PSEB Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

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PSEB 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
(iv) (y² + 3/2) (y² – 3/2).
हल :
(i) (x + 4) (x + 10) = x² + (4 + 10)x + 4 × 10
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 4, b = 10]
= x² + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10) = x² + {8 + ( – 10)} x + 8 × ( – 10)
= x² – 2x – 80
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 8, b = – 10]

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
3x = y प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त | होता है :
(y + 4) (y – 5) = y + {4 + (- 5)} y + 4 (- 5)
= y² – y – 20
= (3x)² – 3x – 20 [∵ 3x = y]
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 4, b = – 5]
= 9x² – 3x – 20

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
= – (2x – 3) (2x + 3)
= – (2x + 3) (2x – 3)
2x = y प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है :
– (y + 3) (y — 3) = – [y² + (3 – 3)y + 3 ( – 3)]
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 3, b = – 3]
= – (y² + 0y – 9)
= – (y² – 9) .
= – [(2x)² – 9]
[जहाँ 2x = y को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं]
= – (4x² – 9)
= 9 – 4x²

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96.
हल :
(a) 103 × 107
= (100 + 3) (100 + 7)
[103 को 100 + 3 और 107 को 100 + 7 लिखने पर]
= (100)² + (3 +7) 100 + 3 × 7।
= 10000 + 10 x 100 + 21
= 10000 + 1000 + 21 = 11021
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ x = 100, a = 3, b = 7]
= 10000 + 10 × 100 + 21
= 10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96
= (100 – 5) (100 – 4)
[95 को 100 – 5 और 96 को 100 – 4 लिखने पर]
= (100)² + [( – 5) + ( – 4)] 100 + ( – 5) ( – 4)
[सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, जहाँ
x = 100, a = – 5, b = – 4]
= 10000 + (- 9) 100 + 20
= 10000 – 900 + 20
= 9120

(iii) 104 × 96
= (100 + 4) (100 – 4)
[104 को 100 + 4 और 96 को 100 – 4]
(100)² – (4)²
[सर्वसमिका a² – b² = (a + b) (a – b) का प्रयोग करने पर, जहाँ a = 100 और b = 4]
= 10000 – 16
= 9984

प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
(i) (x + 2y + 4z)²
(ii) (2x – y + z)²
(ii) ( – 2x + 3y + 2z)²
(iv) (3a – 7b – c)²
(v) ( – 2x + 5y – 3z)²
हल :
(i) (x + 2y + 4z)²
दिए गए व्यंजक की तुलना (a + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि a = x, b = 2y और c = 4z.
इसलिए सर्वसमिका का प्रयोग करने पर
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
हम लिखते हैं (x + 2y + 4z)² = x² + (2y)² + (4z)² + 2x(2y) + 2(2y) (47) + 2(4zx
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8xz.

(ii) (2x – y + z)²
= [2x + (-y) + z]²
दिए गए व्यंजक की तुलना
(a + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि a = 2x, b = – y और c = z.
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
(2x + ( – y) + z)²
= (2x)² + ( – y)² + z² + 2(2x) (- y) + 2(- y) z + 2z (2x)
= 4x² + y² + z² – 4xy – 2yz + 4z²

(iii) ( – 2x + 3y + 22)²
दिए गए व्यंजक की तुलना (a + b + c)² से करने पर हम पाते हैं कि a = – 2x, b = 3y और c = 2z
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
(- 2x + 3y + 22)² = (- 2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(- 2x) (3y) + 2 (3y) (2z) + 2(2z) ( – 2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 12yz – 8zx.

(iv) (3a – 7b – c)² = [(3a + (- 7b) + (- c)]²
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
[3a + (- 7b) + (- c)]² = (3a)² + (- 7b)² + (- c)² + 2 (3a) (- 7b) + 2 (- 7b) (- c) + 2(- c) (3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab + 14bc – 6ca

(v) (- 2x + 5y – 32)²
= [- 2x + 5y + (- 32)]²
दिए गए व्यंजक की तुलना (a + b + c) से करने पर हम पाते हैं कि a = – 2x, b = 5y और = -3z
इसलिए सर्वसमिका
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं :
[- 2x + 5y + (- 32)]² = (- 2x)² + (5y)² + (- 32)² + 2(- 2x) (5y) + 2(5y) (- 3z) + 2 (- 3z) (- 2x)
= 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12zx

प्रश्न 5.
गुणनखंडन कीजिए :
(i) 4x² + 9y² + 16x² + 12xy – 24yz – 16xz.
(ii) 2x² + y² + 8z² – 2√2 xy + 4√2yz – 8xz.
हल :
(i) जहाँ 4x² + 9y² + 16x² + 12xy – 24yz – 16xz.
= (2x)² + (3y)² + (- 4z)² + 2 × (2x) × (3y) + 2x (3y) (- 4z) + 2 (2x) (- 4z)
= [2x + 3y + (- 4z)]²
[सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
= (a + b + c)² का प्रयोग करने पर]
= (2x + 3y – 4z)²
= (2x + 3y – 4z) (2x + 3y – 4z)

(ii) जहाँ 2x² + y² + 8z² – 2√2 xy + 4√2 yz – 8xz.
=(- √2x)² + (y)² + (2√2 z)² + 2 (- √2x) (y) + 2 (y) (2 √2 ) + 2 (- √2x) (2√2 z)
= [(- √2 x) + y + (2√2 z)]²
[सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2b c + 2ca + (a + b + c)2 का प्रयोग करने पर]
= (- √2 x + y + 2√2z)²
= (- √2x + y + 2√2 z) (- √2x + y + 2√2z)

प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप मे लिखिए :
(i) (2x + 1)³
(ii) (2a – 3b)³
(iii) [(3/2x + 1]³
(iv) [x – 2/3 y]³
हल :
(i) (2x + 1)³
दिए गए व्यंजक की तुलना (2x + 1)³ की तुलना (a + b)³, से करने पर हम पाते हैं कि a = 2x, b = 1
इसलिए सर्वसमिया
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) का प्रयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं
(2x + 1)³ = (2x)³ + (1)³ + 3(2x) 1 (2x + 1)
= 8x³ + 1 + 12x² + 6x
= 8x³ + 12x² + 6x + 1 x की घटती हुई घातांक में व्यवस्थित करते हुए।

(i) (2a – 3b)³ दिए गए व्यंजक (2a – 3b)³ की तुलना
(x – y)³ के साथ रने पर हम प्राप्त करते हैं x = 24, y = 3b
इसलिए सर्वसमिका
(x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y) का प्रयोग करने | पर हम प्राप्त करते है :
(2a – 3b)³ = (2a)³ – 3 (3b)³ – 3 (2a) (3b) (2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ – 36a²b + 54ab²

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए : ..
(i) (99)³
(ii) (102)³
(iii) (998)³
हल :
(i) (99)³ = (100 – 1)³
= (100)³ – 1³ – 3 (100) 1 (100 – 1)
[सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) का प्रयोग करने पर
= 1000000 – 1 – 30000 + 300
= 970299

(ii) (102)³
= (100 + 2)³
= (100)³ + 2³ + 3(100) (2) [100 + 2]
[सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) का प्रयोग करने पर]
= 1000000 + 8 + 60000 + 1200
= 106208

(iii) (998)³
= (1000 – 2)³
= (1000)³ – 2³ – 3 (1000) (2) (1000 – 2)
[सर्वसमिका (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab (a – b) का प्रयोग करने पर]
= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000
= 10000 12000 – 6000008
= 99401992

(ii) 8a³ – b³ – 12a²b + 6ab²
= (2a)³ – b³ – 3 (2a) b (2a + b)
= (2a – b)³
[सर्वसमिका (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y) का प्रयोग करने पर]
जहाँ x = 2a और y = b

(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a³
= (3)³ – (5a)³ – 3 (3) (5a) [3 – 5a]
= (3 – 5a)³
[सर्वसमिका (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y)]
जहाँ x = 3, y = 5a

(iv) 64a² – 27b³ – 144a²b + 108ab²
= (4a)³ – (3b)³ – 3 (4a) (3b) [4a – 3b]
= (4a – 3b)³
[सर्वसमिका (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy (x – y) का प्रयोग करने पर, जहाँ x = 4a, y = 3b]

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए :
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²).
हल :
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
R.H.S. लीजिए
(x + y) (x² – xy + y²) = x (x² – xy + y²) + y (x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + x²y – x²y + xy² – xy² + y³
= x³ + y³
= L.H.S.

(ii) x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
R.H.S. लीजिए
(x – y) (x² + xy + y²)
= x (x² + xy + y²) – y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – yx² – xy² – y³
= x² + x²y – x²y + xy² – xy² – y³²
= x³ – y³
= L.H.S.

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए :
(i) 27y³ + 125x³
(ii) 64m³ – 343n³
हल :
(a) 27y³ + 125z³
= (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z) [(3y)² – (3y) (5z) + (5z)²]
[सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²) का प्रयोग करने पर],
यहाँ. a = 3y, b = 5z]
= (3y + 5z) (9y² – 15yz + 25z²)

(ii) 64m³ – 343n³
= (4m)² + (7n)²
= (4m – 7n) [(4m)²+ (4m) (7n) + (7n)²]
[सर्वसमिका a3 – b3 = (a – b) (a + ab + b2)
यहाँ a = 4m, b = 7n का प्रयोग करने पर]
= (4m – 7n) [16m² + 28mn + 49n²)

प्रश्न 11.
गुणनखंडन कीजिए: 27x³ + y³ + z³ – 9xyz.
हल :
हम लिख सकते हैं :
27x³ + y³ + z³ – 9xyz
= (3x)³ + y³ + z³ – 3 (3x) yz
= (3x + y + z) [(3x)² + y² + z² – (3x) y – yz – (3x) z]
[सर्वसमिका a³ + b³ + c³ – 3abc = – (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca) का प्रयोग करने पर],
जहाँ a = 3x, b = y, c = z]
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz)

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए x³ + y³ + z³ – 3xy. = (x + y + 2) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)².]
हल :
R.H.S. लीजिए 1/2 (x + y + z) [(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= (x + y + 2) [x² + y² – 2xy + y² + z² – 2yz + z² + x² – 2zx]
= 1/2 (x + y + z) [2x² + 2y² + 2x² – 2xy – 2yz – 2zx]
= 1/2 (x + y + 2) 2 [x² + y² + z² – xy – yz – zx]
= (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x (x² + y² + z² – xy – yz – zx) + y (x² + y² + z² – xy – yz – zx) + z (x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x³ + xy² + xz² – x²y – xyz – zx² + yx² + y³ + yz² – xy² – y²z – xyz + x²z + zy² + z³ – xyz – yz² – z²x
= x³ + (xy² – xy²) + (xz² – xz²) + (- x²y + yx²) + (zx² – x²z) + (y²z – (zy² – y²z) + y³ + z³ – 3xyz.
= x³ + y³ + z³ – 3xyz
= L.H.S.

प्रश्न 13.
यदि x + y + 2 = 0 हो, तो दिखाइए कि x3 +ys + z3 = 3xyz
हल :
x + y + z = 0
x + y = – z
दोनों ओर घन करने पर हम प्राप्त करते हैं :
(x + y)³ = (- z)³
⇒ x³ + y³ + 3xy (x + y) = – z³
⇒ x³ + y³ + 3xy (- z) = – z³
[∵ (i) x + y = – z से]
⇒ x³ + y³ – 3xyz = – z³
⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz प्रमाणित हुआ।

प्रश्न 14.
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (-12) + (7)³ + (5)³
(ii) (28) + (- 15)³ + (- 13)³.
हल :
(i) मान लीजिए a = – 12, b = 7 और c = 5
जब a + b + c = 0
तब a³ + b³ + c³ = 3abc
जहाँ a + b + c = – 12 + 7 +5 = 0
∴(- 12)³ + (7)³ + (5)³
= 3 (- 12) (7) (5)
= – 1260

(ii) मान लीजिए a = 28, b = – 15 और c = – 13
अब a + b + c = 28 + (- 15) + (- 13)
= 28 – 15 – 13
= 28 – 28
⇒ a + b + c = 0
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc
⇒(28)³ + (- 15)³ + (- 13)³
= 3(28) (- 15) (- 13)
= 16380

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए।
(i) क्षेत्रफल : 25a² – 35a + 12
(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y – 12
हल :
(i) आयत का क्षेत्रफल = 25a² – 35a + 12 (दिया है)
⇒ लंबाई × चौड़ाई = 25a² – 15a – 20a + 12
= 5a (5a – 3) – 4 (5a – 3)
= (5a – 4) (5a – 3)
यदि लंबाई = (5a – 4)
तब चौड़ाई = 5a – 3
यदि लंबाई = 5a – 3
तब चौड़ाई = 5a – 4

(ii) आयत का क्षेत्रफल = 35y² + 13y – 12
⇒ लंबाई × चौड़ाई = 35y² + 28y – 15y – 12
= 7y (5y + 4) – 3 (5y + 4)
⇒ लंबाई × चौड़ाई = (5y + 4) (7y – 3)
यदि लंबाई = 5y + 4
तब चौड़ाई = 7y – 3
यदि लंबाई = 7y – 3
तब चौड़ाई = 5y + 4

प्रश्न 16.
घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, विमाओं के लिए संभव व्यंनक क्या हैं ?
आयतन : 3x² – 12x
(i) आयतन : 12ky² + 8ky – 20k
हल :
(i) घनाभ का आयतन = 3x² – 12x (दिया है)
-लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 3x (x – 4)
∴ धनाभ की एक संभव विमाएँ हैं: 3, x और x – 4

(ii) धनाभ का आयतन हैं = 12ky² + 8ky – 20k
लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 4k (3y² + 2y – 5)
= 4k [3y² + 5y – 3y – 5]
= 4k [y(3y + 5) – 1 (3y + 5)]
= 4k [(3y + 5) (y – 1)]
लंबाई x चौड़ाई x ऊँचाई = 4k (3y + 5) (y – 1)
घनाभ की एक संभव विमाएँ हैं 4k, (3y + 5) और y – 1.

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