 14 মিটার এবং প্রস্থ = 12 মিটার
∴ আয়তকার বাগানটির ক্ষেত্রফল = (14 × 12) বর্গমিটার = 168 বর্গমিটার
রাস্তাটি তৈরি করতে প্রতি বর্গমিটারে 20 টাকা হিসাবে মোট 1380 টাকা খরচ হয়।
রাস্তাটির ক্ষেত্রফল =1380/20 বর্গমিটার = 69 বর্গমিটার
∴ রাস্তা বাদে কাগজটির ক্ষেত্রফল = 99 বর্গমিটার
মনে করি রাস্তাটি x মিটার চওড়া
∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = বাগানের ক্ষেত্রফল রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল
69 = 168 – {(14 – 2x)(12 – 2x)}
বা, 1,69 = 168 – (168 – 28x – 24x + 4x²)
বা, 69 = 168 – 168+52x – 4x²
বা, 4x2 – 52x + 69 = 0
বা, 4x2 – 46x – 6x + 69 = 0
বা, 2x(2x – 23 ) – 3 (2x – 23 ) = 0
বা, (2x – 23 )(2x – 3 ) = 0
∴ 2x – 3 = 0
বা, x = 1.5
সুতরাং রাস্তাটি 1.5 মিটার চওড়া।
8. 1200 বর্গসেমি ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য 40 সেমি হলে তার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখো।
Ans. আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য = 40 সেমি এবং ক্ষেত্রফল = 1200 বর্গসেমি
আমরা জানি, দৈর্ঘ্য × প্রস্থ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
উহার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (50)2 বর্গসেমি = 2500 বর্গসেমি।
9. একটি হলঘরের দৈর্ঘ্য 4 মিটার, প্রস্থ 6 মিটার এবং উচ্চতা 4 মিটার। ঘরটিতে তিনটি দরজা আছে, যাদের প্রত্যেকটি 1.5 মি. × 1 মি. এবং চারটি জানালা আছে যাদের প্রত্যেকটি 1.2 মি. × 1 মি.। ঘরটির চার দেওয়াল প্রতি বর্গমিটারে 70 টাকা হিসাবে রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে কত খরচ হবে?
Ans. হল ঘরটির দৈর্ঘ্য = 4 মি., প্রস্থ = 6 মি. এবং উচ্চতা = 4 মি.
∴ ঘরটির জানালা দরজা সমেত চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= 2 × (4 + 6) × 4 বর্গমিটার = 80 বর্গমিটার
আবার 3 টি দরজার ক্ষেত্রফল = (3 × 1.5 × 1) বর্গমিটার = 4.5 বর্গমিটার
এবং 4 টি জানালার ক্ষেত্রফল = (4 × 1.2 × 1) বর্গমিটার = 4.8 বর্গমিটার
∴ জানালা, দরজা বাদে ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = {(80– (4.5 + 4.8)} বর্গমিটার
= 80 – 9.3 বর্গমিটার = 70.7 বর্গমিটার
∴ খরটির চার দেওয়াল রঙিন কাগজ দিয়ে ঢাকতে খরচ পড়বে = (70.7 × 70) টাকা = 4949 টাকা
10. একটি ঘরের চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল 42 বর্গমিটার এবং মেঝের ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার। ঘরটির দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে ঘরটির উচ্চতা হিসাব করে লেখো।
Ans. ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার
দৈর্ঘ্য = 4 মিটার
∴ প্রস্থ = 12/4 মিটার = 3 মিটার
আবার ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 42 বর্গমিটার
∴ শর্তানুযায়ী, 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা = 42
বা, 2 × (4 + 3) × উচ্চতা = 42
বা, উচ্চতা = 42/14 বা, উচ্চতা = 3
সুতরাং ঘরটির উচ্চতা 3 মিটার।
11. সুজাতা 84 বর্গসেমি ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট আয়তাকার কাগজে একটি ছবি আঁকবে। কাগজটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 5 সেমি। সুজাতার কাগজটির পরিসীমা কত?
Ans. মনেকরি কাগজটির প্রস্থ = x সেমি
‘.’ কাগজটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অন্তর 5 সেমি
∴ কাগজটির দৈর্ঘ্য = (x + 5) সেমি
∴ শর্তানুযায়ী, x(x + 5) = 84
বা, x2 + 5x – 84 = 0
বা, x2 + 12x – 7x – 84 = 0
বা, x(x + 12) – 7 (x + 12 ) = 0
বা, (x + 12)(x – 7 ) = 0
∴ x – 7 = 0 x + 12 ≠ 0
বা, x = 7 যেহেতু প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ দৈর্ঘ্য = 7 + 5 = 12 সেমি।
কাগজটির পরিসীমা = 2 × (12 + 7) সেমি = 38 সেমি
কষে দেখি 15.2
1. নীচের ছবিগুলির ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখ
2. কোনে সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 48 সেমি হলে তার ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
Ans : সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা = 48 সেমি
4. ΔABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 4 সেমি হলে, ΔABC এর ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
Ans : আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
5. যদি কোন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 12 সেমি এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি হয় তবে ঐ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
Ans : আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
6. কোন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 544 সেমি এবং সমান বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ভূমির দৈর্ঘ্যের 5/6 অংশ; ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
Ans : মনে করি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য a সেমি
7. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভূজের দৈর্ঘ্য 12√2 সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
মনে করি ABC একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার, AB = BC এবং অতিভুজ AC = 12√2 সেমি
∴ শর্তানুযায়ী, 2AB2 = AC2
৪. পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি ও ৪ সেমি এবং কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির প্রত্যেকটি 90°; সামান্তরিকের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য লেখ ও সামান্তরিকটির বৈশিষ্ট লেখ।
Ans : যেহেতু সামান্তরিকটির কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির প্রত্যেকটি 90° সুতরাং সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র বা রম্বস। কিন্তু সামান্তরিকটির কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ভিন্ন।
সুতরাং সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র নয় ইহা একটি রম্বস।
স্পষ্টতই আমরা দেখতে পাচ্ছি, কৰ্ণ AC = 6 সেমি এবং BD = ৪ সেমি
আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ AO = OC = 3 সেমি
এবং BO = OD = 4 সেমি
এখন OCD সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই,
CD2 = OC2 + OD2
CD2 = (3)2 + (4)2
∴ CD2 = 9 + 16 = 25
∴ CD = 5
সুতরাং সামান্তরিকটির বাহুগুলির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং সামান্তরিকটি একটি রম্বস।
9. আমাদের পাড়ার ত্রিভুজাকৃতি একটি পার্কের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3:4; পার্কটির পরিসীমা 216 মিটার।
(i) হিসাব করে পার্কটির ক্ষেত্রফল লিখি।
(ii) পার্কটির বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে ওই বাহুতে সোজাসুজি যেতে কত পথ হাঁটতে হবে হিসাব করে লিখি।
Ans:
(i) ত্রিভুজাকৃতি পার্কটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 2: 3:4
মনেকরি পার্কটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 2x মি., 3x মি., এবং 4x মিটার
আবার বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে ঐ বাহুতে সোজাসুজি যেতে হলে, কৌণিক বিন্দু থেকে ঐ বাহুতে লম্ব হতে হবে।
সুতরাং পার্কটির বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে ঐ বাহুতে সোজাসুজি যেতে 9√15 মিটার পথ হাঁটতে হবে।
10. পহলমপুর গ্রামের ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিনদিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার 28 মিটার ও 30 মিটার। ।
(i) প্রতি বর্গমিটারে 5 টাকা হিসাবে ত্রিভুজাকৃতি মাঠে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা খৰচ হবে হিসাব করে লেখ।
(ii) ঐ ত্রিভুজাকৃতি মাঠে প্রবেশের গেট তৈরির জন্য 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বাকি চারধার বেড়া দিয়ে ঘিরতে প্রতি মিটার 18 টাকা হিসাবে মোট কত টকা খরচ হবে হিসাব করে লেখ।
Ans: (i) ত্রিভুজাকৃতি মাঠটির তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 26মি, 28মি. ও 30 মি.
প্রতি বর্গমিটারে 5 টাকা হিসাবে ত্রিভুজাকৃতি মাঠে ঘাস লাগাতে মোট খরচ হবে = (336 × 5) টাকা = 1680 টাকা
(ii) ত্রিভুজাকার মাঠটির পরিসীমা = 42 × 2 = 84 মিটার
∴ 5 মিটার জায়গা ছেড়ে বেড়া দিতে হলে মোট 79 মিটার বেড়া দিতে হবে।
∴ মাঠটি বেড়া দিতে খরচ পড়বে = (79 × 18) টাকা = 1422 টাকা
11. শাকিল একটি সমবাহু ত্রিভুজ PQR এঁকেছে। আমি ঐ সমবাহু ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ত্রিভুজের বাহুগুলির উপর তিনটি লম্ব অঙ্কন করছি যাদের দৈর্ঘ্য 10 সেমি 12 সেমি ও ৪ সেমি। হিসাব করে PQR-এর ক্ষেত্রফল লিখি।
ধরা যায় PQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার PQ = QR = RP; ধার PQ = QR = RP = a সেমি।
ত্রিভুজটির অন্তঃস্থ বিন্দু O থেকে তিনটি বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OA, OB এবং OC
∴ OA = 10 সেমি, OB = 12 সেমি, OC = ৪ সেমি
ΔPQR = ΔOPQ + ΔOQR+ ΔORP
12. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তভুক্ত কোণ 45° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
ধরা যাক ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB = BC = 20 সেমি। এবং ∠BAC = 45°।
এখন B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব অঙ্কন করা হল।
13. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সকল বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 20 সেমি এবং ওই বাহুদ্বয়ের অন্তভুক্ত কোন 30° হলে। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
ধরাযাক ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB = BC = 20 সেমি এবং ∠BAC = 30°। এখন B বিন্দু হতে AC বাহুর উপর BD লম্ব অঙ্কন করা হল।
14. একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা (√2+1) সেমি হলে ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল হিসাব করে লেখ।
Ans : মনেকরি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির সমান বাহু দুটির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ও সেমি।
আবার যেহেতু সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির সমকোণী
সুতরাং; a2+ a2 = (অতিভুজ)2
2a2 = (অতিভুজ)2
সুতরাং ত্রিভুজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য 1 সেমি এবং ক্ষেত্রফল 0.25 বর্গসেমি
15. মারিয়া ঘন্টায় 18 কিমি বেগে সাইকেল চারিয়ে 10 মিনিট একটি সমবাহু ত্রিভুজাকার মাঠের পরিসীমা বরাবর ঘুরে এল। ত্রিভুজটির একটি কৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত সোজা যেতে মারিয়ার কত সময় লাগবে হিসাব করে লেখ। (√3 ≈ 1.732 )
Ans: মারিয়া 60 মিনিটে যায় 18 কিমি = 18000 মিটার
সুতরাং ত্রিভুজটির একটি কৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত সোজা যেতে মারিয়ার 2.89 মিনিট সময় লাগবে।
16. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বৃদ্ধি করলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল √3 বর্গমিটার বৃদ্ধি পায়। সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লেখ।
Ans : মনেকরি সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
কষে দেখি 15-3
1. রাতুল একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার ভূমির দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি। রাতুলের আঁকা সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
Ans : আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমির দৈর্ঘ্য × উচ্চতা = (5 × 4) বর্গসেমি = 20 বর্গসেমি
∴ রাতুলের আঁকা সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 20 বর্গসেমি।
2. একটি সামান্তরিকের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ। যদি সামান্তরিকের আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 98 বর্গসেমি হয়, তাহলে সামান্তরিকটির দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার পরিমাণ হিসাব করি।
Ans: মনেকরি সামান্তরিকটির উচ্চতা = n সেমি
∴ সামন্তরিকটির ভূমি = 2n সেমি
∴ শর্তানুযায়ী, n × 2n = 98
বা, n2 = 49
বা, n = 47 [n ≠ – 7 ‘.’ উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে]
সামান্তরিকটির দৈর্ঘ্য = 2 × 7 সেমি = 14 সেমি এবং উচ্চতা 7 সেমি
3. আমাদের বাড়ির পাশে একটি সামান্তরিক আকারের জমি আছে যার সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মিটার ও 13 মিটার। যদি এই জমির একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 14 মিটার হয় তবে হিসাব করে সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল লিখি।
ধরি ABCD একটি সামান্তরিক যার AB = 13 মিটার এবং BC = 15 মিটার।
ছবি থেকে দেখতে পাচ্ছি BD > BC
∴ আমরা বলতে পারি AC = 14 মি.
আমরা জানি সামান্তরিকের কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
∴ সামান্তরিক আকারের জমির ক্ষেত্রফল = (2 × 84) বর্গসেমি = 168 বর্গসেমি
4. পৃথা একটি সামান্তরিক এঁকেছে যার সন্নিহিত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য 25 সেমি ও 15 সেমি এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 20 সেমি। হিসাব করে 25 সেমি বাহুর উপর সামান্তরিকের উচ্চতার পরিমাণ লিখি।
মনেকরি পৃথার আঁকা সামান্তরিকটি হল ABCD
যার AB = 15 সেমি এবং BC = 25 সেমি
∴ BD > BC
∴ AC = 20 সেমি
সুতরাং 25 সেমি বাহুর উপর সামান্তরিকের উচ্চতা 12 সেমি।
5. একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য 15 সেমি ও 12 দমি। ক্ষুদ্রতর বাহুদুটির দূরত্ব 7.5 সেমি হলে, বৃহত্তর বাহু দুটির দূরত্ব কত?
ABCD সামান্তরিকের AB = 15 সেমি
এবং BC = 12 সেমি
এবং AE = 7.5 সেমি
6. একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের পরিমাণ 15 মিটার ও 20 মিটার হলে, উহার পরিসীমা, ক্ষেত্রফল ও উচ্চতা হিসাব করে লিখি ABCD রম্বসের AC = 15 মিটার এবং BD = 20 মিটার।
আমরা জানি রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সুতরাং রম্বসটির পরিসীমা 50 মিটার। ক্ষেত্রফল 150 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 12 মিটার।
৪. যদি একটি রম্বসের পরিসীমা 20 সেমি এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 6 সেমি হয়, তবে ওই রম্বসের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
মনেকরি ABCD রম্বসটির পরিসীমা 20 সেমি
9. একটি ট্রাপিজিয়ম আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1400 বর্গডেকামিটার। উহার সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্বদূরত্ব 20 ডেকামিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 হলে ও বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
Ans : ট্রাপিজিয়মটির সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4। ধরি বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 3x ডেকামিটার ও 4x ডেকামিটার
∴ ট্রাপিজিয়মটির সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = (3 × 20) ডেকামিটার
= 60 ডেকামিটার ও (4 × 20) ডেকামিটার = ৪০ ডেকামিটার।
10. 8 সেমি বাহুবিশিষ্ট সুষম ষড়ভূজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি, (সংকেত সুষম ষড়ভুজের কর্ণগুলি আঁকা হলে ছয়টি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজ পাৰ)
Ans : সুষম ষড়ভূজে কর্ণগুলি আঁকা হলে 6 টি সর্বসম সমবাহু ত্রিভুজ পাব।
11. ABCD চতুর্ভূজের AB = 5 মিটার, BC = 12 মিটার, CD = 14 মিটার এবং DA = 15 মিটার এবং ∠ABC = 90° হলে ABCD চতুভূজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করি
ABCD চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল = (30 + 84) বর্গমিটার = 114 বর্গমিটার
12. সাহিন ABCD একটি ট্রাপিজিয়ম এঁকেছে যার BD কর্ণের দৈর্ঘ্য 11 সেমি A ও C বিন্দু থেকে BD কর্ণের উপর দুটি লম্ব এঁকেছে যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি ও 11 সেমি। হিসাব করে ট্রাপিজিয়ম আকার ক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল লিখি।
13. ABCDE একটি পঞ্চভূজ যার BC বাহুটি AD কর্ণের সমান্তরাল, EP, BC, এর উপর লম্ব এবং EP, AD কে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে, BC = 7 সেমি, AD = 13 সেমি, PE = 9 সেমি এবং PQ = 4/9 PE হলে ABCDE পঞ্চভূজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
∴ BC || AD এবং PE ⊥ BC
∴ EQ ⊥ AD
14. একটি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 40√2 সেমি। যদি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 হয় তাহলে রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
Ans : মনেকরি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য = বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি
∴ রম্বস আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1536 বর্গসেমি।
The Complete Educational Website