WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 13 ভেদ

1. দুটি A ও B সম্পর্কিত মানগুলি

A	25	30	45	250
B	10	12	18	100

A ও B -এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।

3. (i) ৰিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি. পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘন্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্বে প্রয়োগ করে হিসাব করি।

উত্তর। ধরি, সময় = t

এবং দূরত্ব = 14 কিমি. = d

সময় বেশি হলে দূরত্ব বেশি হবে।

∴ সময় ও দূরত্ব পরস্পর সরলভেদে আছে।

∴ t ∝ d          যখন t = 25 মিনিট

d = 14 কিমি

∴ t = k. d (k = অদৃশ্য ধ্রুবক)

(ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদ তত্ত্বের প্রয়োগ করে হিসাব করি।

উত্তর : ধরি, শিশুর সংখ্যা = 24 জন = A

∴ প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশ = 5টি = B

∴ শিশুর সংখ্যা বাড়লে প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশ সংখ্যা কমবে,

∴ শিশুর সংখ্যা এবং প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সংখ্যা ব্যস্ত ভেদে আছে।

(iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

উত্তর : ধরা যাক, গ্রামবাসী 50 জন = A, সময় = 18 দিন = B

∴ গ্রামবাসীর সংখ্যা বাড়লে পুকুর কাটার সময় কমতে গ্রামবাসী এবং সময় ব্যস্ত ভেদে থাকবে।

4. (i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9 ; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y = 6.

উত্তর : প্রশ্নানুসারে,

(ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y = 4, z = 5 হলে x = 3 হয়। আবার y = 16, z = 30 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর : প্রশ্নানুসারে,

(iii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y = 5 ও  z = 9 হলে x = 1/6 হয়। x,  y ও z-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি এবং y = 6 ও z = 1/5 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর : প্রশ্নানুসারে,

(ধরি, গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)

উত্তর। ধরি, গোলকের আয়তন = V,

ব্যাসার্দ্ধ = r

প্রশ্নানুসারে, V ∝ r³

or, V = k, r³ ………..(1) [k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি xচলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। x = 1 হলে y = 1 এবং x = 3 হলে y = 5; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

উত্তর। ধরি, y = A + B ……….(1)

(1) নং সমীকরণ এবং (a) ও (b) সমীকরণ থেকে পাই,

(ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (iii) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুণ করে পাই,

11. a ∝ b, b ∝ c হলে দেখাই যে, a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc (a³ + b³ + c³)

উত্তর। ‘.’ a ∝ b      আবার b ∝ c

or, a = k₁b            আবার b = k₂c

∴ a = k₁k₂c

b = k₂c

∴ a = k₁k₂c

12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশে x2-এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।

উত্তর। মনে করি মোট ব্যয়ের a অংশ x -এর সরলভেদে এবং b অংশ x²-এর সঙ্গে সরলভেদে আছে।

100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খননের জন্য যথাক্রমে 5000 লিটার এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়।

13. চোঙের আয়তন, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 হলে, ওদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

উত্তর। ধরি, চোঙের আয়তন = V, ভূমির ব্যাসার্দ্ধ = r এবং উচ্চতা = h

∴ প্রশ্নানুসারে, V ∝ r²h or. V = k₁r²h

ধরি, ভূমির ব্যাসার্ধ = 2x, এবং 3x এবং উচ্চতা = 5y, 4y এবং আয়তন = V_₁

∴ V₁ = k₁. (2x)². 5y = k. 4x². 5y ঘনএকক

ভূমির ব্যাসার্ধ = 3x এবং উচ্চতা = 4y এবং আয়তন = V₂

V₂ = k₁ (3x)². 4y = k. 9x² × 4y ঘনএকক

14. পাঁচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চায় করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।

উত্তর। সমস্যাটি হল

জমি                          লাঙল                        সময়

2400 বিঘা A           25টি B                   36 দিন C

1200                           ?                          30 দিনে

ধরি, জমির পরিমাণ =A, লাঙল B এবং সময় (দিন) = C

জমির পরিমাণ কমলে লাঙলের পরিমাণ কমবে যখন সময় স্থির অর্থাৎ সম্পর্ক সরল ভেদে আছে।

∴ B ∝ A

আবার জমির পরিমাণ স্থির থাকলে সময় কমলে লাঙল বাড়বে অর্থাৎ সময় এবং লাঙলের সম্পর্কটি ব্যস্ত ভেদে আছে।

15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।

উত্তর। ধরি, গোলকের আয়তন = V পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = A এবং ব্যাসার্দ্ধ = R

প্রশ্নানুসারে, V ∝ R³