WBBSE 10th Class Math Solutions Chapter 15 বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

1. মাসুম O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার AB একটি জ্যা। B বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যা বর্ধিত AO -কে T বিন্দুতে ছেদ করল। ∴ ∠BAT = 21° হলে, ∠BTA-এর মান হিসাব করে লিখি।

উত্তর। O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি জ্যা। B বিন্দুতে স্পর্শকটি বর্ধিত AO কে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।

অঙ্কন : OB যোগ করা হল।

যেহেতু OB ব্যাসার্ধ BT স্পর্শক বিন্দুগামী।

∴ ∠OBT = 90°

আবার, ΔAOB -এর OA = OB [ব্যাসার্ধ]

∴ ∠OAB = ∠ABO = 21⁰

∴ ∠AOB = 180⁰ – (21° + 21⁰) = 180⁰ – 42° = 138°

∴ ∠BOT = 180⁰ – 138⁰ = 42⁰ –

∴ ∠BTO = 180° – (42° + 90°) = 180° – 132° = 48°

∴ ∠BTO = 48°

2. কোনো বৃত্তের XY একটি ব্যাস। বৃত্তটির উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ বৃত্তের স্পর্শক। X বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব PAQ-কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, XA, ∠YXZ-এর সমদ্বিখণ্ডক |

উত্তর। O কেন্দ্রীয় বৃত্তের XY একটি ব্যাস। বৃত্তের উপর অবস্থিত A যেকোনো P বিন্দুতে PAQ বৃত্তের স্পর্শক। X বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব PAQ কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।

অঙ্কন: XA, OA যোগ করা হল।

প্রমাণ করতে হবে, XA, ∠YXZ-এর সমদ্বিখণ্ডক।

প্রমাণ : যেহেতু OA ⊥ PQ এবং XZ ⊥ PQ

∴ ∠OAP = ∠XZQ = 90°

ΔOXA-এর OX = OA [ব্যাসার্ধ]

∴ ∠OXA = ∠OAX  ∴ ∠XAZ = ∠OAZ – ∠OAX = 90° – ∠OAX

∴ ΔXAZ-এর ∠AXZ = 180° – ( ∠XZA + ∠XAZ)

= 180° – (90° + 90° – ∠OAX)

= 1800 – ( 180° – ∠OAX) = ∠OAX

∴ ∠AXZ = ∠OAX

∴ XA, ∠YXZ-এর সমদ্বিখণ্ডক।

3. একটি বৃত্ত আঁকলাম যার PR একটি ব্যাস। P বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করলাম এবং এই স্পর্শকের উপরে S এমন একটি বিন্দু নিলাম যাতে PR PS হয়। RS, বৃত্তকে T বিন্দুকে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ST = PT. উত্তর। বৃত্তের PR একটি ব্যাস। P বিন্দুতে PS স্পর্শক যেখানে PS = PS হয়। RS, বিন্দুতে বৃত্তটিকে ছেদ করেছে।

অঙ্কন : PT যোগ করা হল।

প্রমাণ করতে হবে, ST = RT = PT

প্রমাণ : যেহেতু ∠PTR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।

∴ ∠PTR = 1 সমকোণ।

∴ ∠PTS = 1 সমকোণ।

∴ ΔPTR ও ΔPTS দুটি সমকোণী ত্রিভুজের

PT সাধারণ বাহু এবং অতিভুজ PR = অতিভুজ PS |

∴ ΔPTR ≅ ΔPTS

∴ RT = TS ………(1)

∴ RS = RT + TS = 2RT

আবার, যেহেতু PR ⊥ PS ∴ ∠RPS = 1 সমকোণ।

∴ সমকোণী ত্রিভুজ PSR-এর ∠RPS = 90° এবং PT ⊥ RS যেখানে T, RS-এর মধ্যবিন্দু।

∴ PT = 1/2RS =RT ………. (2)

(1) ও (2) নং থেকে পাই, ST = RT = PT

4. একটি O কেন্দ্রীয় বৃত্ত অঙ্কন করি যার দুটি ব্যাসার্ধ OA ও OB পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উত্তর। O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি ব্যাসার্ধ OA ও OB পরস্পরকে লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।

অঙ্কন: AB ও OT যোগ করা হল।

প্রমাণ করতে হবে, AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

প্রমাণ : যেহেতু BT স্পর্শক OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।

∴ ∠OBT = 90⁰

আবার; AT স্পর্শক OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।

∴ ∠OAT = 90°

∴ OA ⊥ OB        ∴ ∠AOB = 90⁰

∴ ∠ATB = 180° – 90° = 90°

এখন, OATB চতুর্ভুজের OA = OB এবং ∠OAB = ∠OBT = 90°

∴ OATB একটি বর্গক্ষেত্র।

∴ AB = QT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।

5. দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটির AB ও AC জ্যাদুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করলে, প্রমাণ করি যে, PQ = 1/2BC

উত্তর। দুটি O এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটি AB ও AC জ্যাদুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

অঙ্কন : PQ, BC, PO ও QO যোগ করা হল। প্রমাণ করতে হবে, PQ = 1/2BC

প্রমাণ : এখানে AB ও AC স্পর্শক OP ও OQ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।,

∴ OP ⊥ AB এবং OQ ⊥ AC

∴ P ও Q বিন্দুদুটি যথাক্রমে বৃহত্তর AB ও AC জ্যায়ের মধ্যবিন্দু।

∴ ΔABC-এর AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q.

∴ PQ || BC এবং PQ = 1/2BC.

ত্রিভুজের দুটি সংলগ্ন বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোজক রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক হয়।

6. 0 কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের উপর অবস্থিত A বিন্দুতে স্পর্শকের উপর X যেকোনো একটি বিন্দু। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত একটি ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করে। YZ -এর মধ্যবিন্দু P হলে, প্রমাণ করি যে, XAPO বা XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

উত্তর। O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অবস্থিত A বিন্দুতে স্পর্শকের উপর X যেকোনো একটি বিন্দু। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করে। YZ-এর মধ্যবিন্দু P।

প্রমাণ করতে হবে, XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

প্রমাণ : স্পর্শকটি OA স্পর্শবিন্দুগীীমী ব্যাসার্ধ।

∴ ∠OAX = 90°

আবার, আমরা জানি যে, বৃত্তের কেন্দ্র ও জ্যায়ের মধ্যবিন্দুগামী সরলরেখা জ্যায়ের উপর লম্ব হবে।

যেহেতু P, YZ-এর মধ্যবিন্দু।

∴ OP ⊥ YZ

∴ ∠OPX = 90°

∴ ∠OAX + ∠OPX = 90° + 90° = 180°

∴ XAOP চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলির সমষ্টি 180°।

∴ XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

7. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের উপর P যে-কোনো একটি বিন্দু। ওই ব্যাসের উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP-কে S বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করে যে, SP= PR.

উত্তর। O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাসের উপর P যেকোনো একটি বিন্দু। AB ব্যাসের উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে ও R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে।

অঙ্কন: OR যোগ করা হল। প্রমাণ করতে হবে, SP PR

প্রমাণ : যেহেতু SR স্পর্শক এবং OR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। OR 1SR

∴ OR ⊥ SR

∴ ∠SRO = 90⁰

∴ ∠SRP = 90° – ∠PRO = 90° – ∠QRO

আবার, ΔOQR-এর OR = OQ

∴ ∠RQO = ∠QRO

∴ ∠SRP = 90° – ∠RQO = 90° – ∠PQO …….(1)

যেহেতু OQ ⊥ AB

∴ ∠QOP = 90°

∴ সমকোণী ΔOQP থেকে পাই, ∠OPQ = 90° – ∠PQO

(1) নং থেকে পাই,

∠SRP = ∠OPQ      বা, ∠SRP = ∠RPS [‘.’ ∠OPQ = বিপ্রতীক কোণ]

∴ ΔSPR-এর ∠SRP = ∠SPR

∴ SR = RP অর্থাৎ SP = PR (প্রমাণিত)।

8. রুমেলা O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার QR একটি জ্যা। Q ও R বিন্দুতে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। QM বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, ∠QPR = 2∠RQM.

উত্তর। O কেন্দ্রীয় বৃত্তের QR একটি জ্যা। Q ও R বিন্দুতে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। QM বৃত্তের একটি ব্যাস।

অঙ্কন: RM, OR যোগ করা হল।

প্রমাণ করতে হবে, ∠QPR = 2∠RQM

প্রমাণ : ‘.’ QP স্পর্শক ও OQ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।

∴ ∠OQP = 90°

আবার, RP স্পর্শক ও OR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।

∴ ∠ORP = 90⁰

∴ ∠OQP + ∠ORP = 90⁰ + 90⁰ = 180⁰

∴ OQPR চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ ∠OQP ও ∠ORP পরস্পর সম্পূরক কোণ।

∴ OQPR একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

∴ বহিঃস্থ ∠MOR অন্তঃস্থ ∠QPR ……….(1)

আবার, ∠MOR = ∠OQR + ∠ORQ = ∠OQR + ∠OQR [‘.’ OQ = OR]

(1) ও (2) নং থেকে পাই, ∠QPR = 2∠OQR

বা, ∠QPR = 2∠MQR = 2∠RQM

∴ ∠QPR = 2∠RQM

9. কোনো বৃত্তের AC ও BD দুটি জ্যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদুটি পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি = যে, ∠P + ∠Q = 2∠BOC

উত্তর। X কেন্দ্রী বৃত্তের AC ও BD দুটি জ্যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।

অঙ্কন: BC, AB, CD, AX, DX, BX ও CX যোগ করা হল।

প্রমাণ করতে হবে, ∠P + ∠Q = 2∠BOC

প্রমাণ : AB চাপের উপর ∠AXB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ।

∴ ∠AXB = 2∠ACB = 2∠OCB

আবার, CD চাপের উপর ∠CXD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠DBC পরিধিস্থ কোণ।

∴ ∠CXD = 2∠DBC = 2∠OBC

ΔODC-এ ∠AOB বহিঃস্থ কোণ।

∴ ∠AOB = ∠OBC + ∠OCB

∴ 2∠AOB = 2∠OBC + 2∠OCB

∴ ∠AXB + ∠CXD = 2∠AOB ……..(1)

আবার, AP ও BP দুটি স্পর্শক এবং AX ও BX স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।

∴ ∠XAP = ∠XBP = 90°

∴ AXBP চতুর্ভুজে ∠APB + ∠AXB = 180°

অনুরূপে, CXDQ চতুর্ভুজে ∠CXD + ∠CQD = 360°

∴ ∠APB + ∠AXB + ∠CXD + ∠CQD = 360°

বা, ∠APB + ∠CQD + 2∠AOB = 360° [(i) নং থেকে পাই]

বা, ∠APB + ∠CQD + 2(180° – ∠BOC) = 360°

বা, ∠APB + ∠CQD = 360° – 360° + 2∠BOC

বা, ∠APB + ∠CQD = 2∠BOC

∴ ∠APB + ∠CQD = 2∠BOC অর্থাৎ, ∠P + ∠Q = 2∠BOC

1. 16 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি. দূরত্বে অবস্থিত বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

2. একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত P ও Q বিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি A বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠PAQ = 60° হলে ∠APO-এর মান নির্ণয় করি।

3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। PR একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে OA||RQ

উত্তর : বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে AP ও AQ দুটি স্পর্শক টানা হল, যারা বৃত্তটিকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। PR, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস।

অঙ্কন : OQ, R Q যোগ করা হল প্রমাণ করতে হবে,

প্রমাণ করতে হবে, OA||RQ|

প্রমাণ : ΔAPO ও ΔAQO -এর ∠AQO = ∠APO = 90°

AP = AQ (ব্যাসার্ধ) এবং OA সাধারণ বাহু।

∴ _ΔAPO & _ΔAQO ( R. H. S. শর্তানুসারে)

∴ ∠AOP = ∠AOQ

আবার, _ΔOQR-এর OR = OQ

∴ ∠ORQ. = ∠OQR

_ΔOQR -এর ∠POQ বহিঃস্থ কোণ।

4. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের পরিলিখিত কোনো চতুভুর্জের যে-কোনো দুটি বিপরীত বাহুর দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ সম্মুখ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।

ABCD চতুর্ভুজটি O কেন্দ্রীক বৃত্তকে E, F, G ও H বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

অঙ্কন: AO, BO, CO, DO, EO, FO, GO, HO যোগ করা হল।

প্রমাণ করতে হবে,

∠AOB + ∠COD = 2 সমকোণ

প্রমাণ : বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে O কেন্দ্রিক বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি যথাক্রমে AH ও AE

5. প্রমাণ করি যে, বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস।

ABCD সামান্তরিক O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে E, F, G, H বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে, ABCD একটি রম্বস।

প্রমাণ : এখানে বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে বৃত্ত অঙ্কিত স্পর্শক দুটি যথাক্রমে AE ও AH

∴ AE = AH অনুরূপে, BE = BF

CF = CG

DG = DH

∴ AB + CD = (AE + EB) + (CG + GD)

= (AE + GD) + (EB + CG) = (AH + DH) + (BF + CF)

= AD + BC

∴ AB + CD = BC + AD

যেহেতু ABCD একটি সামান্তরিক

‍∴ AB = CD এবং BC = AD  ∴ 2AB = 2 BC

6. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = X°, এবং ∠BCE = Y°, হলে প্রমাণ করি যে OD = OC = OE এবং Y – X = 8

উত্তর : A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে C রিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O যে কোনো একটি বিন্দু থেকে A কেন্দ্রীয় বৃত্তে OD স্পর্শক ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তে OE স্পর্শক যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে, OD = OC = OE এবং Y – X = 8

অঙ্কন : CD, CE যোগ করা হল।

প্রমাণ : A কেন্দ্ৰীয় বৃত্তে বহিঃস্থ O বিন্দু থেকে OD ও OC দুটি স্পর্শক। ∴ OD = OC

আবার, B কেন্দ্রীয় বৃত্তে বহিঃস্থ O বিন্দু থেকে OC ও OE দুটি স্পর্শক। ∴ OC = OE

7. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O যদি ওই বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তবে প্রমাণ করি যে, AO + BO ধ্রুবক হবে।

উত্তর। A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে।

অপর একটি O কেন্দ্রীয় বৃত্ত, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ

এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে, AO + BO = ধ্রুবক।

মনেকরি, বৃত্ত তিনটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁, r₂, r₃,

প্রমাণ : B কেন্দ্রীয় বৃত্ত ও O কেন্দ্রীয় বৃত্ত পরস্পরকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।

∴ BYO একই সরলরেখা।

8. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AP||BQ

উত্তর। A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে O বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। O বিন্দুগামী সরলরেখা A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।

অঙ্কন : AP, BQ ও AOB যোগ করা হল।

প্রমাণ করতে হবে, AP||BQ

প্রমাণ : এখানে ∠AOP = ∠BOQ (বিপ্রতীপ কোণ)

আবার, _ΔPAO এর PA = AO

∴ ∠BQO = ∠BOQ

∴ ∠APO = ∠BQO কিন্তু এরা একান্তর কোণ

∴ AP||BQ

9. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রমাণ করি যে, ওই বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

উত্তর। ধরি, r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র যথাক্রমে A, B, C এবং বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে O, Q ও R বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।

অঙ্কন : APB, BQC ও ARC যোগ করা হল।

প্রমাণ করতে হবে, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ।

প্রমাণ : এখানে P বিন্দু AB রেখাংশ উপর অবস্থিত |

∴ AB = AP + PB = r + r = 2r

একইভাবে, BC = 2r, CA = 2r

∴ _ΔABC -এর AB = BC = CA = 2r

∴ _ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

10. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC -এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC -কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, _ΔADE-এর পরিসীমা = 2AB

উত্তর। O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। উপচাপ BC -এর উপর অবস্থিত X বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে _ΔADE-এর পরিসীমা = 2AB

প্রমাণ : যেহেতু O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি যথাক্রমে AB ও AC

∴ AB = AC ……. (1)

আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ D বিন্দু থেকে BD ও DX দুটি স্পর্শক।

∴ BD = DX ……(2)

অনুরূপে, CE = EX …….(3)

এখন, _ΔADE -এর পরিসীমা = AD + DE + EA

= (AB – BD) + (DX + XE) + (AC – CE)

= AB – DX + DX + XE + AB – XE ((1), (2), (3) থেকে পাই)

= 2AB

_ΔADE এর পরিসীমা = 2AB

SabDekho

The Complete Educational Website

Bihar Board

UP Board

IAS Notes

Jac Board

MP Board

सम्पूर्ण व्याकरण

जीवनी

निबंध

टेन्स

सामान्य ज्ञान